Модуль 12. Функции - МГТУ им. Н. Э. Баумана

План проведения занятия по теме
ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
СКУДНЕВА ОКСАНА
ВАЛЕНТИНОВНА
Образование: МГТУ им. Н. Э. Баумана, специальность «Системы
автоматического управления»;
МГУ им. М. В. Ломоносова, специальность
«Математика. Прикладная математика».
Место работы: МГТУ им. Н. Э. Баумана, НУК ФН, кафедра
«Вычислительная математика и математическая физика», должность –
старший преподаватель.
Опыт работы: средняя школа, 2002-2011 гг., факультативные курсы по
подготовке к Олимпиадам МГТУ им. Н. Э. Баумана «Шаг в будущее»,
«Олимпиада Жуковского», ЕГЭ по математике, основной курс алгебры
физ-мат. класса.
Основные понятия и определения.
Закон, ставящий каждому элементу из множества X
(область определения -D(f)), не более одного элемента
из множества Y, (область значений - E(f)), называется
числовой функцией y=f(x).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) табличный
Пример:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y=f(x)
16
9
4
1
0
1
4
9
16
2) Графический
Пример:
3)аналитический(формулой):
Пример:
Если область определения функции D(f) симметрична относительно начала координат, и
для каждого значения xϵ D(f) выполняется условие f(-x)=f(x), функция называется чётной.
График чётной функции симметричен относительно оси OY.
Если область определения функции D(f) симметрична относительно начала координат, и
для каждого значения xϵ D(f) выполняется условие f(-x)=-f(x), функция называется
нечётной. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Если для любых 𝑥1 𝜖 𝑎, 𝑏 и 𝑥2 𝜖 𝑎, 𝑏 , причём 𝑥2 >
𝑥1 , выполняется условие 𝑓 𝑥2 > 𝑓 𝑥1 , то говорят,
что функция 𝑦 = 𝑓 𝑥 возрастает на интервале
𝑎, 𝑏 𝜖 𝐷(𝑓).
Если для любых 𝑥1 𝜖 𝑎, 𝑏 и 𝑥2 𝜖 𝑎, 𝑏 , причём 𝑥2 >
𝑥1 , выполняется условие 𝑓 𝑥2 < 𝑓 𝑥1 , то говорят,
что функция 𝑦 = 𝑓 𝑥 убывает на интервале
𝑎, 𝑏 𝜖 𝐷(𝑓).
.
Возрастание и убывание функции объединяется понятием монотонности.
Если на промежутке области определения функция имеет
значения одного знака (плюс или минус), такой интервал
называется промежутком знакопостоянства функции. Числа, в
которых значение функции равно нулю, называются нулями
функции.
Если существует положительное число Т, такое, что на всей области
определения выполняется равенство 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑛𝑇 , 𝑛𝜖𝑍 функция
называется периодической, а число Т – периодом.
Ограниченные функции.
Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на
множестве X, если
 M(m) R  x X  f(x) M (f(x) m).
Пример. Функция, ограниченная сверху:
Функция, ограниченная снизу:
Функция, ограниченная сверху и снизу – ограниченная функция.
Обратная функция.
Пусть на множестве Х определена строго монотонная функция
𝑦 = 𝑓 𝑥 , осуществляющая отображение 𝑋 → 𝑌. обратной функцией
к ней , 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) называется функция, осуществляющая
отображение 𝑌 → 𝑋, такое, что для каждого 𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑓 𝑦 . Графики
исходной и обратной функций, таким образом, симметричны
относительно прямой 𝑦 = 𝑥.
Чтобы получить обратную функцию:
1) Определить участки монотонности функции 𝑦 = 𝑓 𝑥 ;
2) Для каждого участка монотонности составить функцию 𝑥 = 𝑓 𝑦 ;
3) Выразим из данного выражения переменную y, получим обратную
функцию , 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) .
Пример.
1) 𝑦 = 2𝑥 + 3 возрастает на всей области определения 𝐷 𝑓 = ℝ;
2) Механически меняем местами переменные : 𝑥 = 2𝑦 + 3;
3) выражаем переменную y: 𝑦 =
𝑥−3
2
. Это и есть обратная функция. Строим
графики и убеждаемся в симметрии относительно прямой 𝑦 = 𝑥.
Основные элементарные функции.
Линейная функция
y = kx + b
𝐷 𝑓 = ℝ - функция определена на всей числовой оси.
𝐸 𝑓 =ℝ
𝑘 = 𝑡𝑔 𝜑
Степенная функция.
𝑛𝜖ℕ, 𝑛 = 2𝑘 чётное
𝐷 𝑓 = ℝ, 𝐸 𝑓 = 0,+∞
𝑛𝜖ℕ, 𝑛 = 2𝑘 + 1 нечётное
𝐷 𝑓 = ℝ, 𝐸 𝑓 = ℝ
Дробно-рациональная функция.
𝒚=
𝒂𝒙 + 𝒃
,
𝒄𝒙 + 𝒅
Приводится к виду 𝒚 − 𝒚𝟎 =
𝒅
𝒂
𝒄
𝒄
𝒌
𝒙−𝒙𝟎
𝒙≠−
,
где 𝒙𝟎 = − , 𝒚𝟎 = ,
𝒌=
𝒃𝒄−𝒂𝒅
𝒄𝟐
Пример. 𝑦1(𝑥) =
2
𝑥
𝑦2 𝑥 = 3 +
2
𝑥−4
𝒅
𝒄
Квадратичная функция.
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Приводится к виду
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟎 𝟐 ,
где 𝒚𝟎 = 𝒄 −
𝒙𝟎 = −
𝒃
𝟐𝒂
𝒃𝟐
𝟒𝒂
,
.
