Графики сложных тригонометрических функций Выполнила:

Графики сложных
тригонометрических
функций
Выполнила:
Ученица 10А класса Гаязова Алиса
Руководитель
Учитель математики Разумова Зинаида Андреевна
1. Цель и задачи проекта:
Цель: выявление методов построения графиков
сложных тригонометрических функций.
Задачи:
•
•
•
проанализировать литературу по проблеме
исследования;
раскрыть сущность методов построения графиков
сложных тригонометрических функций;
подобрать и разработать творческие задания,
способствующие развитию навыков построения
графиков сложных тригонометрических функций.
Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

2
sin

1

0
0
sin - ордината точки поворота
y
cos
x
1
cos - абсцисса точки поворота
(под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной
тригонометрической окружности, полученной при повороте на  радиан от
начала отсчета»)
• Синусом α называется отношение AB/OB (отношение
противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение
прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение
противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение
прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение
гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение
гипотенузы к противолежащему катету)
График функции y=sinx называется синусоидой.
y
5

6
2

3
2


2
11


x
2
6
0

1

2


6
2

5
6
3
2
2
−1
График функции y=cosx называется косинусоидой.
y
1
3

2



2
1
2
2
0
−1

2

линия
тангенсов
График функции y=tgx
называется
y
тангенсоидой
 y
2
1
1

0
1 x
0


2
1
2
3


2


1

2
4
0
−1

4
y
График функции y=ctgx
называется
котангенсоидой
1




0
2
−1

4
2
3
4
x

Методы построения графиков сложных
тригонометрических функций
•
•
Построение графиков с помощью
компьютерных программ.
Построение графиков с помощью
упрощения формулы. Примеры.
1
0
-1
Построение графиков с помощью компьютерных программ.
Построение графика функции в Excel.
Даны функция y = f(x) и отрезок [a, b]. Шаг h=0,1. Построить график этой
функции на заданном отрезке, используя табличный процессор.
Пусть f(x) = x • cos(x); a = —10; b = 10.
Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel.
Решение состоит из двух шагов:
1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т.е. вычислить ее
значения с заданным шагом.
Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при
необходимости можно было изменить начало и конец отрезка. В один из
столбцов поместим значения аргумента, в другой — значения функции. Ниже
приведено начало таблицы в режиме отображения формул.
2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению
графика. Для этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм
наиболее подходящей представляется точечная.
Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги)
построения графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.
Построение графиков с помощью упрощения уравнения
функции.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться
следующего плана:
Найти область определения и область значений функции.
Выяснить, является ли функция четной (нечетной).
Выяснить, является ли функция периодической.
Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут
существовать экстремумы.
Найти промежутки монотонности функции.
Определить экстремумы функции.
Вычислить вторую производную f(x)
Определить точки перегиба.
Найти промежутки выпуклости функции.
Найти асимптоты графика.
Найти значения функции в нескольких контрольных точках.
Построить эскиз графика функции.
Примеры
1. y=
ОДЗ: sin x ≠ 0
x ≠ πk;
y=
=
=
y=2 cos x │sin x│
a) Если sin x ≠ 0,
( 2πk < x < π+2πk )
то
y=2 cos x │sin x│
y = sin 2x
T= =π
b) Если sin x<0,
то
( π+2πk < x < 2π+2πk )
y=-2cos x * sin x
y=-sin 2x
2. y=
ОДЗ: cos x ≠0
x≠
;
y=
a) Если cos x>0,
(-
=> y=
;
то
y=
;
y= cos x
b) Если cos x<0,
(
3.
то
y=-cos x
на [0;π]
y=
ОДЗ: 2x ≠
x≠
k=0,1,2,3,4
y=
а) Если sin 2x<0,
2πk <2x< π+2πk
б) Если sin 2x<0,
то
π+2πk <2x< 2π+2πk
то
y= sin2x
;
y= -
=-sin2x
4.
на [
y=
]
y=
ОДЗ: ctg 2x≠1
2x ≠ πk
x≠
k=0,1
2x ≠
x≠
k=0,1,2,-1,-2
5.
y=
y=
=│cos 2x│*tg 2x =
a) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x
b) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x
Творческие работы учащихся:
1. y=
=
=
ОДЗ: sin x ≠ 0
x ≠ πk;
sin x>0, то y=3 (1 и 2 четверти)
sin x<0, то y=-3 (3 и 4 четверти)
2. y=
3. y=
4. y=
5. y=
6. y=
7. y=
8. y=
9. y=
Заключение
• Анализ научной литературы, учебников математики
позволил структурировать отобранный материал в
соответствии с целями исследования, подобрать и
разработать эффективные методы построения
графиков сложных тригонометрических функций.
• В работе представлены методы построения
графиков сложных тригонометрических функций и
примеры функций, в которых используются данные
методы.
• Результатом проекта можно считать творческие
задания, подобранные обучающимися, как
вспомогательный материал для развития навыка
построения графиков сложных тригонометрических
функций .
Спасибо за внимание!