Решение задач на проценты

Задачи на проценты
Актуальность темы:
Получение глубоких знаний о процентах
помогут успешнее сдать ГИА и ЕГЭ.
Гипотеза работы:
Предполагаем, что данная тема очень
важна:
а) для старшеклассников (сдача ГИА и
ЕГЭ)
б) для современного человека
(экономическая сфера жизни)
Цель исследования:
1. Обобщение и систематизация,
расширение и углубление знаний
по теме проценты;
2. Доказательство
необходимости процентных
вычислений в задачах при
подготовке к экзаменам, и в
задачах, диктуемых самой
жизнью.
Задачи:
1.Изучить роль задач на проценты в
школьном курсе математики;
2.Развивать умение пользоваться научной
литературой;
3.Познакомиться с формулами, методами
решения задач на проценты;
4.Выделить группы задач на проценты,
взятых из сборников для подготовки к
ГИА и ЕГЭ;
5.Рассмотреть практическое применение
процентных вычислений в жизни,
иллюстрировать результаты в виде
таблиц.
Объект исследования:
Проценты в школе и современной
жизни человека.
Предмет исследования:
Задачи на проценты.
Теоретическая значимость работы:
Восполнить, углубить, систематизировать
знания по теме « Решение задач на
проценты».
Практическая значимость работы:
Процентные вычисления необходимы в
реальной жизни:
финансовая сфера – начисление зарплаты,
платежи, налоги, рост цен …
торговля – скидки, наценки, уценки,
прибыль …
экология, социология, рейтинги,
статистика… не обходятся без процентных
знаний.
Научная новизна работы:
Решение нестандартных,
практических задач школьного
курса помогает разобраться в
новых экономических веяний
жизни.
Один процент – это одна
сотая часть какого-то числа
Математическими знаками
один процент записывается
так: 1%.
Соотношения, которые полезно
запомнить:
50% числа х – это его половина
(0,5х)
25% числа х – это его четверть
(0,25х)
20% числа х – это его пятая часть
(0,2х)
75% числа х – это его три
четверти ( 0, 75х)
Полезные формулы:
Если величину x увеличить на p процентов, получим
Если величину x уменьшить на p процентов,
получим .
Если величину x дважды увеличить на p процентов,
получим,
Если величину x дважды уменьшить на p процентов,
получим
Основные задачи на проценты
Нахождение
числа по его
процентам
Нахождение
процентов
данного числа
Нахождение
процентного
отношения
чисел
Правила, необходимые при
решении задач на проценты.
Правило 1.Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно
проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту
десятичную дробь.
Например:
20% от 45 кг сахара равны:
45·0,2=9 кг, или 45ː5=9кг, так как 20% числа х – это его пятая часть
Правило 2. Чтобы найти число по его проценту, надо часть,
соответствующую этому проценту, разделить на дробь.
Например:
9% от длины бруска составляют 8,1см, то длина всего бруска равна:
8,1ː0,09=90см.
Правило 3.Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо
отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (аːв)·100%.
Например:
12г соли в растворе массой 150г составляют: 12ː150·100%=8%
Правило 4.Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить
проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту
дробь.
Практические советы:
1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным
величинам. Или, если надо – от конкретных величин к
процентам. Внимательно читаем задачу!
2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты.
Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно
подразумевается. При последовательном изменении величины,
проценты подразумеваются от последнего значения.
Внимательно читаем задачу!
3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно,
вы нашли промежуточный ответ, а не
окончательный. Внимательно читаем задачу!
Способы решения задач на
проценты.
Арифметический
Составление линейных уравнений
Составление систем линейных уравнений
Составление нелинейных уравнений
Составление систем нелинейных уравнений
Составление неравенств.
В работе мы рассмотрели и
решили следующие задачи на
проценты.
Задачи на проценты на ЕГЭ.
Задачи на растворы, смеси и сплавы.
Задачи на итоговой аттестации в 9 классе.
Задачи банковских систем и сложных
процентов.
Занимательные задачи и олимпиадные задачи
на проценты.
Проценты
на ЕГЭ.
В сентябре 1кг винограда стоил 60 рублей, а в октябре виноград
подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1кг
винограда после подорожания в ноябре.
Для ее решения достаточно дважды рассчитать стоимость одного килограмма
винограда (в октябре, а затем – в ноябре).
Стоимость 1 кг винограда в октябре равна:
60+60⋅25%=60+60⋅0.25=60+15=75.
В ноябре стоимость 1 кг винограда оказывается равной:
75+75⋅20%=75+75⋅0.2=75+15=90.
Таким образом, стоимость винограда в ноябре оказалась равной 90 рублей.
Ответ: 90 рублей.
Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов
можно купить
на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%.
Решение этой задачи сводится к определению новой цены на флакон и расчету
Наибольшего числа флаконов которые можно купить за имеющиеся деньги.
