ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ГЛАВА 4
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
§1 Множества. Основные определения.
Под множеством понимают совокупность некоторых
объектов, объединенных по какому-либо признаку.
Объекты, из которых состоит множество, называют его
элементами. Множество, не содержащее ни одного
элемента, называют пустым и обозначают .
Множества, элементами которых являются числа,
называют числовыми. Примерами числовых множеств
являются:
N  1;2;3;...; n;...
 множество натуральных чисел;
Z  0;1;2;...;n;...  множество целых чисел;
m

Q   : m  Z , n  N   множество рациональных
n
чисел;
R
 множество действительных чисел.
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать
некоторые логические символы:
  означает «для любого», «для всякого», «каждый»;
  означает «существует», «найдется»;
:  «имеет место», «такое, что»;
и

 «предложения

 «из предложения

предложение
»

равносильны»;
следует
.
§2 Числовые промежутки. Окрестность точки.
Пусть
a
и
b  действительные числа, причем a  b.
Числовыми промежутками (интервалами) называются
подмножества всех действительных чисел, имеющих
следующий вид
a; b  x : a  x b  отрезок;
a; b  x : a  x  b  интервал;
a; b  x : a  x  b  полуинтервал;
a; b  x : a  x  b  полуинтервал.
Числа
a и b называются соответственно левым и
правым концами промежутков.
Пусть
x0
 любое действительное число (точка на
числовой оси). Окрестностью точки
любой интервал
a;b,
x0
содержащий точку
называется
x0 .
В частности, интервал
( x0   ; x0   )  V ( x0 ,  ) , где   0
называется  -окрестностью точки
x0 .
𝑥0
𝑎
(𝑎; 𝑏)
𝜀
𝑥0 − 𝜀
𝑏
𝑥0 𝜀
𝑥0 + 𝜀
(𝑥0 − 𝜀; 𝑥0 + 𝜀)
§3 Понятие функции. Способы задания функций.
Пусть даны два непустых множества
Правило
f,
X
и
Y.
x X
по которому каждому элементу
поставлен в соответствие один и только один элемент
y Y,
называется функцией и записывается
y  f (x)
При этом множество
определения функции
или
D( y ),
функции
f
f : X  Y.
или
X
называется областью
f
и обозначается
а множество
и обозначается
D( f )
Y  множеством значений
E ( f ) или E ( y ).
Пусть функция
f : X Y
такова, что для
x1, x2  X : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
В этом случае любому элементу
y Y
может быть
поставлен в соответствие единственный элемент
x  X : f ( x)  y; тем самым определена новая
1
: Y  X , называемая обратной
функция f
заданной функции
f.
Графики взаимно обратных функций симметричны
относительно биссектрисы первого и третьего
координатных углов.
f : X  U , F : U  Y , где
X ,U , Y  R, то функция y  F  f x
Если
называется сложной функцией или композицией
функций
f
и
F.
y  f (x), необходимо указать
правило, позволяющее, зная x, находить
соответствующее значение y.
Чтобы задать функцию
Существуют три способа задания функций:
1) графический: задается график функции;
2) табличный: функция задается таблицей ряда значений
аргумента и соответствующих значений функции;
3) аналитический: функция задается в виде одной или
нескольких формул или уравнений.
Аналитический способ задания функции является наиболее
совершенным, так как к нему приложены методы
математического анализа, позволяющие полностью
исследовать функцию
y  f (x).
§4 Основные характеристики функции.
1) Функция
D,
y  f (x),
определенная на множестве
называется четной, если
выполняются условия:
нечетной, если
 xD
и
x  D
 xD
x  D
и
f ( x)  f ( x);
выполняются условия:
f ( x)   f ( x).
Из определения следует, что если функция задана
аналитически и ее область определения
симметричным относительно точки
D не является
O (0,0) множеством,
то функция не может быть ни четной, ни нечетной.
График четной функции симметричен относительно оси
Oy ,
а нечетной  относительно начала координат.
2) Функция
y  f (x)
на интервале
(a, b),
выполняется условие
Функция
y  f (x)
на интервале
называется возрастающей на
если x1 , x2
 (a, b) : x1  x2 ,
f ( x1 )  f ( x2 ).
называется убывающей на
(a, b), если x1, x2  (a, b) : x1  x2 ,
выполняется условие
f ( x1 )  f ( x2 ).
Возрастающие и убывающие функции называются
строго монотонными.
Интервалы, на которых функции монотонны, называются
интервалами монотонности.
3) Функцию
y  f (x),
определенную на множестве
D, называют ограниченной на этом множестве,
если существует такое число
x  D  f ( x)  M .
M  0:
§5 Основные элементарные функции и их
графики. Понятие элементарной функции.
Основными элементарными функциями называются
следующие функции:

