Методы решения уравнений

“Уважение к минувшему – вот
черта, отличающая
образованность от дикости”.
А.С. Пушкин
УРАВНЕНИЯ
Корнем уравнения называется значение
переменной, при подстановке которого в
уравнение получается верное равенство.
Примеры :
 х3 + х = 0 — один корень: х = 0.
 (х2 + х – 12) . = 0 —два корня: х = -3, х = 3.
 Ѕіn(πx) =0 — бесконечное число корней х Z.
 х2 + 2х + 1 = (х + I)2 — верно при всех х R.
 х2 = х2 + 1 — нет корней (пустое множество
корней ø).
Два уравнения называются равносильными,
если множества их корней совпадают.
Примеры:
 х2 = х + 2 и
 х4 + 2 = -16
равносильны.
 х = 2х – 6 и
х2 – х – 2 = 0
равносильны.
и
ЅіnЗх = 2
х = (2х – 6)2
неравносильны.
Методы решения уравнений с помощью
комбинации различных приемов.
Разложить многочлен на множители значит представить его в виде
произведения более простых многочленов.
Какие же методы решения уравнений нам известны с 7-го класса?
Методы решения уравнений
1
2
Вынесение
общего
множителя за
скобки
Способ
группировки в том
числе с
использованием
предварительного
преобразования
5
3
Применение
формул
сокращенного
умножения
Комбинирование различных приемов
4
Выделение
полного
квадрата
Вынесение общего множителя за скобки
Алгоритм
отыскания общего множителя нескольких одночленов
1.
2.
3.
Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех
одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим
числовым множителем (разумеется, это относится
только к случаю целочисленных коэффициентов).
Найти переменные, которые входят в каждый член
многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший
(из имеющихся) показатель степени.
Произведение коэффициента, найденного на первом шаге,
является общим множителем, который целесообразно
вынести за скобки.
Способ группировки
Алгоритм разложение многочлена на
множители способом группировки
1.
2.
3.
Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в
каждой группе имели общий множитель.
Вынести в каждой группе общий множитель в виде
одночлена за скобки.
Вынести в каждой новой группе общий множитель (в
виде многочлена) за скобки
Разложение многочлена на множители с
помощью формул сокращенного умножения
Вспомните эти формулы:
a2-b2=(a-b)(a+b);
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2;
(а+b)3 = a3+ 3a2b+3ab2 +b3
(а – b)3 = a3 -3a2b+3ab2 -b3
Решение уравнений с помощью комбинации
различных приемов
В математике не так часто бывает, чтобы при
решении уравнения применялся только один
прием, чаще встречаются комбинированные
примеры, где сначала используется один прием,
затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие
примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь
выработать
план
их
последовательного
применения. Иными словами, здесь нужны не
только знания, но и опыт.
Комбинирование различных приемов
Порядок применения различных
методов при решении уравнений
1.
2.
3.
4.
Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
Попробовать разложить многочлен на множители по
формулам сокращенного умножения.
«Увидеть» и попробовать выделить полный квадрат.
Попытаться применить способ группировки (если
предыдущие способы не привели к цели).
Уравнения высших степеней
приводимые к виду f(х) = 0,
где f(х) — многочлен степени выше 2.
Примеры:
 х3 – 2х2 – х + 2 = 0,
 х4 – Зх2 + 2 = 0
 х3 – 4х2 + х + 6 = 0
 2х4 – 5х3 + 6х2 – 5х + 2 = 0.
 Зх2 + 4х(х2 + Зх + 4) + (х2 + Зх + 4)2 = 0.
 х4 + ах3 + вх2 +сх + d = 0.
…
Методы решения алгебраических уравнений
высших степеней











Разложение на множители
Замена переменной
Использование монотонности
Сравнение обеих частей по величине
Использование однородности
Подстановка (биквадратное уравнение)
Применение схемы Горнера
Возвратное уравнение
Уравнение 3 степени – формула Кардано
Метод Феррари
Метод неопределенных коэффициентов
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ



Мы вспомнили основные методы решения
уравнений (комбинацию различных
приемов), известные нам из школьного
курса алгебры . Попытались выработать
план применения на практике.
Установили, что для решения уравнений
высших степеней «школьных» знаний не
достаточно.
Решили исследовать данный вопрос,
подготовить проект по теме «Уравнения
высших степеней» с целью углубления
знаний и подготовки к поступлению во
ВТУЗы.