Применение производной к построению графика функции

Применение производной к построению графика функции
Цели и задачи:
Образовательные:
О1 – закрепить понятие точек экстремума, точек максимума и минимума, стационарных
точек;
О2 – повторить формулы нахождения производной;
О3 – закрепить этапы построения графика функции с помощью производной;
О4 – закрепить навык построения графика с помощью производной;
О5 – решить экономическую задачу с применением производной, применительно к нашей
области (пропедевтическая работа на следующую тему);
О6 – закрепить навык работы с тестами.
Воспитательные:
В1 – воспитание аккуратности при построении графиков функции;
В2 – воспитание нравственных отношений к друг другу при работе в группе.
Развивающие:
Р1 – развитие познавательного, творческого интереса к предмету;
Р2 – развитие коммуникативных навыков;
Р3 – развитие целеустремленности.
Необходимое оборудование: интерактивная доска, персональные компьютеры, тетрадь,
линейка, карандаш, ручка.
Ход урока
В течение урока экстраверты работают в группах. Интроверты – самостоятельно в
тетрадях по карточкам.
I Орг. момент. Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня на уроке мы с вами
повторим правила нахождения производной, этапы построения графика функции с
помощью производной, вспомним какие точки называются критическими, стационарными
максимума и минимума, построим несколько графиков, решим экономическую задачу,
пользуясь правилами дифференцирования. В течение всего урока свою работу вы должны
отслеживать на графиках выставляя себе оценку за каждый этап работы. Т.е. в конце
урока вы получите некоторую функцию, которая отражает степень вашей подготовки на
уроке.
II Актуализация знаний.
Ф.о.
Работа с экстравертами.
Когда
-
мы
говорим,
что
функция - Когда функция дифференцируема на
возрастает или убывает на интервале (а, b)?
интервале (а, b) и f’(x)>0 для всех х из этого
интервала, то мы говорим, что функция
возрастает на интервале (а, b).
- Как называются промежутки на которых - Промежутки монотонности функции.
функция либо только возрастает, либо
только убывает?
Какие
-
точки
мы
называем - Точки в которых производная равна 0.
стационарными?
- Все ли стационарные точки являются - Нет не все, только те, в которых
точками экстремума?
производная меняет свой знак с – на +, либо
с + на -.
- Точки в которых производная меняет свой - Точками максимума.
знак с + на – называются как?
Хорошо вспомнили. Мы всё время говорим о производной, а знаем ли мы правила
нахождения производной? Давайте проверим.
Тест
Отвечаете в тетрадях, можно работать в группе, помогая и объясняя друг другу.
  
1. e ln 2
а) 2;
б) 0;
в) 1;
г) e ln 2 .

1

2.  cos x  
2

а) 2 cos x;

3. x  x 2
б)
x
1
; в) sin x ;
2
2
г) 
sin x
.
2
 
а) 3x 2 ;
б) 2;
в) 2х; г) 3х.

4. log a x  
а)
1
;
log x a
б)
1
;
a ln x
в)
1
;
x ln a
г)
1
.
x
5. Сопоставьте

1) cos x  
а)

2) sin x  
б) 

3) tg x  
в) cos x ;

