Графики сложных тригонометрических функций

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 20 города Йошкар-Олы»
424020, город Йошкар-Ола, улица Анциферова, дом 29,
телефон 42-37-29, 42-37-01
Информационный проект
Графики сложных
тригонометрических
функций
Выполнила:
ученица 10А класса
Гаязова Алиса
Руководитель:
учитель математики
Разумова Зинаида Андреевна
Йошкар-Ола
2011
Содержание
Введение
1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
2. Графики функций: у=sinx, y=cosx, y=tgx и y=ctgx.
3. Методы построения графиков сложных тригонометрических функций.
3.1. Построение графиков с помощью компьютерных программ.
3.2. Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.
Заключение
Список источников
Введение
Функция выражает зависимость между переменными величинами.
Каждая область знаний химия, физика, биология, социология и др. имеет
свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими
объектами в реальном мире. Впервые функция вошла в математику под
именем “переменная величина”, в труде французского математика и
философа Рене Декарта в 1637 году. Сам термин “функция” впервые
встречается в рукописи немецкого математика и философа Г.Лейбница.
Леонард Эйлер ввёл принятые сейчас обозначения для функций. Сложный,
очень длительный путь развития понятия функции. С ним связаны имена
Н.И.Лобачевского, Л.Дирихле, Г. Кантора. Сейчас многие науки берут на
вооружение математический аппарат. Такие функциональные зависимости,
например, возраст деревьев, развитие папоротника изучает наука биология.
Функции помогают описывать процессы механического движения тел
небесных и земных. С помощью них учёные рассчитывают траектории
движения космических кораблей и решают множество технических проблем.
Наряду с другими функциями тригонометрические занимают важное место.
Тригонометрия возникла из практических нужд человека. Современный вид
тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер.
Почему летом жарко? Многие считают, что летом жарче, так как Земля
находится ближе всего к солнцу, но это не так. Орбита Земля – это почти
круг, в центре которого находится солнце, и расстояние от Земли меняется
незначительно из месяца в месяц. Всё дело в наклоне земной оси по
отношению к плоскости земной орбиты. Зимой солнце невысоко
поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом солнце
приближается к зениту, лучи его падают почти отвесно. Поток солнечной
энергии одинаков во все времена. Он зависит от угла падения лучей.
Меняется угол падения и меняется доля солнечной энергии. Зависимость
солнечной энергии от угла падения лучей и выражает график y = sinx.
В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как
функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном
курсе алгебры за 10 класс. Тригонометрические функции представляют
собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств
функций (до применения производной), а в особенности такого свойства
многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению
следует уделить пристальное внимание. Все выше сказанное и
обуславливает актуальность выбора темы для данной работы.
Основной целью написания данной работы является представление
общих методов построения графиков сложных тригонометрических
функций.
Задачи проекта:
• Проанализировать материал учебника А. Г. Мордкович “Алгебра и
начала математического анализа 10-11”
• Рассмотреть способы и примеры построения графиков сложных
геометрических функций
• Предложить одноклассникам творческую работу – составить функцию
и построить её график
1. Определение синуса и косинуса
Синус, одна из тригонометрических функций, обозначение sin. Синус
острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета,
лежащего против этого угла, к гипотенузе. Инд. математики синус
обозначали словом "джива" (букв. — тетива лука). Арабы переделали этот
термин в "джиба", который в дальнейшем превратился в "джайо" —
обиходное слово арабского языка, означающее изгиб, пазуха, складка
одежды, что соответствует латинскому слову sinus.
Косинус (новолат. cosinus, сокращение от complementi sinus — синус
дополнения), одна из тригонометрических функций; обозначение cos. К.
острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета,
прилежащего к этому углу, к гипотенузе.
Тангенс (от лат. tangens — касающийся), одна из тригонометрических
функций; обозначение tg. Т. острого угла в прямоугольном треугольнике
называется отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к
этому углу.
Котангенс (новолат. cotangens, сокращение от complementi tangens —
тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций, обозначение ctg.
