презентация Power Point 2007/2010
advertisement
Статистическое моделирование факторных планов Лекция 5 1. Статистическое описание межгруппового факторного эксперимента 2. Двухфакторный дисперсионный анализ 3. Структурные модели двухфакторного дисперсионного анализа Вопросы для обсуждения ВОПРОС №1 Факторный экспериментальный план… • Факторными называют планы, в которых исследуется влияние двух и более независимых переменных на одну зависимую переменную. • Число экспериментальных условий, исследуемых в полных факторных планах, равно произведению всех уровней всех независимых переменных • Факторные планы могут быть межгрупповыми, внутригрупповыми и смешанными. • В данной теме мы рассмотрим лишь внутригрупповой план. Факторный план • При межгрупповом плане каждому испытуемому предъявляется единственное сочетание уровней всех переменных • Таким образом, в межгрупповых факторных планах число групп испытуемых, необходимых для эксперимента, равно произведению числа всех уровней всех независимых переменных (факторов). • Например, если используется двухфакторный план 2х2, то для проведения эксперимента потребуется 4 группы испытуемых, каждая из которых будет иметь дело лишь с одним сочетанием факторов. Межгрупповой план Уровни факторов А1 А2 Среднее B1 AB11 AB21 AB.1 B2 AB12 AB22 AB.2 Среднее AB1. AB2. AB.. Пример: межгрупповой план 2х2 Уровни факторов А1 … Аi … Аp Среднее B1 AB11 … AB21 … ABp1 AB.1 … … … … … … AB1j … AB22 … ABpj AB.j … … … … … … Bq AB1q … ABiq … ABpq AB.q Среднее AB1. … ABj. … Abp. AB.. … Bj Пример: межгрупповой план pхq • Двухфакторный план позволяет исследовать три эффекта: два основных эффекта факторов и их взаимодействие. • Кроме того, в двухфакторном межгрупповом плане присутствует эффект статистической (экспериментальной) ошибки, который определяет внутригрупповые различия между испытуемыми. Двухфакторный план Факторы A B Эффект 𝐴𝐵𝑖. − 𝐴𝐵.. 𝐴𝐵.𝑗 − 𝐴𝐵.. Дисперсия 𝑖 𝑗 𝐴𝐵𝑖. − 𝐴𝐵.. 𝑝−1 𝐴𝐵.𝑗 − 𝐴𝐵.. 𝑞−1 Основные эффекты 2 2 Взаимодействие AB Дисперсия 𝐴𝐵𝑖𝑗 − 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐴𝐵.. 𝐴𝐵𝑖𝑗 − 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐴𝐵.. 𝑝−1 𝑞−1 Где 𝐴𝑖 - основной эффект фактора A на уровне i 𝐵𝑗 - основной эффект фактора B на уровне j Взаимодействие 2 Внутри группы 𝑥𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵𝑖𝑗 Дисперсия внутри группы Дисперсия по всем группам 𝑘 𝑖 𝑗 𝑥𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵𝑖𝑗 𝑛−1 2 𝑘 𝑥𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵𝑖𝑗 𝑝𝑞 𝑛 − 1 Экспериментальная ошибка 2 ВОПРОС №2 Двухфакторный дисперсионный анализ Общая дисперсия Между группами Фактор A Фактор B Взаимодействие AB Анализ дисперсии Внутри групп • 𝑀𝑆𝑎 = 𝑛𝑞 𝑖 𝐴𝐵𝑖. −𝐴𝐵.. 2 𝑝−1 • 𝑀𝑆𝑏 = 𝑛𝑝 𝑖 𝐴𝐵.𝑗 −𝐴𝐵.. 𝑞−1 2 Средние квадраты: основные эффекты • 𝑀𝑆𝑎𝑏 = 𝑛 𝐴𝐵𝑖𝑗 − 𝐴𝐵𝑖. +𝐴𝐵.𝑗 −𝐴𝐵.. 2 𝑝−1 𝑞−1 Средние квадраты: взаимодействие • 𝑀𝑆𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥𝑖𝑗𝑘 −𝐴𝐵𝑖𝑗 𝑝𝑞 𝑛−1 2 Средний квадрат: внутри групп • Построение F-отношения определяется выбранной структурной моделью и зависит от того, каким образом трактуются независимые переменные (факторы) – как случайные или как фиксированные. • Всего возможные три структурные модели в зависимости от случайности или фиксированности факторов A и B. Построение F-отношения A фиксирован A случаен B фиксирован Фиксированная модель Смешанная модель B случаен Смешанная модель Случайная модель Модели ANOVA для двух факторов ВОПРОС №3 Структурные модели… • 𝑋𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + α𝑖 + β𝑗 + αβ𝑖𝑗 + ε𝑖𝑗𝑘 • Предполагается, что все случайные переменные распределены по закону нормального распределения, и математическое ожидание для статистической ошибки равно 0 Структурная модель • Будем обозначать большой буквой – число уровней фактора в генеральной совокупности, а маленькой – в выборке. • Например, Q – число уровней фактора B в генеральной совокупности, т.е. предельно возможное число уровней этого фактора, q – число уровней фактора B, исследуемое в эксперименте. Соглашение q 2 2 E ( MS a ) (1 )n nq Q p 2 2 2 E ( MSb ) (1 )n np P 2 2 E ( MS ab ) n 2 E ( MS e ) 2 Ожидаемые эффекты Фиксированные Случайные • В эксперименте исследуются все возможные уровни факторов A и B • Т.е. P=p, а Q=q. • Тогда 1 − 𝑝 𝑃 = 0 и 1 − 𝑞 𝑄 =0 • В эксперименте исследуется лишь очень незначительное число возможных значений факторов A и B • Т.е. P>>p, а Q>>q • Тогда 1 − 𝑝 𝑃 = 1 и 1 − 𝑞 𝑄 =1 Факторы MS Фиксированная модель Смешенная модель Случайная модель 𝑀𝑆𝑎 2 nq 2 2 2 n nq 2 2 2 n nq 2 𝑀𝑆𝑏 2 np 2 2 np 2 2 2 n np 2 𝑀𝑆𝑎𝑏 2 2 n 2 2 n 2 2 n 2 2 2 𝑀𝑆𝑒 В данном случае смешанная модель подразумевает случайность фактора A и фиксированность фактора B Отсюда… Фиксированная модель • Все эффекты (средние квадраты) оцениваются относительно внутригрупповой дисперсии Смешанная модель Случайная модель • Эффект случайного фактора оценивается относительно его взаимодействия с фиксированным фактором • Эффект фиксированного фактора и взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии • Основные эффекты оцениваются относительно их взаимодействия • Взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии F-отношение • В случае многофакторных экспериментов построить правильное F-отношение в ряде случае оказывается возможным лишь для полностью фиксированной модели. • Например, теоретически невозможно построить верное F-отношение для трехфакторной модели дисперсионного анализа, если все переменные являются случайными. • В последнем случае для оценки статистических эффектов может использоваться статистика квази-F. Многофакторные модели MS a F' MS ac MS ab MS abc Число степеней свободы для данной статистики может быть определено по специальным формулам Квази-F www.ebbinghaus.ru