R.
1. Степенная функция
y  x , 
𝒂) 𝑦 = 𝑥
1
1
б) 𝑦 = 𝑥 2
1
−1
1
в) 𝑦 = 𝑥 3
1
−1
−1
1
г) 𝑦 =
𝑥 −1
1
=
𝑥
1
−1
−1
1
д) 𝑦 = 𝑥 1
2
= 𝑥
1
1
2. Показательная функция
y  a , a  0, a  1.
x
𝒂) 𝑦 = 𝑎 𝑥 (𝑎 > 1)
1
б) 𝑦 = 𝑎 𝑥 (0 < 𝑎 < 1)
1
3. Логарифмическая функция
y  log a x, a  0, a  1.
𝒂) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (𝑎 > 1)
1
б) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (0 < 𝑎 < 1)
1
4. Тригонометрические функции
𝒂) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
1
𝜋
−
2
𝜋
𝜋
2
−𝜋
−1
б) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
1
−𝜋
𝜋
2
−1
𝜋
в) 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥
𝜋
−
2
−𝜋
3𝜋
2
𝜋
2
𝜋
г) 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥
−𝜋
𝜋
−
2
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
5. Обратные тригонометрические функции.
а) y  arcsin x
б ) y  arccos x
в ) y  arctgx
г ) y  arcctgx
Функция, задаваемая одной формулой и постоянных с
помощью конечного числа арифметических операций
(сложения, вычитания, умножения, деления) и
композиций, называется элементарной функцией.
Примеры элементарных функций:
1) y  sin 5 x,
2) y  arccos 2 ,
x
3) y  x  tg 7 x,
2x 1
4) y 
.
2
x  3
Примеры неэлементарных функций:
5, x  0
1) y   2
,
x , x  0
2) y  1!2!3!...  n!...,
где
n! 1 2  3  ...  n.
§6. Числовая последовательность.
Предел числовой последовательности.
Функция, областью определения которой является
множество
N
натуральных чисел, называется числовой
последовательностью и обозначается
xn  f (n)
При этом
xn
или
x 

или
n n1
xn .
называется n-ым членом
последовательности.
Геометрически каждому члену последовательности
соответствует точка на числовой оси Ox.
1 
Пример. Формула   задает последовательность:
n
1 1
1
1, , ,..., ,...
2 3
n
Пусть функция
xn  f (n)
принимает значения
последовательно
x1 , x2 ,..., xn ,...,
т.е.пробегает последовательность
xn .
Важным случаем такого изменения функции является тот,
при котором по мере возрастания номера
n
соответствующие значения xn неограниченно
приближаются (стремятся) к некоторому постоянному
значению
в этом случае говорят, что
а;
последовательность
xn  стремится к пределу а.
Но выражения «неограниченно приближаются»,
«стремятся»  неопределенные и поэтому не годятся
для точного математического понятия предела.
Для точного определения понятия «предел» введем
поскольку
произвольное малое положительное число
;
оно произвольно, его по желанию можно задавать равным
k
0,01, и 0,001, и вообще 10 , k  N .
Факт неограниченного сближения последовательности
xn  с постоянной а
можно охарактеризовать так:
,
каково бы ни было малое положительное число
в процессе изменения последовательности рано или поздно
должен наступить такой момент, начиная с которого все ее
будут отличаться от
дальнейшие значения
xn
а
по абсолютному значению меньше, чем на это произвольное
.
Пусть этому моменту отвечает значение
n  N;
:
оно, очевидно, зависит от задания числа
чем
меньше, тем больше должно быть

зависимость
N
от

N;
записывается в виде
Итак, факт неограниченного приближения
 
а
N ( ).
xn к постоянной
последовательности
можно математически записать следующим образом:
Определение.
Число
последовательности
положительного числа
число
N ( ),
a называется пределом
xn , если для любого

найдется такое натуральное
что для всех номеров
будет выполняться
неравенство
n  N ( )
xn  a   .
Кратко определение предела можно записать так:
lim xn  a    0N ( ) :
n  
n  N ( )  xn  a   .
(6.1)
Геометрический смысл определения предела
последовательности:
Неравенство
xn  a  
   xn  a  
т.е.
или
равносильно неравенствам
a    xn  a   ,
xn  (a   , a   ).

