ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ урок алгебры в 7 классе

ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
урок алгебры в 7 классе
Киреева Н.А
СОДЕРЖАНИЕ
 Квадрат суммы и квадрат разности
 Разность квадратов
 Математические диктанты (1, 2)
 Контрольная работа
 Тестовые задания
КВАДРАТ СУММЫ
И КВАДРАТ РАЗНОСТИ
 Возведение в квадрат суммы и разности двух
выражений
 Разложение на множители с помощью формул
квадрата суммы и квадрата разности
 Самостоятельная работа
I вариант
II вариант
Возведение в квадрат суммы и
разности двух выражений
Цели: вывести формулы сокращенного умножения и учить применять
их при возведении в квадрат суммы или разности выражений.
Объяснение нового материала:
1. При умножении многочлена на многочлен каждый член одного
многочлена умножают на каждый член другого.
Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно
выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного
умножения.
2. Возведем в квадрат сумму a + b.
Выполним умножение
(a  b) 2  (a  b)( a  b)  a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2 .
Значит,
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 .
(1)
Тождество (1) называют формулой квадрата суммы.
Возведение в квадрат суммы и
разности двух выражений
3. Формулировка формулы квадрата суммы: квадрат суммы равен
сумме квадратов каждого из слагаемых плюс удвоенное
произведение первого слагаемого на второе.
4. Возведем в квадрат разность a - b.
Выполним умножение
(a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2 .
Значит,
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 .
(2)
Тождество (2) называют формулой квадрата разности.
5. Формулировка формулы квадрата разности: квадрат разности
равен сумме квадратов каждого из слагаемых минус удвоенное
произведение первого слагаемого на второе.
Возведение в квадрат суммы и
разности двух выражений
Задание 1: решить устно примеры (а-е)
a) ( x  y) 2 ; б ) ( p  q) 2 ; в) (b  3) 2 ;
г ) (10  с) 2 ; д) ( y  9) 2 ; е) (9  y) 2 ;
Задание 2: решить примеры в тетрадях
a ) (a  11) 2 ; б ) (13  x) 2 ; в ) (0,4  m) 2 ;
1

