Вероятности случайных событий

Автор: Яковлева Екатерина
Об авторе
Ученица 8 «А» средней школы №427.
Яковлева Екатерина Александровна
Дата рождения 29.07.1994 года.
Проект по Теории вероятности на
тему: «Вероятности случайных
событий».
Создан 28.01.2009 года.
Содержание
1. Случайное события
2. События и множества
3. Случайный эксперимент
4. Противоположные события
5. Несовместимые и совместимые события
6. Пересечение событий
7. Геометрические вероятности
8. Вероятность суммы совместимых событий
9. Условные вероятности
10.Произведение событий
11.Вероятность произведения зависимых событий
Случайное событие.
Случайное событие — подмножество
исходов случайного эксперимента; при
многократном повторении
эксперимента частота наступления
события служит оценкой его
вероятности.
Случайное событие, которое никогда не
реализуется в результате
эксперимента, называется
невозможным и обозначается
символом . Случайное событие,
которое всегда реализуется в
результате эксперимента, называется
достоверным и обозначается символом
Ω.
Случайный эксперимент
Случайный эксперимент (случайное испытание,
случайный опыт) — математическая модель
соответствующего реального эксперимента,
результат которого невозможно точно
предсказать. Математическая модель должна
удовлетворять требованиям:
она должна быть адекватна и адекватно
описывать эксперимент
должна быть определена совокупность
множества наблюдаемых результатов в рамках
рассматриваемой математической модели при
строго определенных фиксированных
начальных данных, описываемых в рамках
математической модели.
должна существовать принципиальная
возможность осуществления эксперимента со
случайным исходом сколь угодное количество
раз при неизменных входных данных ( , где —
количество произведённых экспериментов).
Противоположные события
Под событием в теории вероятностей понимают
любой факт, который может произойти или не
произойти в результате опыта со случайным
исходом. Самый простой результат такого опыта
(например, появление "орла" или "решки" при
бросании монеты, попадание в цель при стрельбе,
появление туза при вынимании карты из колоды,
случайное выпадение числа при бросании
игральной кости и
т.д.) называется элементарным событием.
Множество всех элементарных
событий Е называется пространством
элементарных событий. Так, при бросании
игральной кости это пространство состоит из
шести элементарных событий, а при вынимании
карты из колоды – из 52. Событие может состоять
из одного или нескольких элементарных событий,
например, появление двух тузов подряд при
вынимании карты из колоды, или выпадение
одного и того же числа при трёхкратном бросании
игральной кости. Тогда можно определить
событие как произвольное подмножество
пространства элементарных событий.
Сумма событий
Суммой событий А1, А2, ..., Аn
называется событие А = А1+А2+ ...+
Аn, состоящее в наступлении хотя
бы одного из событий А1, А2, ..., Аn.
Например, два стрелка стреляют в
одну и ту же мишень по одному
разу. Обозначим события:
А1: "1-й стрелок попал в мишень",
А2: "2-й стрелок попал в мишень".
Тогда их суммой будет событие А:
"Мишень поражена", то есть, либо
попал только 1-й стрелок, либо
только 2-й, либо попали оба.
Несовместимые и совместимые
события
Несовместимые события – это
события, которые вместе никогда
не могут появиться. Совместимые
события – это события, которые
могут появиться вместе.
Например, при бросании игральной
кости одновременно выпадение
чётного числа очков и выпадение
числа 5 – несовместимые события.
Что же называется
непосредственно “вероятностью”
какого-либо события?
Бросаем игральную кость. Выпасть
могут или одно, или два, или три,
или четыре, или пять, или шесть
очков. Каждое из этих событий –
элементарное, и вместе они
образуют пространство
элементарных событий.
Вероятности
событий А и В
будут
Число исходов,
благоприятных для
события С = А+В
равно m+k, так как
они несовместимы
и
Пересечение событий
Возьмем два события А и В.
Предположим, что есть
элементарные события,
благоприятствующие и событию
А, и событию В. Взяв все такие
события, получим новое
событие. Это новое событие
называют пересечением
событий. Его обозначают .
Событие наступает, если
наступают оба события А и В.
Если события А и В не имеют
общих благоприятствующих
элементарных событий, то они
не могут наступить
одновременно в ходе одного и
того же опыта. Такие события
называют несовместными.
Например, при бросании монеты
событие А — "появление орла" и
событие В — "появление решки"
не могут произойти
одновременно.
Пример
Бросают две игральные
кости. Событие А — на
первой кости выпало
меньше 3 очков.
Событие В — на второй
кости выпало меньше 3
очков. Тогда событие
заключается в том, что
на каждой кости выпало
меньше 3 очков.