V ( a , )
Поэтому определение предела последовательности можно
сформулировать так: число
последовательности
a
xn ,
называется пределом
если для любой
  окрестности точки a найдется такой номер
N ( ), что все члены последовательности xn ,
для которых n  N ( ), попадут в   окрестность
точки
a.
𝑎−𝜀
𝑥2
(
𝑥𝑁
𝑎
𝜀 +1
𝑎+𝜀
𝑥𝑛
)
𝑥3
𝑥1
Ясно, что чем меньше
,
тем больше число

N ( ),
a
но в любом случае внутри
 окрестности точки
находится бесконечное число членов последовательности.
Последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся.
В противном случае  расходящейся.
Пример. Доказать, что
n 1
lim
1
n n  1
Решение. Воспользуемся определением (6.1):
n 1
n 1
lim
 1    0N ( ) : n  N ( ) 
1   .
n n  1
n 1
Преобразуем последнее неравенство
n 1
n 1  n 1
2
 
 
 
n 1
n 1
n 1
2
n 1 1
2
2

 
  n  1   n   1.
n 1
2



Таким образом,
N ( )
ближайшему по избытку к
равным
можно взять равным
2
1

2 
2
   1  1    ,
натуральному числу, т.е.
где
x
 целая часть числа
число, не превосходящее
x, т.е. наибольшее целое
x.
  0 указано соответствующее значение
n 1
2
1
N ( )   . Это и доказывает, что nlim
 n  1

 
Итак, для
Например, для
  0,01 соответствующее значение
N ( )  200,
начиная с
т.е. все члены последовательности,
x200 попадут в интервал
(1  0,01;1  0,01)  (0,99;1,01).
§7 Предел функции в точке.
Бесконечно большая и бесконечно
малая функция.
y  f (x)
Рассмотрим функцию
непрерывно изменяющегося аргумента
и предположим, что аргумент
некоторому числу
a.
x
x
стремится к
Может случиться, что при неограниченном приближении
аргумента
x
значения функции
к числу
а
f (x)
соответствующие
неограниченно
приближаются к некоторому числу
A.
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝐴
𝑎
Определение. Число
А называется пределом функции
f (x) при x  a, если при всяком положительном
числе
,

можно указать другое положительное число
зависящее от выбора
величина разности
,
f ( x)  A
такое, что абсолютная
будет меньше
когда абсолютная величина разности
xa
,
 , т.е. если числовые значения функции
f (x) будут заключены в произвольной  -окрестности
числа А при условии, что числовые значения аргумента
x взяты в достаточно малой  -окрестности числа а
(исключая само число а ):
будет меньше
lim f ( x)  A 
x a
  0 ( ) : x : 0  x  a    f ( x)  A   .
Бесконечно большая функция (б.б.ф).
Определение. Функция
x  a,
y  f (x) называется б.б.ф. при
если для любого числа
M 0
найдется такое положительное число
зависящее от выбора
M,
удовлетворяющих условию
будет выполняться:
,
что для всех
x,
0  xa 
f ( x)  M .
lim f ( x)   
x a
M  0 ( M )  0x : 0  x  a    f ( x)  M
Бесконечно малая функция (б.м.ф.).
Связь между б.м.ф. и б.б.ф.
Определение. Функция
при
y  f (x)
x  a, если для любого числа
найдется такое положительное число
выбора
,
что для всех
0  xa 
x,
называется б.м.ф.
 0
,
зависящее от
удовлетворяющих условию
будет выполняться:
f ( x)   .
lim f ( x)  0 
x a
  0 ( )  0x : 0  x  a    f ( x)  
Теорема. 1) Если
y  f (x)  б.м.ф. в V (a ),
1
y
f ( x)
V (a ),
 б.б.ф. в
то
т.е.
1
lim f ( x)  0  lim
 .
xa
xa f ( x)
2) Если
y  g (x)
1
y
g ( x)
 б.б.ф. в
 б.м.ф. в
V (a ),
V (a ),
т.е.
1
lim g ( x)    lim
 0.
xa
xa g ( x)
то
Символически это утверждение можно записать так:
1

0
где символы
1
 0,

и
0
и

следует понимать как
неограниченно близкое приближение к нулю и
к бесконечности соответственно.
§8 Вычисление пределов.
Практическое вычисление пределов основывается на связи
между б.м.ф. и б.б.ф. и на следующей теореме.
Теорема.
и
1)
 lim f ( x),  lim g ( x )
x a
xa
C  const , то:
Если
lim C  C ;
xa
2)
3)
lim (C  f ( x))  C  lim f ( x);
x a
x a
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x);
xa
x a
x a
4)
5)
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x);
x a
x a
x a
f ( x)
f ( x) lim
lim
 xa
, (lim g ( x)  0);
xa g ( x )
lim g ( x) xa
xa
6)
7)
lim( f ( x))  (lim f ( x)) ;
n
x a
lim f ( x)
xa
n
x a
g ( x)
lim g ( x )
 lim f ( x) xa
xa
.
При применении этой теоремы необходимо иметь в виду,
справедливо:
что для любого ненулевого числа
1)
2)
3)
4)
5)
С  0  0;
C  0  C;
C
 ;
0
0
 0;
C
C    ;
С
6)
7)
C    ;
C
 0;

8)

 ;
C
9)
0  0  0;
10)
11)
    ;
  , n  N .
n
А если условия этой теоремы не выполнены, то могут
возникнуть неопределенности вида
0 
0
0 
, , 0  , 0 ,  ,1 ,   ,
0 
которые в простейших случаях раскрываются с помощью
алгебраических преобразований данного выражения и
отыскание предела в таких случаях называют раскрытием
неопределенностей.
Кроме того, будем пользоваться тем фактом, что для всех
основных элементарных функций в любой точке их области
определения имеет место равенство
lim f ( x)  f (lim x)  f (a).
x a
x a
Последнее равенство можно понимать так: вычисление
любого предела нужно начинать с непосредственной
подстановки предельного значения, и, если нет
неопределенностей, то сразу записать ответ.
Также при нахождении пределов полезно иметь в виду
следующие свойства показательной функции:
0
,
0

a

1

x
lim a  
,
x
 , a  1


,
0

a

1

x
lim a  
.
x
0, a  1
Пример.
2x 1 2  2 1 3
1) lim

 ;
x2 3x  5
3  2  5 11
2
x 2x 1
2
 2 2
2
:
x
2
x  2x 1   
x
x
x
2) lim
    lim 2

2
x  3 x  x  7
   x 3 x  x  7
2
2
2
x
x
x
2 1
2 1
1  2 1 
1 0  0 1
x
x


 lim


 ;
x 
1 7
1 7 30 0 3
3  2 3 
x x
 
2
3)
5x
x 10
3
 3 3
2
:
x
3
5 x  x  10   
x
x x 
lim 3


lim
   x 7 x3 x 2 1
x  7 x  x 2  1
 3 3
3
x
x
x
5 1 10 5 1 10
 2 3
 
000 0
x
x
x



 lim


  0;
x 
1 1
1 1
7

0

0
7
7  3
7 
x x
 
4
4)
2
2x
x
1
4
 4 4
4
2
:
x
4
2x  x 1   
x
x
x
lim
    lim

x 
3x 1
3x  1
   x
 4
4
x
x
1 1
1 1
2 2  4 2 
200 2
x
x


 lim


  ;
x 
3 1
3 1
00
0


3
4
x x
 
2x  x 1  0 
( x  1)(2 x  1)
lim 2
    lim

x 1 3 x  x  2
 0  x1 ( x  1)(3x  2)
2 x  1 2 1  1 3
 lim

 ;
x 1 3 x  2
3 1  2 5
2
5)
ax  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ),
2
Примечание:
где
x1
и
уравнения.
x2
корни соответствующего квадратного
2
x

7
x

4
0
(
x

4)(2
x

1)


