"Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции".

НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И
НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ
Учитель математики КОУ «Заливинская СОШ»
Зубкова Екатерина Михайловна
12.03.2013
ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ:



решение задач на нахождение точек
максимума и минимума;
решение задач на нахождение наибольшего и
наименьшего значения функции;
решение задач на исследование функций без
помощи производной.
2
НА ДАННОМ ЗАНЯТИИ МЫ РАССМОТРИМ:
исследование степенных и иррациональных
функций;
 исследование рациональных функций;
 исследование произведений и частных;
 исследование логарифмических функций;
 исследование тригонометрических функций.

3
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
f
 g   f   g 
f
 g   f   g 
 f  g  
f   g  f  g
 f  f   g  f  g 
  
g2
g
Если с - постоянная (число):
с  0
 c  f   c  f 
Производная сложной функции:
f   g  x   f   g  x   g  x 
4
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
5


Функция y = f(x) принимает на множестве Х
наименьшее значение в точке x0, если x0
принадлежит Х и f(x0) ≤ f(x) для всех x из Х.
Функция y=f(x) принимает на множестве Х
наибольшее значение в точке x0, если x0
принадлежит Х и f(x0) ≥ f(x) для всех x из Х.
6
Наибольшее значение функции на отрезке[а;b]
называют максимумом функции на данном
отрезке.
 Наименьшее значение функции на отрезке
[а;b] называют минимумом функции на
данном отрезке.
 Точку отрезка [а;b], в которой функция
достигает максимума (минимума) на этом
отрезке называют точкой максимума
(минимума). Значение функции в этой точке
– максимум (минимум) функции на отрезке.

7
Внутренние точки отрезка, в которых
производная функции f(x) равна нулю или не
существует, называют критическими
точками функции f(x) на этом отрезке.
 Стационарные точки функции - точки в
которых производная равна нулю.
 Если производная функции на интервале (a;b)
положительна, то функция y=f(x) возрастает
на данном интервале.
 Если производная функции на интервале (a;b)
отрицательна, то функция y=f(x) убывает на
данном интервале.

8
ПРИЗНАКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА
Признак максимума: если функция f(x) непрерывна в точке x0 ,
производная положительна на интервале (a;x0) и производная
отрицательна на интервале (x0 ; в), то х0 – точка максимума функции f(x)
(упрощенная формулировка: если в точке x0 производная меняет знак с
плюса на минус, то x0 – точка максимума).
Признак минимума: если в точке x0 производная меняет знак с минуса
на плюс, то x0 – точка минимума.
9
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК
МАКСИМУМА (МИНИМУМА) ФУНКЦИИ
1.
2.
3.
4.
5.
Находим ООФ.
Находим производную функции f’(x).
Находим нули производной (их ещё называют
стационарными точками) путём приравнивания
производной к нулю f’(x)=0, решаем полученное
уравнение.
Отмечаем полученные значения на числовой
прямой и определяем знаки производной на этих
интервалах, путём подстановки значений из
интервалов в выражение производной.
Далее делаем вывод.
10
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ
НАИБОЛЬШЕГО ИЛИ НАИМЕНЬШЕГО
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОЙ НА
ОТРЕЗКЕ:
находим ООФ и проверяем, содержится ли в
ней весь отрезок [а, в];
 находим критические точки, принадлежащие
заданному отрезку;
 вычисляем значение функции на концах
отрезка и во всех критических точках
принадлежащих отрезку [а, в];
 из полученных чисел выбираем наибольшее и
наименьшее значение функции.

11
Если уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения или на заданном отрезке
нет точек экстремума, это значит, что на этом промежутке производная
принимает значения одного знака, т.е функция является монотонной на
нём.
В
А
y наиб.
C
y наиб.
y наим.
а
b
D
а
y наим.
b
12
I. ИССЛЕДОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ И
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Задача 1. Найти точку максимума функции
2
y   x x  3x  1.
3
Решение
1. ООФ: x ≥ 0.
2. Находим производную функции:
3

2 3 32 1
 2
  2 2
y '    x x  3 x  1    x  3 x  1    x  3   x  3
3 2
 3
  3

3. Находим критические точки:
 x  3  0;
x  3;
x  9.
13
4. Отметим на числовой оси критические точки, определим знак
производной на каждом промежутке.
+
y’
y
0
x
9
max
y '(4)   4  3  1  0
y '(25)   25  3  2  0
Ответ: 9
14
II. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
Задача 2. Найти точку минимума функции
x
y 2
x 1
Решение
1. ООФ: x  R
2. Находим производную функции:
x 
x ' ( x 2  1)  x  ( x 2  1) '
x2  1  x  2x

 x 
y '    2    2   


2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
 x 1 
 x 1 
x2  1  2 x2
1  x2
x2 1

 2
 2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
( x  1)2
15
3. Находим критические точки:
x2 1
2
2
2

