Уравнения и неравенства с параметрами как математические

Математика: 9 класс
Поличка Анатолий Егорович
Уравнения и неравенства с параметрами как
математические модели
1. Введение
Как известно, ряд проблем в различных отраслях человеческой деятельности может
быть изучен математическими методами. На этом пути, применяя язык математики,
изучаемым явлениям ставят в соответствие модельные явления. Если они описаны с
помощью математических правил, то такие модели называются математическими.
Примером такого процесса является процесс решения простейших так называемых
“текстовых” задач с помощью сведения их к уравнениям или неравенствам. Наиболее
интересен для приложений не сам этап получения решения и записи его в виде
математической символики, а следующий за ним этап. Это исследование зависимости
решения от параметров, которые были объявлены данными. В этом смысле, с формальной
точки зрения, никаких специальных уравнений или неравенств с параметрами нет.
Приведем пример.
Пример. Рассмотрим уравнение x 2  ax  a 2  0 . Его можно понимать как квадратное
уравнение относительно неизвестного х , а можно понимать как квадратное уравнение
относительно неизвестного а с параметром х. Следует же понимать это уравнение как
уравнение с двумя неизвестными х и а. В левой части уравнения стоит математическое
выражение от двух аргументов х и а.
Множество решений
такого уравнения – это множество пар чисел, при
подстановке которых в уравнение получается верное равенство.
Взгляд относительно х говорит о решении уравнения относительно х. В этом случае
аргументы х и а считают неравноправными. Поэтому необходимо выразить при решении х
через а, которое называют “параметром”.
Можно рассмотреть это уравнение по-другому, взгляд относительно а: необходимо
иметь ответ в таком виде, чтобы для каждого значения а было указано, какие числа х в
паре с этом а дают решения данного уравнения.
2. Замечание
На этом пути, если брать разные основания для классификаций (например, от
вида математического выражения, задающего уравнение) и учитывая разные взгляды на
аргументы, входящие в это математическое выражение, получим спектр разных типов
уравнений (неравенств).
3. Вид соотношений с выделенными параметрами
В реальных задачах (например, с физическим содержанием) естественно вводится
неравноправие аргументов, входящих в уравнение. Они делятся на “неизвестные”,
обозначаемые, как правило, последними буквами латинского алфавита (…, x, y, z), и
“параметры” - обозначаемые первыми буквами (a, b, c,…).
Рассмотрим один из способов решения задачи с параметрами:
- значение параметра (или параметров, если их несколько) считается произвольно
фиксированным,
- и затем ищется решение задачи так, как обычно обращаются с уравнениями и
неравенствами с одним неизвестным.
- Ответом должно быть перечисление решений для каждого допустимого значения
параметра.
Например, ответ при решении неравенства x  a лучше всего записывать в виде:
1) при a   ;0 решений нет;


2) при a 0; имеем любое х из 0; a 2 .
4. Замечание. Отметим, что выяснение зависимости решений от значений параметра
есть часть процесса решения задачи. Иногда это называют исследованием и отделяют от
непосредственного решения. Необходимо запомнить и уяснить, что решение задачи с
параметрами без такого этапа не дает решение. Задача нерешена!
5. Пример решения неравенства с параметром
Решить неравенство
2x  a  x .
Решение. 1) Находим естественную область определения. Это множество пар x, a  , при
a
которых выражение, задающее задачу определено. Имеем, что 2x  a  0  x   .
2
2) Так как 2 x  a  0 рассмотрим сначала случай x  0 . Тогда все пары x, a  , входящие
в область определения, являются решениями.
2x  a  x 2  x2  2x  a  0 .
3) Рассмотрим случай x  0 . Тогда 2 x  a  x 
Исследуем дискриминант получившегося трехчлена. Он равен D 1  a .
3.1. При a  1  D  0  действительных решений нет.
3.2. При a  1, решая квадратное неравенство, имеем, что 1  a  1  x  1  a  1 .
a
Однако теперь надо согласовать полученное условие с условиями: x  0 и x   . Это
2
1  a  1  x  1  a  1,

 x  0,
при водит к системе неравенств: 
Получаем, что х должен
a
x   ,
2

a  1
a
быть больше (или равен) каждого из трёх чисел 0,  , 1  a  1 . Поэтому надо знать,
2
как они расположены на числовой оси в зависимости от параметра а. Рассмотрим
варианты: а) первое число больше третьего 0  1  a  1  a  1  1  a  0 .
a
б) первое число больше второго 0    a  0 .
2
Получаем два случая: a  0 и 1  a  0 .
3.2.1) Пусть a  0 . В этом случае из трех исходных чисел самым большим является первое
– число 0. Остаются условия x  0 и x  1  a  1 .
3.2.2) Пусть 1  a  0 . Теперь первое число меньше второго и третьего. Сравним второе и
a
a
a2
a2
 0.

третье:   1  a  1  a  1  1   a  1  1  a 
2
2
4
4
Это не выполняется ни при каких а. Итак, в этом случае третье число наибольшее.
Получили, что 1  a  1  x  1  a  1 . Объединив все случаи, получим
Ответ. 1) если a  1, то решений нет;
2) если 1  a  0 , то 1  a  1  x  1  a  1 ;
a
3) если a  1 , то   x  1  a  1 .
2
6. Замечание
Как уже отмечалось, задачи с параметрами могут бать по-разному классифицированы:
- по виду математического выражения (линейные, квадратные и т.д.);
- по количеству неизвестных и выражений (системы и т.д.);
- по количеству параметров.
Выделены и классы методов их решения (формальный, геометрический и др.). Этому
будут посвящены дальнейшие статьи цикла.
Задачи для самостоятельного решения
М9.12.1. Девушка купила в магазине х роз, заплатив за все у рублей (х и у – целые числа).
Когда она собралась уходить, продавец сказал ей: “Если бы Вы купили ещё 10 роз, то я
отдал бы Вам все розы за 2 рубля и Вы сэкономили бы 80 копеек на каждых 12 розах”.
Найти х и у.
М9.12.2. Покажите, что для любых положительных чисел p, q, r, s дробь
( p 2  p  1)( q 2  q  1)( r 2  r  1)( s 2  s  1)
 81 .
pqr s
М9.12.3. Покажите, что если а, в, с – стороны некоторого треугольника и
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca , то этот треугольник обязательно равносторонний.
М9.12.4. Решите уравнения
x a x b
b
a



а)
;
b
a
x a x b
1
1

1;
в)
x  a ax
2
б) (a  1) x  (a  1) x  2a  0 ;
г) x  a  x  a  1  3 .
М9.12.5. Решите неравенства
а) (a  1) x  3a  1 ;
в)
x  a  x  1.
б)
a
 2;
ax  a  1