Новая цена флакона шампуня оказывается равной:
160−160⋅25%=160−160⋅0.25=160⋅(1−0.25)=160⋅0.75=120 рублей.
Для расчета наибольшего количества флаконов, которые можно купить за 1000 рублей,
поделим эту сумму на цену флакона и отбросим дробную часть:
1000/120 =8,3333
Таким образом, на 1000 рублей можно купить 8 флаконов шампуня,
со скидкой 25%.
Ответ: 8 флаконов.
Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за
выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить
букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое
наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если
удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара,
тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из
нечетного числа цветов.
Решение этой задачи следующее:
Вначале нужно вычислить сумму, которая будет потрачена на
приобретение цветов, после вычета налога.
700−700⋅13%=700−700⋅0.13=700⋅(1−0.13)=700⋅0.87=609.
То есть у студента после вычета налога осталось 609 рублей.
Далее, по аналогии с предыдущей задачей находим:
609/60-10,15
То есть, на оставшиеся 609 рублей студент может купить 10
тюльпанов. Но учитывая, что букет должен состоять из нечетного
числа цветов, в ответ пишем 9 тюльпанов.
Ответ: 9 тюльпанов.
Одна таблетка лекарства весит 20мг и содержит 5% активного
вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4мг
активного вещества на каждый кг веса в сутки. Сколько таблеток
этого лекарства следует дать ребенку в возрасте четырех месяцев
и весом 5 кг в течение суток?
Вначале найдем требуемое для ребенка количество активного вещества
лекарства:
1.4 мг/кг⋅5 кг=7 мг.
Затем рассчитаем количество активного вещества в одной таблетке
лекарства:
20 мг⋅5%=20⋅0.05=1 (мг).
Разделим требуемое количество действующего вещества лекарства на его
количество в одной таблетке, находим:
7 мг/1мг =7.
Таким образом, врач назначил ребенку 7 таблеток лекарства в сутки.
Ответ: 7 таблеток.
« Платежи кратными
суммами с комиссией»
При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия
1%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная
плата за интернет составляет 350 рублей. Какую минимальную
сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на
счету фирмы, предоставляющей интернет-услуги, оказалась сумма,
не меньшая 350 рублей?
Определим, какую сумму необходимо внести на счёт, чтобы после списывания процента,
осталось минимум 350 рублей. Учтем, что 1% отнимается от вносимой суммы. Значит,
вносимая сумма это х и она соответствует 100%. Сумма после списывания одного процента
составляет 350 рублей и она соответствует 99%. Составляем пропорцию:
х рублей
- 100%
350 рублей - 99%
То есть необходимо внести минимум 353,54 рубля, и тогда на счёте останется 350 рублей. Но
терминал принимает 10 рублёвые купюры, значит, что необходимо внести сумму кратную
десяти, то есть минимум 360 рублей. Если внесём 350, то после списывания процента, сумма
уменьшится и на счету будет менее 350 рублей (это очевидно).
Сделаем проверку, какая сумма останется на счёте после внесения 360 рублей:
360 рублей - 100%
х рублей
- 99%
Останется 356,4 рубля. Этого для оплаты услуги будет достаточно.
Имея, практические навыки решения задач на проценты, только взглянув на эту задачу, сразу
же можно озвучить ответ без всяких вычислений. Рассуждения могут быть такими:
350 рублей не хватит – это понятно, так как если от них отнять любой процент, то сумма
уменьшится и её не хватит. Если же отнимем 1% от 360 рублей, то сразу видно, что от трехсот
шестидесяти нужно отнять одну сотую (это 3 рубля 60 копеек), и суммы 356 р 40 коп будет
вполне достаточно для того, чтобы оплатить услугу.
Ответ: 360
Банковское кредитование получило широкое распространение в настоящее время
и неудивительно, что задачи расчета ежемесячного платежа по погашаемому
кредиту вошли даже в перечень задач ЕГЭ по математике.
Формула простого процентного роста: S  (1  pn ) S
n
p n
S n  (1 
) S
100
100
Формула сложного процента:
Есть форма вклада под 100% годовых, с правом взять вклад в любое время с
получением доли прибыли.
За 1 день вклад увеличится на:
1
1
365
За 1 год вклад увеличится на:
(1 
1 365
)
365
Один из олигархов положил в коммерческий банк 8 миллионов
долларов под 50%. Через год он снял некоторую сумму для покупки
яхты, а еще через год на его счету стало 13,5 млн. долларов. Я не
спрашиваю, откуда у него такие деньги и где тот банк. Я только хочу
знать, почем нынче яхты?
