1. Комбинаторика. Определение

Теория вероятностей и
математическая статистика
Занятие 1.
Элементы комбинаторики.
Определение вероятности.
Простейшие задачи
Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н.,
Шерстнёва Анна Игоревна
1
Основные формулы комбинаторики
Пусть имеется множество из n элементов,
причём неважно какой природы эти элементы:
x1, x2, … , xn
Комбинаторика – это раздел математики, в
котором изучаются различные комбинации
элементов конечного множества.
На практике чаще представляет интерес не вид
конкретной комбинации, а количество комбинаций,
которых можно составить из элементов данного
множества.
2
Правило умножения. Если из некоторого
конечного множества первый элемент можно
выбрать n1 способами, а второй элемент – n2
способами, то оба элемента в указанном порядке
можно выбрать n1∙ n2 способами.
Пример. Сколько двузначных чисел можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
1
1
6 чисел
n2 = 6
n
=
6
1
2
2
6 чисел
3
3
6 чисел
36 чисел
4
4
6 чисел
6 чисел
5
5
n1 ∙ n2 = 36
6 чисел
6
6
3
Правило умножения аналогичным образом
распространяется на случай, когда выбирается
три и более элемента.
Пример. Сколько трёхзначных чисел можно
составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Всего 7 цифр.
Первая цифра – 7 способов 6 способов.
Вторая цифра – 7 способов.
Третья цифра – 7 способов.
По правилу умножения: 6 ∙ 7 ∙ 7 = 294 числа
4
Правило сложения. Если из некоторого
конечного множества первый элемент можно
выбрать n1 способами, а второй элемент – n2
способами, причём первые и вторые способы не
пересекаются, то один из этих элементов (первый
или второй) можно выбрать n1 + n2 способами.
Пример. В ящике 20 красных, 30 жёлтых, 10 чёрных
и 40 белых шаров. Сколькими способами можно
выбрать красный или белый шар?
Красный шар – 20 способов.
Белый шар – 40 способов.
n1 = 20
n2 = 40
По правилу сложения: n1 + n2 = 20 + 40 = 60 способов
5
Правило сложения аналогичным образом распространяется на случай трёх и более элементов.
Пример. В ящике 20 красных, 30 жёлтых, 10 чёрных
и 40 белых шаров. Сколькими способами можно
выбрать не белый шар?
Не белый шар – это либо красный, либо жёлтый,
либо чёрный.
n1 = 20
n2 = 30
n2 = 10
По правилу сложения:
n1 + n2 + n3 = 20 + 30 + 10 = 60 способов
6
Пример. Сколько двузначных и трёхзначных чисел
можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Двузначные числа.
Первая цифра – 6 способов, вторая – 7 способов.
По правилу умножения: 6 ∙ 7 = 42 способа
Трёхзначные числа.
Первая цифра – 6 способов, вторая – 7, третья – 7.
По правилу умножения: 6 ∙ 7 ∙ 7 = 294 способа
По правилу сложения:
n1 + n2 = 42 + 294 = 336 чисел
7
Пусть имеется множество из n различных элементов:
x1, x2, … , xn
Перестановками называются комбинации, состоящие
из всех элементов множества и отличающиеся только
порядком их расположения.
Пример. n=5
x1, x2, x3, x4, x5
x5, x4, x3, x2, x1
x3, x1, x5, x2, x4
…
8
Число всех возможных перестановок:
Pn  n !
n !  1  2  3  ...  ( n  1)  n
Примеры.
1) Сколько чисел можно составить из цифр 2, 3 и 5,
если каждая цифра входит в число только один раз?
2, 3, 5
5, 3, 2
3, 5, 2 …
P3  3!  1  2  3  6
2) Сколькими способами можно рассадить 6 человек
на 6 стульях?
P6  6!  1  2  3  4  5  6  720
9
Размещениями называют комбинации, составленные
из n различных элементов по m элементов, которые
отличаются либо составом элементов, либо их
порядком.
Пример. n=6
x1, x2, x3, x4, x5 , x6
m=4 x1, x2, x3, x4
x2, x3, x4, x5
x3, x2, x4, x5
x5, x4, x3, x2
…
10
Число всех возможных размещений из n элементов
по m элементов:
n!
m
An 
(n  m)!
Примеры.
1) Имеется 5 карточек, на первой написана цифра 1,
на второй – цифра 2, и т.д. Сколько трёхзначных чисел можно составить с помощью этих карточек?
5
!
1

2

3

4

5
3
n  5 m  3 A5 

 3  4  5  60
(5  3)!
1 2
2) Сколькими способами награды за I, II, III места
могут быть распределены между 10 участниками
соревнований?
10!
10!
3
n  10 m  3 A10 

 8  9  10  720
11
(10  3)! 7!
Сочетаниями называют комбинации, составленные
из n различных элементов по m элементов, которые
отличаются хотя бы одним элементом.
Пример. n=6
x1, x2, x3, x4, x5 , x6
m=4 x1, x2, x3, x4 = x4, x3, x2, x1 = x3, x4, x2, x1
x2, x3, x4, x5
x1, x2, x4, x5
x5, x6, x3, x2
…
12
Число всех возможных сочетаний из n элементов по
m элементов:
n!
m
Cn 
m!(n  m)!
Примеры.
1) Сколькими способами можно выбрать 3 шара из 5
имеющихся?
5!
45
3
n5 m3
C5 

 2  5  10
3!(5  3)! 2!
2) Сколькими способами можно составить букет из 5
цветков, если всего имеется 10 цветков?
10
!
6

7

8

9

10
5
n  10 m  5 C10 

 252
5!(10  5)! 1  2  3  4  5
13
Классификация событий
1. Достоверные события.
1) Наступление ночи каждые сутки.
2) Появление листьев на деревьях с приходом весны
2. Невозможные события.
1) Если в кармане лежит только 100 рублей, событие,
что вы возьмёте из этого же кармана 1000 рублей
2) Превращение воды в лёд при нагревании
3. Случайные события.
1) Сдача экзамена с первого раза
2) Выпадение решки при бросании монеты
14
Определение вероятности
Вероятность – это число, характеризующее
степень возможности появления события.
1. Классическое определение вероятности:
m
p( A) 
n
n – общее число случаев,
m – число случаев, благоприятствующих событию A,
то есть при которых событие А имеет место.
15
m
p( A) 
n
n – общее число случаев,
m – число благоприятствующих случаев.
Пример 1. В коробке 3 белых и 4 чёрных шара. С какой
вероятностью наугад выбранный шар окажется белым?
3 белых
m
p
n
4 чёрных
n7
m 3
7
3
p
7
16
m
p( A) 
n
n – общее число случаев,
m – число благоприятствующих случаев.
Пример 2. С какой вероятностью число от 1 до 10,
выбранное наугад, окажется делящимся на 3?
3, 6, 9
3 делятся
m
p
n
7 не делятся
3
n  10
p
10
m 3
10
17
n – общее число случаев,
m – число благоприятствующих случаев.
m
p( A) 
n
Пример 3. В одном ящике лежат 6 карточек с цифрами
от 1 до 6, а во втором – 7 с цифрами от 3 до 9. Из
каждого ящика достают по одной карточке. Какова вероятность, что на карточках будут одинаковые цифры?
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
8
9
m–?
3, 3
4, 4 5, 5
m4
6, 6
n–?
1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9
n  7 +7 +7 +7 +7 +7  6  7  42
4
2
p

42 21
18
m
p( A) 
n
n – общее число случаев,
m – число благоприятствующих случаев.
Пример 4. Мужчина зашёл в цветочный киоск купить
букет. Продавец составил букет из 7 роз. Какова
вероятность, что все розы были белые, если в киоске
имелось 20 красных и 15 белых роз?
n
7
C35
35!
35!


7!(35  7)! 7!28!
15!
15!
m


7!(15  7)! 7!8!
15! 7!28!
9 10 11 12 13 14 15
p


 0.002
7!8! 35!
29  30  31  32  33  34  35
7
 C15
19
m
p( A) 
n
n – общее число случаев,
m – число благоприятствующих случаев.
Пример 5. Мужчина зашёл в цветочный киоск купить
букет. Продавец составил букет из 7 роз. Какова вероятность, что в букете оказались 3 белые розы и 4 красные, если в киоске было 20 красных и 15 белых роз?
35!
7!28!
15!
3
m1  C15 
3!12!
m  m1  m2
20!

4!16!
p  0.656
7
n  C35

m2 
4
C20
m m1  m2
p 
n
n
...
...
m1
m2
m2 m2 m2 ...
20
2. Геометрическое определение вероятности.
Отрезок l – часть отрезка L,
на отрезок L поставлена наудачу точка
l
L
вероятность попадания p  длина l
длина L
точки на отрезок l
Плоская фигура g – часть фигуры G
g
G
вероятность попадания p  площадь g
площадь G
точки на фигуру g
21
Пример. В квадрат со стороной 8 см наудачу
брошена точка. Какова вероятность, что эта точка
окажется внутри вписанного в квадрат круга?
g
8
G
вероятность попадания
точки на фигуру g
площадь g
p
площадь G
G – квадрат
Площадь квадрата – 64
g – круг
Площадь круга –   r 2    42  16
16
p
 0.79
64
22
Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна 1.
m
p
n
mn

n
p  1
n
2. Вероятность невозможного события равна 0.
m
p
n
m0

0
p 0
n
3. Вероятность случайного события 0  p  1.
m
p
n
0 m n
0mn 
 
n n n
 0  p 1
23
Контрольные вопросы
1. Чем занимается комбинаторика?
2. Сформулируйте правило умножения.
3. Что такое перестановки?
4. Как найти число всех перестановок из n элементов?
5. Что такое сочетания?
6. Как найти число всех сочетаний из n по m элементов?
7. Что такое размещения?
8. Как найти число всех размещений из n по m элементов?
9. Какое событие называется достоверным?
10.Какое событие называется невозможным?
11.Какое событие называется случайным?
24
Контрольные вопросы
12. Приведите классическое определение вероятности.
13.Приведите геометрическое определение вероятности.
14.Чему равна вероятность достоверного события?
15.Чему равна вероятность невозможного события?
16.Чему равна вероятность случайного события?
25