К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета,
прилежащего к этому углу, к противолежащему катету.






Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего
катета к гипотенузе)
Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего
катета к гипотенузе)
Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение
противолежащего катета к прилежащему)
Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего
катета к противолежащему)
Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к
прилежащему катету)
Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к
противолежащему катету)
2. Графики функций: у=sinx, y=cosx, y=tgx и y=ctgx
3.Способы построения графиков сложных
тригонометрических функций
3.1. Построение графиков с помощью компьютерных программ.
Построение графика функции в Excel.
Даны функция y = f(x) и отрезок [a, b]. Шаг h=0,1. Построить график этой функции на
заданном отрезке, используя табличный процессор.
Пусть f(x) = x • cos(x); a = —10; b = 10.
Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel.
Решение состоит из двух шагов:
1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т.е. вычислить ее значения
с заданным шагом.
Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при необходимости можно
было изменить начало и конец отрезка. В один из столбцов поместим значения аргумента,
в другой — значения функции. Ниже приведено начало таблицы в режиме отображения
формул.
2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению графика. Для
этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм наиболее подходящей
представляется точечная.
Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги) построения
графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.
3.2. Построение графиков с помощью упрощения уравнения
функции.
При построении графиков функций сложного вида можно примерно
придерживаться следующего плана.
Найти область определения и область значений функции.
Выяснить, является ли функция четной (нечетной).
Выяснить, является ли функция периодической.
Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых
могут существовать экстремумы.
7. Найти промежутки монотонности функции.
8. Определить экстремумы функции.
9. Вычислить вторую производную f(x)
10.Определить точки перегиба.
11.Найти промежутки выпуклости функции.
12.Найти асимптоты графика.
13.Найти значения функции в нескольких контрольных точках.
14.Построить эскиз графика функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Примеры
1. y=
ОДЗ: sin x ≠ 0
x ≠ πk;
y=
=
=
y=2 cos x │sin x│
a) Если sin x˃0,
( 2πk < x < π+2πk )
то
y=2 cos x │sin x│
y = sin 2x
T=
=π
b) Если sin x˂0,
то
( π+2πk ˂ x ˂ 2π+2πk )
y=-2cos x * sin x
y=-sin 2x
2. y=
ОДЗ: cos x ≠0
x≠
;
y=
=˃ y=
a) Если cos x˃0,
;
то
y=
(-
;
y= cos x
b) Если cos x˂0,
то
y=-cos x
(
3. y=
на [0;π]
ОДЗ: 2x ≠
x≠
k=0,1,2,3,4
y=
;
а) Если sin 2x˂0,
2πk ˂2x˂ π+2πk
то
y= -
б) Если sin 2x˂0,
π+2πk ˂2x˂ 2π+2πk
то
y= sin2x
на [
4. y=
y=
ОДЗ: ctg 2x≠1
2x ≠ πk
x≠
k=0,1
2x ≠
x≠
k=0,1,2,-1,-2
]
=-sin2x
5. y=
=│cos 2x│*tg 2x=
a) Если cos 2x˂0, то y=-sin 2x
b) Если cos 2x˂0, то y=-sin 2x
Творческие работы учащихся:
1. y=
=
ОДЗ: sin x ≠ 0
x ≠ πk;
sin x˃0, то y=3 (1 и 2 четверти)
sin x˂0, то y=-3 (3 и 4 четверти)
2. y=
3. y=
4. y=
5. y=
6. y=
7. y=
8. y=
9. y=
=
Заключение
Таким образом, цель нашей работы –представить способы построения
графиков сложных тригонометрических функций - выполнена.
В нашей работе дано определение синуса, косинуса, тангенса и
котангенса,
представлены
способы
построения
графиков
сложных
тригонометрических функций и примеры функций, в которых используются
данные методы.
Результаты нашего проекта можно использовать учителям при
подготовке к урокам и обучающимся как вспомогательный материал.
Список источников
1.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Задачник для
учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [А.Г.
Мордкович и др.] – 10-е издание- Москва: Мнемозина, 2009.
2.
www. wikipedia.org