Решение:
1) 8 · 0,5 = 4(млн. долларов) – 50%;
2) 8 + 4 = 12 (млн. долларов) – на счету через год;
3) х млн. долларов – стоимость яхты, тогда после покупки яхты на счету
останется (12 – х ) млн. долларов;
4) еще через год на его счету станет
(12 – х) · 0,5 + 12 – х = 13,5;
х = 3.
Ответ: 3 млн. долларов.
Брюки дороже на 20% рубашки и дешевле на
46% пиджака. На сколько процентов
рубашка дешевле пиджака?
Решим задачу с полным объяснением по
действиям:
№
действи
я
1
2
Объяснения действия
Брюки сравнивают с рубашкой. За
100% принимают ту величину, с
которой сравнивают! Брюки
принимаем за х.
Брюки сравнивают с пиджаком.
Пиджак принимаем за у. Брюки
дешевле пиджака на 46%,
Решение
х – 100%
Брюки – 120%
брюки =
Брюки 1,2х – 54%
Пиджак у – 100%
у=
Ответ
Брюки = 1,2х
Пиджак =
Рубашка х – ? %
Пиджак
– 100 %
3
4
Рубашку сравниваем с пиджаком.
Рубашку берем за х. За 100%
принимаем пиджак.
Находим, на сколько % рубашка
дешевле пиджака.
Рубашка =
Рубашка = 45%
Рубашка=
100 – 45 = 55
Рубашка дешевле
пиджака на 55%.
Задачи на растворы, смеси
и сплавы.
Основными компонентами этого
типа задач являются:
а) массовая доля растворенного
вещества в растворе;
б) масса растворенного вещества;
в) масса раствора.
Важно знать:
а) все получившиеся смеси, и сплавы являются
однородными;
б) смешивание различных растворов происходит
мгновенно;
в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых
растворов;
г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть
отрицательными.
Рассмотрим способы решения:
Определения и обозначения.
Массовая доля растворенного вещества в растворе
- это отношение массы этого вещества к массе
раствора.
mв  вa 
C 
m p  pa 
где С- массовая доля растворенного вещества в
растворе;
m(в – ва) - масса растворенного вещества в растворе;
m(р –ра) - масса раствора.
mв  вa   C  p  pa 
mв  вa 
m p  pa  
C
Введем обозначения:
С1- массовая доля растворенного вещества в первом растворе;
С2- массовая доля растворенного вещества во втором растворе;
С- массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном
при смешивании первого и второго растворов;
m1(в-ва), m2(в-ва), m(в-ва) - массы растворенных веществ в
соответствующих растворах;
m1(р-ра), m2(р-ра), m(р-ра) - массы соответствующих растворов.
Основные методы решения задач на
смешивание растворов являются:
с помощью расчетной формулы,
“правило креста”,
графический метод,
алгебраический метод.
Имеется 150 граммов 70-процентной уксусной
кислоты. Сколько воды надо в неё добавить, чтобы
получить 5-процентный уксус?
Решение: ( арифметический)
1) 150 · 0,7 = 105 г кислоты в растворе;
2) 150 - 105 = 45 г воды в растворе;
3) 105 : 0,05 = 2100 г масса нового раствора;
4) 2100 - 105 = 1995 г воды в новом растворе;
5) 1995 - 45 = 1950 г нужно добавить воды.
Ответ: 1950 грамм
Старинный способ решения задач на смеси, сплавы
и растворы (правило креста).
Впервые о нем было упомянуто в первом печатном
учебнике математики Леонтия Магницкого.
Данный способ применялся купцами и
ремесленниками при решении различных
практических задач. Но в задачниках и различных
руководствах для мастеров и торговцев никаких
обоснований и разъяснений не приводилось. Просто
давался рецепт решения: либо рисовалась схема,
либо словесно описывалась последовательность
действий — поступай так и получишь ответ.
Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 %
меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав
массой 30 кг, содержащий 20 % меди. Какое
количество каждого сплава было использовано?
Решим задачу разными способами: системой уравнений,
линейным уравнением, “крестом”.
1 способ: (система уравнений)
% содержания
вещества
Масса сплава
Масса меди
1 сплав
10% = 0,1
Х кг
х * 0,1
2 сплав
25% = 0,25
У кг
у * 0,25
3 сплав
20 % = 0,2
3 кг
3 * 0,2
0,15 у = 0,3 у = 2 , значит х = 1.
Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.
2 способ: ( линейное уравнение)
% содержания вещества
Масса сплава
Масса меди
1 сплав
10% = 0,1
Х кг
х * 0,1
2 сплав
25% = 0,25
3 - х кг
( 3 – х) * 0,25
3 сплав
20 % = 0,2
3 кг
3 * 0,2
х * 0,1 + ( 3 - х ) * 0,25 = 3 * 0,2
х * 0,1 + 0,75 - х * 0,25 = 0,6
- 0,15 х = - 0,15
х = 1, значит 3 – 1 = 2.
Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.
3 способ: (“крест”)
5+10 = 15 частей в 3 кг
3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.
На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг
На 10 частей - 0, 2 * 10 = 2 кг
Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.
Вывод: Разные способы решения дают одинаковый результат.
Выбираем тот путь решения, который больше подходит для данной задачи.
Задачи ГИА.
(тестовые)
Городской бюджет составляет 45 млн. руб., а расходы на
одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей
потрачено на эту статью бюджета?
1) 5625000 руб. 2)562,5 руб. 3) 50625000 руб. 4) 562500
руб.
Решение:
1. арифметический способ;
45000000ː100=450000 (руб.) – составляет 1%
450000·0,125=5625000 (руб.) – потрачено на статью
или
45000000·0,125=5625000 руб.
2.способ – составление пропорции;
45000000 – 100%
Х- 12,5%
Ответ: 1.
Занимательные
и олимпиадные
задачи на
проценты.
По дороге идут два туриста. Первый из них делает
шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще,
чем второй. Кто из туристов идет быстрее и
почему?
Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в,
тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда
прошел 1,1·а·0,9·в=0,99·ав, что меньше ав.
Ответ: Второй турист идет быстрее.
2.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на
10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить
на 20%?
Если товар стоил А руб, то после двух понижений он стал стоить
0,9·0,9·А=0,81А. если цену товара сразу понизить на 20%, то он
станет стоить 0,8·А, что дешевле.
Ответ: Да.
ОТДЫХ ЖИТЕЛЕЙ КИСЕЛЕВСКА
Осень
13%
Зима
13%
Весна
13%
Мы видим, что больше всего поездок приходится на лето.
А теперь посмотрим , куда же чаще всего летают отдыхать жители
нашего города.
Лето
61%
5%
5%
5%
Турция
Вьетнам
Тайланд
Болгария
Испания
ОАЭ
Чехия
Китай
5%
30%
5%
25%
Данные за 2014 год
20%
Бюджет среднестатистической
семьи.
Исследуем бюджет средней статистической семьи нашего
города, выясним,
сможет ли семья позволить себе поехать отдохнуть летом во
Вьетнам.
Всего расходы составили: 32000 руб. (58,7% расходы семьи в
месяц)
Остаток: 45400 руб.
Семья желает поехать летом отдохнуть во Вьетнаме.
Поездка во Вьетнам на 11дней на одного человека 35600руб.
Значит на семью необходимо: 142400руб. +80000руб.
=222400руб.
Такую сумму семья может накопить за 5- 6 месяцев.
Можно пойти по другому варианту:
Взять кредит в « Сбербанке» и отдохнуть всей семьей во
Вьетнаме.
Расход семьи
10000
9000
10000
8000
7000
6000
5000
7000
6000
4000
3000
4000
2000
3000
2000
1000
0
коммунальные
платежи
питание
бытовые нужды
лекарства
кредит
помощь дочери
студентки
Доход семьи
45000
40000
42000
35000
30000
25000
20000
15000
14400
10000
8000
5000
7000
6000
0
зарплаты папы
пособие по уходу за
ребенком
инвалидом
дочь студентка,
подрабатывает в
салоне сот.связи
семья сдает
квартиру
пенсия по
инвалидности
сына
Где выгодно взять кредит в нашем
городе.
%
Ежемесячный
ставка платеж (руб.)
Общая
сумма
выплат
(руб.)
Полная
сумма
стоимость
переплаты
кредита
(руб.)
(%)
№
Название банка
1
Сбербанк
22
3286
59155
9155
18,31%
2
Уралсиб
30
3484
62703
12703
34,68%
3
Углемет банк
34
4316.93
65581,79
14708,79
41,44%
4
Россельхоз банк
35
3610
64978
14978
41,44%
5
Лето - банк
26
4000,66
72011,94
22011,94
44,02%
6
Хоум - кредит
36
3659
65853
15853
44.09%
7
Кольцо Урала
27
3408
61359
11359
22,72
8
Совкомбанк
36
3635,43
65491,91
15491,95
42,57%
Сравнив данные таблицы можно сделать вывод: кредит
выгодно взять в банке « Сбербанке»
Заключение.
Работа по данной теме оказалась интересной и
поучительной для нас. Проценты необходимы в
современной жизни человека, и в то же время это одна
из самых сложных тем школьного курса математики.
В работе рассмотрели несколько видов задач на
проценты и способы их решения. Внимательно
изучили литературу. Зная формулы, никакая задача не
представит затруднения, главное внимательно
решать.
В итоге мы хотим отметить, что поставленная нами
цель выполнена, и гипотеза нашла свое
подтверждение:
1.Действительно проценты необходимы в
современной жизни человека;
2.Тема «проценты» одна из проблемных тем
школьного курса математики.