задачи с параметром

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
Презентация учителя математики
высшей категории МБОУ СОШ №10
с УИОП ЩРМО СКРЯБИНОЙ Г.В.
Основные методы решения:
(аналитический). Это способ так называемого прямого решения,
повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без
параметра.
По мнению большинства авторов различных сборников по решению задач с
параметром, аналитический способ решения задач есть самый трудный
способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по
овладению им.
(графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a)
рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в
координатной плоскости (x; a).
Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач
с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром»,
что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая
общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут
сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с
колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной
стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с
параметром.
(решение относительно параметра) При решении этим способом
переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та
переменная, относительно которой аналитическое решение признается
более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному
смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ
ТИП 1.
Уравнения, неравенства, системы базового курса
математики, которые задаются для любого значения
параметра, либо для значения параметра из
определённого множества.
ЗАДАЧА № 1
Решить уравнение:
где а – параметр.
2
1 x
 1 x 
1  O

  2a
x
 x 
,
( решаем аналитическим методом )
ЗАДАЧА № 2
Решить уравнение:
2 x  a  x  2a  2O
где а - параметр . ( решаем графически )
ЗАДАЧА № 3
Найти все значения х, при которых
неравенство
3
2
2
2

a
x

1

2
a
x

6
x

5

4
a

a
O

 

справедливо хотя бы для одного
значения а из [-1;2] ( решаем
относительно параметра )
ТИП 2.
Уравнения, неравенства, их системы и совокупности,
для которых требуется определить количество
решений в зависимости от значения параметра.
ЗАДАЧА № 1
Сколько корней имеет уравнение
2
x
a
2
x  2x  3
в зависимости от значений параметра а?
ЗАДАЧА № 2
Сколько решений имеет уравнение
x5
log 1
 log 1 ax
2 3 x
2
в зависимости от значения параметра а?
ЗАДАЧА № 3
Сколько корней в зависимости от параметра
а имеет уравнение:
6  x  x  3  ax  2
ТИП 3.
Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для
которых требуется найти все те значения параметра,
при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и
совокупности имеют заданное число решений (в частности,
не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные
задачам типа 2.
ЗАДАЧА № 1
Найти все значения а, при которых система имеет ровно
четыре решения:

1  x  1  7 y

2
2
49
y

x
 4a  2 x  1


ЗАДАЧА № 2
Найти все значения а, при каждом из которых система
уравнений имеет ровно два решения:
3x 2  3 y 2  1Oxy=O

2
2
4
 x  a    y  a   1Oa
ЗАДАЧА 3.
Найти все значения параметра а≠0, при котором
уравнение имеет единственное решение:
a
2
x  4 4 x a
2
Тип 4.
Уравнения, неравенства, их системы и
совокупности, для которых при искомых
значениях параметра множество решений
удовлетворяет заданным условиям в области
определения.
Например, найти значения параметра, при
которых:
1) уравнение выполняется для любого значения
переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является
подмножеством множества решений второго
уравнения и т. д.
ЗАДАЧА 1.
Найти все значения параметра а, при которых больший
корень уравнения
x4
x 
sin 2  16 на
3
2
2
3
больше, чем квадрат разности корней уравнения
2
cos

2
x  x sin  
1
4
ЗАДАЧА 2.
При каких значениях параметра а неравенство
log x  3log x  a log 2 x
3
2
2
2
Выполняется для всех х принадлежащих [2;4√2]
ЗАДАЧА 3.
При каких значениях параметра а каждое
решение неравенства 2 x 2  3 x  2  O
содержится среди решений неравенства
 x  2 ax  3  O
ЛИТЕРАТУРА:
1. А.В. Семенов, И.В.Ященко и др. Как получить максимальный
балл на ЕГЭ. Математика. Москва «Интеллект-Центр» 2015
2. А.Х. Шахмейстер. Задачи с параметром на экзаменах. М.
МЦНМО. 2011.
3. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич. Задачи с параметрами.
Справочное пособие по математике. Минск. «Асар» 2004
Сайт Ларин А. математика
СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ!