Уральский государственный университет. Школа юных

Уральский государственный университет.
Школа юных математиков
Занятие 7. Комбинаторика
Правило произведения. Если есть m вариантов выбора элементов множества A и для
каждого из них есть n вариантов выбора элементов множества B, то всего имеется mn
вариантов скомбинировать элементы из A с элементами из B.
1. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя только нечетные цифры?
2. В городе имеется n светофоров. Каждый из них может гореть одним из трех цветов:
красным, желтым и зеленым. Сколькими способами могут гореть эти светофоры?
3. В некотором государстве любые два жителя различаются набором зубов. Какое
наибольшее число жителей может иметь государство?
4. Сколько существует семизначных чисел, которые слева направо читаются так же, как
справа налево?
5. В языке племени Тили-Вили 5 гласных букв и 10 согласных. В словах этого языка
никогда не стоят рядом две гласные или две согласные. Какое наибольшее число
семибуквенных слов может быть в этом языке?
6. На каждой из пяти карточек написана одна из нечетных цифр. Сколько трехзначных
чисел можно составить, используя эти карточки?
7. В высшей лиге первенства России по футболу участвуют 16 команд. Сколько имеется
вариантов распределения первых трех мест среди этих команд?
Определение. Размещением из n элементов по m называется расположение в
произвольном порядке m элементов множества, содержащего n элементов.
n!
m
m
Обозначение: An .
Формула: An = (n  m )!
8. а) На первое занятие ШЮМ в аудитории, где 20 мест, пришло 25 школьников.
Сколькими способами их можно рассадить по этим местам (при этом пятеро останутся
стоять)?
б) После Нового года в ту же аудиторию пришло 15 школьников. Сколькими способами их
можно рассадить по этим местам (при этом пять мест останутся свободными)?
Уральский государственный университет.
Школа юных математиков
Занятие 8. Комбинаторика
1. От остановки электрички к лесному озеру ведут четыре тропинки.
а) Сколько существует вариантов маршрута от остановки до озера и обратно?
б) Чтобы поход на озеро был интереснее, туристы решили, что туда и обратно они
пойдут разными тропинками. Сколько тогда существует вариантов маршрута?
2. На соревнованиях по велосипедному спорту участвует 120 велосипедистов. Для них
приготовлены нагрудные номера с числами от1 до 120. Суеверный велосипедист не хочет
иметь номер, в котором фигурирует цифра 8. Сколько имеется подходящих для него номеров?
3. а) У скольких семизначных чисел все цифры различны?
б) Сколько существует семизначных чисел, в записи которых любые две соседние
цифры различны?
в) Сколько существует семизначных чисел, в записи которых есть повторяющиеся
цифры?
г) Сколько существует семизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная
цифра?
4. а) Числа 1, 2, 3, … записываются подряд без пробелов. Какая цифра стоит на 2003-м
месте в получившейся записи?
б) Рассматриваются числа, составленные только из четных цифр. Они располагаются в
порядке возрастания и после этого записываются друг за другом без пробелов. Какая цифра
стоит на 2003-м месте в получившейся записи?