4) ctg x  
г)  sin x .
1
;
cos 2 x
1
;
sin 2 x
6. Найдите производную  x 2  98 x  200 .
б)  2 x 3  98 x 2  200 x ;
а)  2x  98  1;
в)  2x  98 ;
г) 2x  98 .
III Закрепление материала.
На доске записаны различные этапы необходимо установить их в таком порядке,
чтобы был выстроен план построения графика функции.
н ах о ди м п р о м е ж ут к и
м о н от он н о ст и ,
з н а ч е н и я ф ун к ц и и
в
этих
т о ч к ах , в ы я сн я е м ч е т н о с т ь ф ун к ц и и , н ах од и м до п олн и т е л ь н ы е т о чк и
( н ул и
ф ун к ц и и ,
точки
пересечения
с
осью
ОУ
и
др.) ,
н ах о д и м
с т а ц и он а рн ы е т о ч к и , н ах о ди м п р ои з в о д н ую , н ах о ди м т оч к и э к ст р е м ум а ,
в ы я с н я е м о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ф ун к ц и и , н ах о ди м и н т е рв а л ы , н а к о т о р ых
п р ои з в од н а я б о ль ш е и м е н ь ш е 0 , р еш а е м н е р а в е н с т в а f ( x)  0 , f ( x)  0 ,
с т р о и м т а б ли ц у, с т р о и м г р а ф и к .
1. выясняем область определения функции.
2. выясняем четность функции.
3. находим производную
4. находим стационарные точки
5. находим промежутки монотонности - находим интервалы, на которых
производная больше и меньше 0 - решаем неравенства f ( x)  0 , f ( x)  0 .
6. находим точки экстремума.
7. находим значения функции в этих точках.
8. строим таблицу.
9. находим дополнительные точки.
10. строим график.
№ 927 (2, 4)
Экстраверты работают в группах стоят графики функций y  x 4  2 x 2  2 и
y  6 x 4  4 x 6 . Интроверты самостоятельно.
1. Д x  R .
1. Д x  R .
y( x)  ( x) 4  2( x) 2  2 =
2. Четность
y( x)  6( x) 4  4( x) 6 =
2. Четность
 x 4  2 x 2  2 = y (x)  функция – четная.
 6 x 4  4 x 6 = y (x)  функция – четная.
3. Найдем производную функции:
3. Найдем производную функции:
y ( x)  4 x 3  4 x
y ( x)  24 x 3  24 x 5
4. Найдем стационарные точки:
4. Найдем стационарные точки:
4x3  4x  0
24 x 3  24 x 5  0
4 x( x 2  1)  0
24 x 3 (1  х 2 )  0
4 x  0, x 2  1  0
24 x 3  0, 1  x 2  0
x1  0,
x1  0,
x2  1
x 2,3  1
x2  1
x 2,3  1
5. Находим промежутки монотонности
5. Находим промежутки монотонности
4 x 3  4 x  4 x( x 2  1)  4 x( x  1)( x  1)
24 x 3  24 x 5  24 x 3 (1  x 2 )  24 x 3 (1  x)(1  x)
-
+
-
+
+
-1
0
min
-
+
-
1
max
-1
max
min
6. Находим значения функции в этих точках
0
min
1
max
6. Находим значения функции в этих
точках
y(0)  0 4  2  0 2  2  2
y(0)  6  0 4  4  0 6  0
y(1)  14  2  12  2  1
y(1)  6  14  4  16  2
7. Строим таблицу
x<-1
x=-1
-1<x<0
x=0
0<x<1
x=1
x>1
х
х
x<-1
x=-1
-1<x<0
x=0
0<x<1
x=1
x>1
7. Строим таблицу
y'(x)
-
0
+
0
-
0
+
y'(x)
+
0
-
0
+
0
-
y(x)
1
2
1
y(x)
2
0
2
IV Прикладная задача (пропедевтика)
На территории нашего района планируется создание Ким-канского комбината по
добыче руды с содержанием железа не менее 60%. Это всем известный факт.
Планируется, что комбинат будет производить ежедневно х тонн руды.
Производственные мощности таковы, что выпуск руды не может превышать 90 тонн в
день. Определить при каком объёме производства удельные затраты будут наибольшими
или наименьшими, если функция удельных затрат имеет вид: y( x)   x 2  98 x  200 .
- К чему свелась наша задача?
- К отысканию наибольшего или наименьшего значений функции.
- Как мы сможем ответить на этот вопрос?
- Найдя точки экстремума этой функции.
y ( x)   x 2  98 x  200
y ( x)  2 x  98
+
-
 2 x  98  0
 2 x  98
49
x  49
Вывод: таким образом при выпуске 49 тонн руды в день издержки производства
будут максимальны, а затем издержки снижаются, т.е., чем больше предприятие будет
производить руды в день, тем меньше потерь оно будет нести.
V Домашнее задание Если не успеем решить задачу, то дома закончить решение и
сделать вывод и № 928 (1, 2).
VI Конец урока, анализ результатов.
Тест, отвечаем вместе и стоим свой персональный график.
Стационарная точка – это
такая точка в которой:
Точка эстремума – это точка в
которой:
Производная функции = 0
Функция принимает значение = 0
Функция дифференцируема
Функция принимает свое наибольшее или
наименьшее значение
Производная функции = 0
Функция принимает значение = 0
Производная равна 0 и при переходе через
эту точку производная меняет свой знак с
«–» на «+» или с «+» на «-»
Функция принимает свое наибольшее или
наименьшее значение
Какая из представленных таблиц
соответствует графику?
x
x<-3
x=-3
f’(x)
f(x)
-
у
-3<x<1 x=1 x>1
0
Для какой функции на интервале [-1;1]
найдется точка в которой производная равна 0
у
y
0
-2,2
+
6
-
х
х
-3
1
-5
x
x<-3
x=-3
f’(x)
-
0
f(x)
4
x
у
-3<x<1 x=1 x>1
+
-2,2
0
у
-
6
х
Для какой функции на интервале
[-1;1] производная положительна
у
х
у
х
у
х
х
у
Для какой функции график не обладает
свойством непрерывности?
у
у
х
у
х
х
у
х
х