1-й
куби
к
2-й кубик
1
2
3
4
5
6
1
1; 1
1; 2
1; 3
1; 4
1; 5
1; 6
2
2; 1
2; 2
2; 3
2; 4
2;5
2; 6
3
3; 1
3; 2
3; 3
3; 4
3; 5
3; 6
4
4; 1
4; 2
4; 3
4; 4
4; 5
4; 6
5
5; 1
5; 2
5; 3
5; 4
5; 5
5; 6
6
6; 1
6; 2
6; 3
6; 4
6; 5
6; 6
Элементарные события, благоприятствующие
событию А
Элементарные события, благоприятствующие
событию В
Элементарные события, благоприятствующие
обоим событиям
Геометрические вероятности
Рассмотрим такую задачу. Круглая мишень
разбита на 4 сектора и вращается вокруг
центра. Стрелок стреляет в мишень один
раз. Какова вероятность, что он попадет в
сектор ОАВ ?Здесь классическое
определение не годится, так как каждое
событие изображается точкой круга, а их
- бесконечное множество. В этом случае
вероятность попадания в сектор ОАВ
будет равна отношению площади сектора
ОАВ к площади всего круга.
Геометрическое определение
вероятности события формулируется
следующим образом.
Вероятностью события называется
отношение меры множества
благоприятных элементарных событий
(исходов) к мере множества всех
элементарных событий.
В качестве меры, как правило, выступают
длина, площадь и объем.
Рассмотрим примеры на вычисление
вероятностей.
Вероятность суммы совместимых
событий
Рассмотрим два совместимых события А и В. Пусть m число исходов, благоприятных для события А, k -число
исходов, благоприятных для события В. И пусть среди
этих m+k исходов l благоприятствуют и А, и В
одновременно. Если n - общее число равновозможных
событий, образующих полную группу, то
Событие А+В заключается в том, что происходит либо
событие А, либо событие В, либо А и В вместе. Ему
благоприятствуют m+k-l исходов, следовательно,
Вероятность суммы двух совместимых событий равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их
совместного наступления.
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (2.5)
Пример. Вероятность поражения цели первым орудием
равна 0,7,вторым - 0,8. Найти вероятность поражения
цели при залпе из двух орудий.
Решение. Пусть А: "Попадание из 1 орудия",
В: "Попадание из 2 орудия",
С: "Цель поражена". А и В - совместимые события, так
как они могут произойти одновременно. По формуле
P(C)=P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7 · 0,8 = 0,94
Условные вероятности
При совместном рассмотрении двух событий А и В
часто возникает вопрос, насколько связаны эти
события друг с другом. Если наступление события В
влияет на вероятность события А, то события А и В
называются зависимыми.
Условной вероятностью Р(А/В) называется
вероятность события А при условии, что уже
произошло событие В.
Пример. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных
шаров наугад друг за другом вынимают два шара.
Даны события: А: "Первый шар - белый",
В: "Второй шар -белый". Найти условные
вероятности
Решение. Во-первых, заметим, что
: "Первый шар черный", : "Второй шар - черный". Найдем P(B/A). Событие А
уже произошло, то есть первый шар вынут и он - белый.
Требуется найти вероятность того, что второй шар - белый. В
урне осталось 19 шаров, из них 7 белых. Поэтому P(B/A)= 7/19.
Рассуждая аналогично, находим:
Произведение событий
Два события А и В называются независимыми,
если вероятность одного из них не зависит от
того, произошло или не произошло другое.
Произведением независимых событий А и В
называется событие С = А·В, заключающееся в
том, что произошло и событие А, и событие В.
Рассмотрим два независимых события А и В.
Пусть событию А благоприятствуют m исходов
из общего числа n исходов P(A)= m / n.
Событию В - соответственно k и l исходов
P(B)= k / l. Тогда для события С = А·В по
правилу произведения благоприятных исходов
будет m · k, а общее число - n · l.
Вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей.
P(AB)=P(A)·P(B) Например, вероятность
выпадения двух гербов при бросании двух
монет будет равна 0,5 · 0,5 = 0,25, а
вероятность появления трех шестерок подряд
при трех бросках игральной кости
1/6·1/6·1/6= 1/216.
Вероятность произведения зависимых
событий
Пусть даны два зависимых события А и В. И
из n равновозможных исходов событию А
благоприятствуют m, событию В -k, событию
АВ -r исходов
(r m, r ).
P(A)= m / n; P(B)= k / n; P(AB)= r / n.
Если произошло событие А, то реализовался
один из m исходов, благоприятствующих А.
Вероятность того, что при этом условии
произошло событие В найдется, как
условная вероятность
Отсюда P(AB)=P(A)·P(B/A).
Это и есть правило умножения зависимых
событий.
Вероятность произведения двух зависимых
событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность
другого при условии, что первое произошло.
P(AB)=P(A)·P(B/A)
Спасибо за
просмотр!