0,
x

1

0,
т.к.(
x

1)
 0 всегда
2
2
( x  1)
( x  1)( x  1)  0, x1  1, x2  1
4. Отметим на числовой оси критические точки, определим
знак производной на каждом промежутке.
y’
y
+
-
+
-1
max
(2)2  1
3
y '(2) 

0
2
2
((2)  1)
25
02  1
y '(0) 
0
2
2
 0  1
x
1
min
y '(2) 
22  1
2
2
 1
2

3
0
25
Искомая точка минимума х=1.
Ответ: 1.
16
III. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Задача 3. Найти наибольшее значение функции
y  ln( x  5)5  5x на  4,5; 0.
Решение
1. ООФ:  x  5 5  0  x  5  [4,5;0]  ООФ
2. Находим производную функции:
4
5
x

5


1
5
4
y '  ln( x  5)5  5 x  

5

x

5

5


5

5


5
5
x5
 x  5
 x  5


3. Находим критические точки:
5
5  0
x5
5
5
x5
17
1
1
x5
x 5 1
x  4
4   4,5; 0
4. Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
+
y’
y
-4,5
y '  4, 2  
y '(1) 
-4
max
0
x
5
5
5  5  0,8 5  (1  0,8)
5 
5 

0
4, 2  5
0,8
0,8
0,8
5
5
5  5 0
1  5
4
18
5. Вычислим значение функции на концах отрезка и в
критических точках, принадлежащих данному отрезку.
y  4,5   ln  4,5  5   5   4,5   ln 0,55  22,5
5
y  4   ln  4  5   5  (4)  ln1  20  20
5
y (0)  ln 55
Ответ: 20.
19
IV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Задача 4. Найти наименьшее значение функции
 3 
y  9 cos x  14 x  7 на 0;   .
 2 
Решение
1. Найдем производную
y '   9 cos x  14 x  7   9sin x  14
2. Найдем критические точки
9sin x  14  0
9sin x  14
14
sin x  , корней нет т.к. sin x   1;1
9
Нет критических точек.
20
3. Найдем значение функции на концах отрезка
y  0   9 cos 0  14  0  7  9  7  16
3
3
3 
y     9 cos   14    7  21  7
2
2
2 
Ответ: наименьшее значение 16.
2 способ. Производная y '  9 sin x  14  0 всегда,
следовательно функция возрастает на заданном
отрезке, следовательно наименьшее значение
функция будет принимать в нуле.
21
Задача 5. Найти наибольшее значение функции
3
 
y  2 cos x  3x 
на 0;  .
3
 2
1. Найдем производную функции


3 

2
y '   2 cos x  3 x 
  2sin x  3
3 

2. Найдем критические точки
2sin x  3  0
sin x 
3
2
x
 
 0; 
3  2

3
y


3. Найдем значения функции на концах
отрезка и в критических точках
3
3
y  0   2 cos 0  3  0 
 2
3
3
0
3
2


3
3
 
y    2 cos  3  

2
2
3
6
2
 

3
2
3

1
y    2 cos  3  
 2 cos  2   1
3
3
3
3
2
3
22

Ответ: 1.
V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ И
ЧАСТНЫХ
Задача 6. Найти точку минимума функции
y   x  2   e x 5
2
Решение
1. ООФ: x  R
2. Находим производную функции:
y' 
 x  2
2
 e x 5



 x  2
2


2
2
 e x 5   x  2    e x 5   2  x  2   e x 5   x  2   e x 5 
 ex5   x  2 2  x  2  x  e x5   x  2
3. Находим критические точки:
y'  0
xe x 5   x  2   0
т.к. e x 5  0 всегда, то x1  2, x2  0
23
4. Определим знаки производной функции и изобразим на
числовой оси:
y’
y
+
0
max
y '  3   3  e 3 5   3  2  
x
2
min
y '  1  1 e15   1  2   e6   3 
y ' 1  1 e15  1  2   e 4 
+
3
0
6
e
1
0
4
e
3
0
2
e
Ответ: 2.
24
VI. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ БЕЗ
ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНОЙ
Задача 7. Найти точку минимума функции
y  x 2  6 x  11
Решение.
2
Функция y  x  6 x  11.
График – парабола. Так как а=1>0, то ветви параболы
направлены вверх.
b
6
x

;
x

 3.
Минимум в точке 0
min
2a
2
Функция вида y  x возрастающая, а заданная функция
определена при найденном значении переменной, она
достигает минимума в той же точке, в котором достигает
минимума подкоренное выражение.
Ответ: 3.
25
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найдите наибольшее значение функции
y   x  2   x  8   7 на отрезке  12; 4.
2
Ответ: 25.
2. Найти наименьшее значение функции
36
y  x
на отрезке 1;9 .
x
Ответ: 12.
3. Найти точку минимума функции
y  4 x  4ln  x  7  .
Ответ: -6.
4. Найти точку максимума функции
 
y   2 x  1 cos x  2sin x  3   0;  .
 2
Ответ: 0,5.
26
Спасибо за внимание!
27