г ) (2 x  3) ; д) (6 y  4 x) ; е)  m  3n 
4

2
2
2
2
1 

ж ) ( x  3) ; з ) ( m  10) ; и )  3a  b  .
3 

2
2
Разложение на множители
с помощью формул квадрата суммы
и квадрата разности
Цели: показать применение формул квадрата суммы и квадрата
разности двух выражений при разложении на множители выражений;
развивать логическое мышление учащихся.
Проверка изученного материала.
1. Двое учащихся решают на доске номера из домашнего задания.
2. С остальными учащимися проводится устная работа:
Представьте в виде многочлена :
1) (а  4) 2 ; 2) (а  7) 2 ; 3) (а  5) 2 ; 4) (а  5) 2
Сравните :
1) (а  8) 2 и (а  8) 2 ; 2) (а  16) 2 и (16  а) 2
Разложение на множители
с помощью формул квадрата суммы
и квадрата разности
Работа по учебнику
Формулы квадрата суммы и квадрата разности находят применение
не только для возведения в квадрат суммы и разности, но и для
разложения на множители выражений вида:
2
2
2
2
a  2ab  b и а  2ab  b
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую
части, получим:
2
2
2
2
2
2
a  2ab  b  (a  b) ;
a  2ab  b  (a  b) ;
Например :
1) 9 x 2  30 x  25  (3 x) 2  2  3 x  5  52  (3x  5) 2
2) a 2  20ab 2  100b 4  a 2  2 10  a  b 2  (10b 2 ) 2  (a  10b 2 ) 2
Задание: Выполните упражнения из учебника
Самостоятельная работа
I вариант
1. Представьте в виде многочлена :
а ) ( x  7) 2 ; б ) (5a  1) 2 ; в ) (10  4c) 2 ;
г ) (3c  a ) 2 ; д) (a 2  6) 2 ; е) (5a  8b) 2 .
2. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена :
9 2
16 2
2
2
2
2
а ) 4a  4ab  b ; б ) 9a  6ab  b ; в ) a  2ab  b ;
16
9
1 2
г ) a  ab  b 2 ; д) a 2b 2  2ab  1; е) b 2  2a 2b  a 4 .
4
Самостоятельная работа
II вариант
1. Представьте в виде многочлена :
а ) ( x  6) 2 ; б ) (4a  1) 2 ; в ) (5a  8) 2 ;
г ) (3b  a ) 2 ; д) (a 2  7) 2 ; е) (2m  9n) 2 .
2. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена :
4 2
9 2
2
2
2
2
а ) a  6ab  9b ; б )16a  8ab  b ; в ) a  2ab  b ;
9
4
1 2
г ) a  ab  b 2 ; д)1  2ab  a 2b 2 ; е) a 4  2a 2b  b 2 .
4
РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ
 Умножение разности двух выражений
на их сумму
 Разложение разности квадратов на
множители
 Самостоятельная работа
I вариант
II вариант
Умножение разности двух
выражений на их сумму
Цели: вывести еще одну формулу сокращенного умножения и
научить применять ее при умножении многочленов; развивать
логическое мышление учащихся.
Объяснение нового материала.
1. Рассмотрим еще одну формулу сокращенного умножения. Умножим
разность a - b на сумму a + b:
(a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b 2  a 2  b 2 .
Значит, (a  b)( a  b)  a 2  b 2 . (1)
2. Тождество (1) позволяет выполнять сокращенно умножение
разности любых двух выражений на их сумму.
3. Произведение разности двух выражений и их суммы равно
разности квадратов этих выражений.
Умножение разности двух
выражений на их сумму
4. Решить примеры устно:
а ) ( x  y )( x  y ); б ) ( p  q )( p  q); в ) (b  a )(b  a );
г ) ( p  5)( p  5); д) ( x  3)( x  3); е) (1  c)(1  c).
5. Разберем решение примеров:
1. Умножим разность 3x – 7y на сумму 3x + 7y. Воспользовавшись
тождеством (1), получим:
(3x  7 y)(3x  7 y)  (3x) 2  (7 y) 2  9 x 2  49 y 2 .
2. Представим в виде многочлена произведение:
(5a 2  b3 )(5a 2  b3 )
Применив тождество (1), получим:
(5a 2  b3 )(5a 2  b3 )  (5a 2 ) 2  (b3 ) 2  25a 4  b6
Задание: Выполните упражнения из учебника
Разложение разности квадратов
на множители
Цели: вывести формулу разности квадратов и научить применять
ее при разложении на множители многочлена; рассмотреть
применение этой формулы для рационального нахождения
значения выражения, повторить основное свойство дроби при
сокращении дробей.
Проверка изученного материала (устная работа).
1. Сформулировать правила квадрата суммы, квадрата разности двух
выражений и правило умножения разности двух выражений на их
сумму.
2. Выполните умножение:
а) (b  8)(8  b); б ) (5 x 2  1)(1  5 x 2 );
в) (3c 3  2d )( 2d  3c 3 ).
Разложение разности квадратов
на множители
Работа по учебнику.
1. Поменяем местами правую и левую части в тождестве
(a  b)( a  b)  a 2  b 2 . Получим : a 2  b 2  (a  b)( a  b).
Это тождество называют формулой разности квадратов.
2. Правило разложения разности квадратов на множители:
разность квадратов двух выражений равна
произведению разности этих выражений и их суммы.
3. Рассмотрим примеры применения формулы разности квадратов:
1. Разложим на множители выражение: 36  а 2 .
Так как 36  62 , то 36  а 2  62  а 2  (6  а)(6  а).
2. Представим в виде произведения двучлен
49 x 2  16 y 6 .
Данный двучлен можно представить в виде разности квадратов.
Получим: 49 x 2  16 y 6  (7 x) 2  (4 y 3 ) 2  (7 x  4 y 3 )(7 x  4 y 3 ).
4. Задание: Выполните упражнения из учебника
Самостоятельная работа
I вариант
1. Разложите на множители :
а ) 4 x 2  1; б )1  9a 2 ; в ) m 2  a 2 ;
г )  n 2  b 2 ; д) a 2  16 y 2 ; е) 81x 2  y 2 .
2. Представьте в виде произведения :
а ) 25  36 p 2 c 2 ; б ) (3  y ) 2  4; в ) (3 x  1) 2  (4 x  3) 2 ;
3 * . Разложите на множители :
а ) x 2 n  9; б ) b 2  a 4 n ; в ) x 2 n  y 2 n ; г ) 81a 8 n  16.
Самостоятельная работа
II вариант
1. Разложите на множители :
а ) 9 p 2  4; б )1  25 x 2 ; в ) n 2  c 2 ;
г )  x 2  y 2 ; д) 4 x 2  y 2 ; е)16a 2  b 2 .
2. Представьте в виде произведения :
а )100  49 x 2 y 2 ; б ) (5  x) 2  9; в ) (2a  7) 2  (3a  5) 2 ;
3 * . Разложите на множители :
а ) a 2 n  1; б ) x 2  y 4 n ; в ) a 4 n  b 4 n ; г ) 49 x 6 n  25.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ДИКТАНТ
ДИКТАНТ 1.
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида произведение
суммы х + 2 и разности х – 2.
2. Представьте в виде многочлена стандартного вида произведение
разности 3a – 5b и суммы 5b + 3a.
3. Представьте в виде многочлена стандартного вида квадрат
двучлена 3a + b.
4. Представьте в виде многочлена стандартного вида квадрат
двучлена 3x 2  5 y
5. При возведении в квадрат некоторого двучлена получились
слагаемые 49а 2 и  28ax Найдите третье слагаемое.
6. Найдите значение выражения
2012
7. Решите уравнение: ( x  3) 2  х 2  7  5 х
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ДИКТАНТ
ДИКТАНТ 2.
1. Разложите на множители многочлен
2. Разложите на множители многочлен
4х2  9
1  49с 2
3. Разложите на множители многочлен 4 х 2  9 y 6
4. Найдите значение выражения
5. Представьте многочлен
119 2  109 2
a 2  10ab  25b 2
в виде квадрата двучлена
6. Представьте многочлен
в виде квадрата двучлена
9 х 2  30 хy  25 y 2
Источники материалов:
 Ю.Н.Макарычев и др. «Алгебра - 7», М.:
Просвещение, 2000.
 Т.М.Ерина УМК «Поурочное
планирование по алгебре. К учебнику
Ю.Н.Макарычева и др. «Алгебра. 7
класс», М.: «Экзамен», 2006.