Моделирование одномерных временных рядов

Моделирование одномерных
временных рядов
Опр. Временной (динамический) ряд –
совокупность значений какого-либо показателя за несколько
последовательных моментов или периодов времени.
• Пространственные модели – модели,
построенные по данным, характеризующим
совокупность различных объектов в определенный
момент времени;
• Модели временных рядов – модели,
построенные по данным, характеризующим один
объект за ряд последовательных моментов времени.
• Классификация факторов, под влиянием которых
формируются значения временного ряда:
– факторы, формирующие тенденцию ряда;
– факторы, формирующие циклические колебания ряда;
– случайные факторы.
• Аддитивная модель временного ряда –
модель, в которой ряд представлен как сумма тенденции,
циклической и случайной компонент.
• Мультипликативная модель временного ряда
– модель, в которой ряд представлен как произведение
тенденции, циклической и случайной компонент.
• Задачи эконометрического исследования
временных рядов:
– выявление и количественное описание каждой
компоненты;
– прогнозирование будущих значений ряда;
– построение моделей взаимосвязи двух или более
временных рядов.
Автокорреляция элементов
временного ряда
• Опр. Автокорреляция элементов временного ряда –
корреляционная зависимость между последовательными
элементами временного ряда.
• Опр. Лаг – число периодов, по которым рассчитывается
коэффициент автокорреляции между парами элементов
ряда.
• Опр. Автокорреляционная функция временного ряда –
последовательность коэффициентов автокорреляции с
лагами, равными 1, 2, 3 ….
• Замечание. С увеличением лага число пар значений, по которым
рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается.
Для
статистической достоверности используется правило: максимальный
лаг не больше n/4.
Пример 1 Потребление электроэнергии
жителями региона за 16 кварталов
• Вывод:
– имеются сезонные колебания периодичностью в
четыре квартала.
Моделирование тенденции
временного ряда
• Аналитическое выравнивание временного ряда – построение
аналитической функции, характеризующей зависимость
элементов ряда от времени, или тренда.
• Для построения тренда используются функции:
– линейная:
– гиперболическая:
– экспоненциальная:
yˆ t    t
yˆt     / t
ˆyt  e a bt   t
– степенная:
yˆ t  t 
– полиномиальная:
ˆyt    1t   2t 2  ...   k t k
Способы определения типа тенденции:
• качественный анализ изучаемого процесса путем построения
графика зависимости членов ряда от времени;
• вычисление коэффициентов автокорреляции разного порядка;
• вычисление коэффициентов автокорреляции разного порядка для
исходного и преобразованного ряда и их сравнение
– если имеется большое различие, то это говорит о наличии
нелинейной тенденции ;
• перебор основных форм тренда и выбор уравнения тренда по
максимальному значению коэффициента детерминации.
• Пример 2 Имеются помесячные данные о темпах роста номинальной
заработной платы за 10 месяцев в процентах к уровню декабря
предыдущего года.
• Выводы:
– по графику видно наличие возрастающей тенденции;
– коэффициенты автокорреляции показывают наличие тенденции;
– небольшое различие коэффициентов по членам ряда и их логарифмам
говорит о возможности нелинейной тенденции;
– по коэффициенту детерминации наилучшим является степенной тренд:
yˆ t  80,32  t
0 ,193
Уравнения трендов
Тип тренда
Линейный
Полиномиальный
Степенной
Экспоненциальный
Гиперболический
Уравнение
R2
R2
0,887
0,873
0,937
0,920
ln yˆ t  4,39  0,19 ln t
0,939
0,931
ln yˆ t  4,43  0,045t
0,872
0,856
yˆ t  122,57  47,63 / t
0,758
0,728
yˆ t  82,66  4,72  t
yˆ t  72,9  9,599t  0,444t
2
Моделирование сезонных и циклических
колебаний
• Два подхода
– Расчет сезонной компоненты методом скользящей средней и
построение аддитивной или мультипликативной модели;
– применение фиктивных переменных.
• Аддитивная модель
Y=T+S+E
• Мультипликативная модель
Y=TSE
• T - трендовая составляющая,
• S – циклическая (сезонная) составляющая,
• E – случайная составляющая.
Алгоритм построения модели
• 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей
средней.
• 2. Расчет сезонной компоненты S.
• 3. Устранение сезонной компоненты из исходных
членов ряда и получение выравненных данных (T+E) в
аддитивной модели или (TE) в мультипликативной
модели.
• 4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или
(TE) и расчет значений T с использованием
полученного уравнения тренда.
• 5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или
(TS).
• 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.