6) lim
    lim

3
2
x 4
x  64
 0  x4 ( x  4)( x  4 x  16)
2x 1
2  (4)  1
9
3
 lim 2


 ;
2
x 4 x  4 x  16
(4)  4  (4)  16 48
16
2
Примечание:
a  b  (a  b)( a  ab  b ).
3
3
2
2
7) lim
x 3
( x  1  2)( x  1  2)
x 1  2  0 

    lim
2
x  3x
 0  x3 ( x 2  3x)( x  1  2)
x 3
x 1 4

 lim
 lim 2
x 3 x ( x  3)( x  1  2)
x 3 ( x  3 x )( x  1  2)
1
1
1
 lim


;
x3 x ( x  1  2)
3  4 12
x 2
( x  2)( x  2)( 6 x  1  5)
0
    lim

8) lim
x 4
6 x  1  5  0  x4 ( 6 x  1  5) 6 x  1  5 ( x  2)


( x  4)( 6 x  1  5)
( x  4)(( 6 x  1  5)

 lim
 lim
x 4 (6 x  1  25)( x  2)
x  4 6( x  4)( x  2)
6 x  1  5 10 5
 lim

 .
x  4 6( x  2)
24 12
9)
 x4 
lim 

x  2 x  5


x 3
lim ( x 3)
x  4  x

  lim

x  2 x  5


4


1 
    
x
 

    xlim

5




 
2  
x

4 

 1

 

2 5 


 





 1 0 


20

1
 
2

 0;
2x  4 
2x  4 


10) lim 
  lim


x  5 x  3
x  5 x  3




5x
4 

 2   

3 
 5


 
lim 5 x
x
4

2 

x
  lim

x 
3

5  
x


 20


 50 

2
 
5

5
 
2

 .


§9 Первый и второй замечательные пределы.
Замечательными (ввиду большого числа их
применений) назвали следующие два предела
Первый:
sin x
lim
1
x0
x
или
sin  ( x)
lim
1
 ( x )0  ( x)
Второй:
1
x
lim (1  x)  e
x0
или
lim (1   ( x))
 ( x )0
x
или
 1
lim 1    e
x
 x
 ( x)
или
где

1 
lim 1 

 ( x ) 
  ( x) 
e  экспонента, e  2, 7.
 e,
1
 ( x)
e
Первый замечательный предел применяется для раскрытия
неопределенности вида
0
0
при вычислении пределов,
содержащих тригонометрические функции.
Второй замечательный предел используется для раскрытия
неопределенности вида

1.
Пример.
1)
tg 5 x
sin 5 x
1
lim
 lim


x 0
x 0
x
x
cos 5 x
5sin 5 x
1
lim
 lim

x 0
x 0 cos 5 x
5x
sin 5 x
 5  lim
1  5 1 1  5;
x 0
5x
2)
1  cos 2  2sin 2   
1  cos x  0  

lim


2


2 x
x 0


x
 0  1  cos x  2sin


2
2 x
2 x
2sin
2sin
2  lim
2 
 lim
2
2
x 0
x

0
x
x
4
4
2
2
x
x


sin 
sin 


2
1
1 2 1
2
2
 lim 
  lim
 1  ;


