Слайды л.13

Выпуклые и вогнутые функции
 Определение. График дифференцируемой функции y = f(x)
называется выпуклым вниз (выпуклым вверх) на интервале
(a, b), если дуга кривой расположена выше (ниже) любой
касательной, проведенной к графику этой функции.
Вид графика вогнутой
Вид графика выпуклой
(выпуклой вверх) функции
(выпуклой вниз) функции
f (x)
f (x)
f (b )
f (a )
f (b )
f (a )
a
b
x
a
b
x
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от

Теорема. (Достаточные условия выпуклости)
Если функция y = f(x) дважды дифференцируема
на некотором промежутке (a, b), причем f (x) < 0 для
любого x  (a, b), то на этом промежутке график
функции выпуклый, если f (x) > 0, то график
функции вогнутый на промежутке (a, b).
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
Точки перегиба
 Определение. Точка (x0, f(x0)) графика функции y = f(x)
называется точкой перегиба, если она отделяет участок, где
график функции выпуклый от участка, где график функции
вогнутый.
f (x)
f (x)
выпукла
f (x)
вогнута
x
x0 точка перегиба
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
Точки перегиба
 Определение. Точка (x0, f(x0)) графика функции y = f(x)
называется точкой перегиба, если она отделяет участок, где
график функции выпуклый от участка, где график функции
вогнутый.
Рассмотрим, как выглядит на графике точка перегиба. Пусть
левее точки x0 функция выпукла, а правее x0  вогнута. Тогда левее
точки x0 график функции лежит над касательной, а правее x0  под
касательной. Точка перегиба x0 характеризуется тем, что здесь кривая
переходит с одной стороны касательной на другую ее сторону, то есть
кривая пересекает касательную. То же самое будет, если левее x0
функция вогнута, а правее x0  выпукла.
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
Точки перегиба
 Теорема. (Необходимое условие точки перегиба)
Если график функции y = f(x) имеет перегиб в точке
(x0, f(x0)) и вторая производная f (x) непрерывна в точке x0,
то f (x0) = 0.
 Теорема. (Достаточное условие точки перегиба)
Если в некоторой окрестности точки x0 существует вторая
производная функции y = f(x), причем f (x0) = 0, и в пределах
этой окрестности слева и справа от точки x0 знаки f(x)
различны, то график функции имеет перегиб в точке (x0, f(x0)).
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
Асимптоты
 Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, к
которой неограниченно приближается график функции при x или
y.
 Определение. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой
f ( x)  
графика функции f(x), если при x  a +0 (a - 0 ): lim
x a
f (x)
f (x)
a
x
a
x
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
Асимптоты
Определение. Прямая y = kx + b
называется
наклонной
асимптотой графика функции
f(x) при x    если эту
прямую можно представит в
виде: f(x) = kx + b + (x),
где
Пусть
. Тогда говорят, что у
 lim f ( x)  b
функции x
f(x)
имеется
горизонтальная
( x  )
асимптота y = b. График функции чаще всего
имеет такой вид (при x + ).
f (x)
f (x)
lim  ( x)  0
x  
b
асимптота
b
асимптота
y
x
d
та
то
п
им
ас
при x
d
1,4
y = 1-
1,2
sin x
x
1,0
асимптота y = 1
0,8
+
8
f (x)
y=
+b
ax
x
0,6
0
0,4
x
0,2
x
x
0,0
0
10
20
30
40
50
60
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
Теорема. (Критерий существования наклонной асимптоты)
Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой
необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
f ( x)
lim
k
x
x


lim
f
(
x
)

kx

b
x
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
Общая схема исследования
графика функции
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать четность и периодичность функции.
3. Исследовать точки разрыва функции (и поведение функции при стремлении
4.
5.
6.
7.
8.
x к «граничным точкам» области ее определения).
Найти асимптоты графика функции
а) вертикальные;
б) наклонные.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат (нули
функции).
Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
Найти точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и
вогнутости.
Построить график функции, используя все полученные результаты
исследования.
Бер Л.М. Дифференциальное
исчисление
ТПУ Рег. № 283 от
LOGO
Спасибо за внимание