Пример. 𝑦3(𝑥) = 𝑥 2 ,
𝑦31(𝑥) = 3 + 𝑥 − 4
2
Степенные функции с рациональным показателем.
𝑦=
𝑝
𝑥𝑞
В зависимости от чётности p и q графики принимают вид:
Степенные функции с отрицательным рациональным показателем:
Показательная функция
𝒚 = 𝒂𝒙 , 𝒂 > 0, 𝑎 ≠ 1 .
𝐷 𝑓 = ℝ, 𝐸 𝑓 = 0, +∞ ,
𝑎 > 1 возрастание на всей области определения.
𝑎 < 1 убывание на всей области определения.
Логарифмическая функция.
(Обратная к показательной)
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙, 𝒂 > 0, 𝑎 ≠ 1
𝐷 𝑓 = 0, +∞ , 𝐸 𝑓 = ℝ,
𝑎 > 1 возрастание на всей области определения.
𝑎 < 1 убывание на всей области определения.
Тригонометрические функции .
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝐷 𝑓 = ℝ, 𝐸 𝑓 = −1, +1 , нечётная,
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑛𝑇 , 𝑇 = 2𝜋,
𝑛 = 0, ±1, ±2, …
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐷 𝑓 = ℝ, 𝐸 𝑓 = −1, +1 , чётная
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑛𝑇 , 𝑇 = 2𝜋, 𝑛 = 0, ±1, ±2, …
𝑦 = 𝑡𝑔𝑥, нечётная,
𝜋
𝜋
2
2
𝐷 𝑓 = − + 𝜋𝑛, + 𝜋𝑛 , 𝐸 𝑓 = ℝ, 𝑛 = 0, ±1, ±2, …
𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑘𝑇 , 𝑇 = 𝜋,
𝑘 = 0, ±1, ±2, …
𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥, нечётная,
𝐷 𝑓 = 𝜋𝑛, 𝜋 𝑛 + 1 , 𝐸 𝑓 = ℝ, 𝑛 = 0, ±1, ±2, …
𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑘𝑇 , 𝑇 = 𝜋,
𝑘 = 0, ±1, ±2, …
Обратные тригонометрические функции.
Построение эскизов графиков функций.
Смещение вдоль оси абсцисс.
а - действительное положительное число.
𝑦 = 𝑓(𝑥) - исходная функция.
𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑎 - смещение графика
𝑦 = 𝑓(𝑥) на а единиц вправо.
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎) - смещение графика
𝑦 = 𝑓(𝑥) на а единиц влево.
Смещение вдоль оси ординат.
b - действительное положительное число.
𝑦 = 𝑓(𝑥) - исходная функция.
𝑦 = 𝑏 + 𝑓 𝑥 - смещение графика
𝑦 = 𝑓(𝑥) на b единиц вверх.
𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑏 - смещение графика
𝑦 = 𝑓(𝑥) на b единиц вниз.
Сжатие – растяжение вдоль оси абсцисс.
𝑦 = 𝑓(𝑥) - исходная функция. k- действительное положительное число,
превосходящее единицу.График функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥)- сжат в k раз по оси
абсцисс
Пример. 𝑦4 𝑥 = sin 𝜋𝑥 , 𝑦5 𝑥 = sin 3𝜋𝑥
𝑥
График функции 𝑦 = 𝑓( )- растянут в k раз по оси абсцисс.
𝑘
Пример. 𝑦4 𝑥 = sin 𝜋𝑥 , 𝑦5 𝑥 = sin
1.5
𝜋𝑥
3
1
y4( x)
y5( x)
- 5
0
- 1
5
Сжатие – растяжение вдоль оси ординат.
𝑦 = 𝑓(𝑥) - исходная функция. k- действительное положительное число,
превосходящее единицу.
График функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥)- растянут в k раз по оси ординат.
Пример. 𝑦4 𝑥 = sin 𝜋𝑥 ; 𝑦5 𝑥 = 3 sin 𝜋𝑥
1
График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)- сжат в k раз по оси ординат.
𝑘
1
Пример. 𝑦4 𝑥 = sin 𝜋𝑥 ; 𝑦5 𝑥 = sin 𝜋𝑥
3
Отражения графиков.
5
4
𝑦 = 𝑓(𝑥) - исходная функция.
2
y5( x)
y4( x) - 10
-5
0
5
10
𝑦 = 𝑓(−𝑥) - исходная функция симметрично отражается
относительно оси ординат.
-2
Пример. 𝑦5 𝑥 = 𝑙𝑛 −𝑥 ,
-4
-5
𝑦5 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 .
- 10
x
10
𝑦 = −𝑓(𝑥) - исходная функция симметрично
отражается относительно оси абсцисс.
Пример. 𝑦5 𝑥 = 𝑥 2 ,
𝑦5 𝑥 = −𝑥 2
𝑦 = 𝑓( 𝑥 ) - график исходной функции для 𝑥 ≥ 0 остаётся на прежнем месте,
для 𝑥 < 0 – заменяется на отражённую относительно оси ординат часть
графика для 𝑥 ≥ 0.
Пример.𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥
Билет 1
1. Построить эскизы графиков функций:
А) y  53xx - 37
Б) y  53xx - 37 ; y  f ( g ( x)), f x  x , g x  x  2
В)
y  5x 2 - 4 x  7
; Г) y  2x
2
-6x2 5
;
Д)
y
3x -3
5x 7
.
2. Определить вид монотонности функции
(возр. или убывание) на отрезке:
x  3;7
3. Найти область определения функции
y
1
x2 - 2

3x 2  4 x - 4
x 1
4. Найти обр.функцию
y  6 - 3x
y
1
x  12