4 x 0  x 
2  x 0 x 
2
2
 2 

2 
3)
sin 3 x
3 x
sin 3 x  0 
lim
    lim 3 x

x  0 sin 7 x
 0  x 0 sin 7 x  7  x
7x
sin 3 x
lim
3 x 0 3 x
3 1 3
 
   ;
7 lim sin 7 x 7 1 7
x 0
7x
 x 1 
4) lim 

x x  4


2 x 3
 
 x  4  4 1 

 1  lim 

x
x4 

2 x 3
 x  45
 lim 

x
 x4 
 x4   5 

 
( 2 x3)
 5   x4 
2 x 3
 
5 
5 
 x4
 lim 

 lim 1   



x x  4
x
x4

 10 x15 x  4  
lim
 x  4  x x  4



10 x 15
5


lim

5





x
x4
 lim 1   

e



 x    x  4  



15
x
lim
4
x
1
x
10 
e
e
10
1
e
10
2 x 3
1
 10 .
e


§10 Односторонние пределы.
В определении предела
считается, что
x
lim f ( x)  A
xa
стремится к
оставаясь меньшим, чем
a
a
любым способом:
(слева от
a ),
a (справа от a ) или колеблясь
a. Но бывают случаи, когда способ
большим, чем
около точки
приближения к
a
существенно влияет на значение
предела функции, поэтому вводят понятие односторонних
пределов.
A1 называется пределом функции
y  f (x) слева в точке x  a, если
Определение. Число
  0   ( )  0 : x  (a   , a) 
 f ( x)  A1  
и обозначается
lim f ( x)  A1
x a 0
или
f (a  0)  A1.
A2 называется пределом функции
y  f (x) справа в точке x  a, если
Определение. Число
  0   ( )  0 : x  (a, а   ) 
 f ( x)  A2  
и обозначается
lim f ( x)  A2
xa  0
или
f (a  0)  A2 .
Пределы слева и справа называются односторонними
пределами.
Примечание. Для
вместо
а  0 используется особая запись:
x  00
пишут соответственно
Символы
x 00
x  0 и x  0.
и
 0 (0)
следует понимать как
бесконечно близкое приближение к нулю, оставаясь при
этом левее (правее) нуля.
Пример.
1)
2)
x3 203
5
lim


 ;
x 2  0 x  2
202 0
lim 5
1
3 x
x 3 0
5
1
0
5
5

1
3 ( 3 0 )
1
 
5
5
1
3 3 0

 0.

§11. Непрерывность функции.
Классификация точек разрыва.
Пусть функция
Для
y  f (x)
определена в
x  V ( x0 )
V ( x0 ).
x  x  x0
называют приращением аргумента
x
в точке
y  f ( x)  f ( x0 )
x0 .
 приращением функции в точке
а
x0 ;
Очевидно, что
x
и
y
могут быть как
положительными, так и отрицательными.
Определение 1. Функция
y  f (x)
называется непрерывной в точке
x  x0 ,
если
lim y  0,
x0
т.е. бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение 2. Функция
y  f (x)
называется непрерывной в точке
1)
2)
f (x)
определена в точке
x  x0 ,
x0
если
и ее окрестности;
 lim f ( x)  f ( x0  0)  
xx0 0
 lim f ( x)  f ( x0  0)  ;
xx0 0
3)
f ( x0  0)  f ( x0  0)  A;
4)
A  f ( x0 ).
и
Если функция
y  f (x)
непрерывна в каждой точке
некоторого множества, то она называется непрерывной
на этом множестве.
Точка
x  x0
называется точкой разрыва, если
хотя бы одно из условий определения 2. Если нарушено
условие 2), то точка
x0 называется точкой разрыва
второго рода; а если нарушены условия 3) или 4), то точка
x0
называется точкой разрыва первого рода
(при нарушении условия 3)
скачка и скачок равен
x0
называется точкой
f ( x0  0)  f ( x0  0),
а при нарушении условия 4)
x0
называется точкой
устранимого разрыва).
Свойства непрерывных функций.
1) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой
точке своей области определения.
2) Сумма и произведение конечного числа непрерывных
функций есть непрерывная функция.
3) Частное от деления двух непрерывных функций есть
функция, непрерывная во всех точках, в которых
знаменатель не равен нулю.
4) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает
на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего
значения.
Пример. Найти точки разрыва функции и установить их
характер
а)
1
x
y6 ;
 x , x  1,
y
2 x  1, x  1.
2
б)
Решение.
а) Функция
y6
1
x
является элементарной,
а следовательно, по свойству 1, и непрерывной на всем
множестве R, за исключением точки
Значит,
x0
x  0.
является точкой разрыва данной функции.
Выясним характер точки разрыва, для чего найдем
односторонние пределы в этой точке:
1
1

x
0
lim 6  6
6
x0
1
x
lim 6  6
x0
1
 
6
1
0
6

 .

 0,
Поскольку один из односторонних пределов равен
бесконечности, т.е. не выполняется условие 2)
определения 2, то
x  0  точка разрыва второго рода.
б) Данная функция непрерывна для
x  (;1)  (1;),
так как на каждом из этих интервалов формулы, задающие
функцию, определяют элементарные функции. Точкой
разрыва может быть лишь точка
x  1,
в которой меняется аналитическое выражение функции
f (x ).
Найдем односторонние пределы:
f (1  0)  lim f ( x)  lim x  1  1,
2
x10
2
x10
f (1  0)  lim f ( x)  lim (2 x  1)  2 1  1  3.
x10
Так как
x10
f (1  0)  , f (1  0)  
и
f (1  0)  f (1  0),
то в точке
x 1
исходная функция имеет точку разрыва
первого рода, а именно  точку скачка, скачок равен
f (1  0)  f (1  0)  3  1  2.