Лабораторная работа 4

Моделирование одномерных
временных рядов
1
Опр. Временной (динамический) ряд –
совокупность значений какого-либо показателя за несколько
последовательных моментов или периодов времени.
• Пространственные модели – модели,
построенные по данным, характеризующим
совокупность различных объектов в определенный
момент времени;
• Модели временных рядов – модели,
построенные по данным, характеризующим один
объект за ряд последовательных моментов времени.
• Классификация факторов, под влиянием которых
формируются значения временного ряда:
– факторы, формирующие тенденцию ряда;
– факторы, формирующие циклические колебания ряда;
– случайные факторы.
2
• Аддитивная модель временного ряда –
модель, в которой ряд представлен как сумма
тенденции, циклической и случайной компонент.
• Мультипликативная модель временного ряда
– модель, в которой ряд представлен как произведение
тенденции, циклической и случайной компонент.
• Задачи эконометрического исследования
временных рядов:
– выявление и количественное описание каждой
компоненты;
– прогнозирование будущих значений ряда;
– построение моделей взаимосвязи двух или более
временных рядов.
3
Автокорреляция элементов
временного ряда
• Опр. Автокорреляция элементов временного ряда –
корреляционная зависимость между последовательными
элементами временного ряда.
• Опр. Лаг – число периодов, по которым рассчитывается
коэффициент автокорреляции между парами элементов
ряда.
• Опр. Автокорреляционная функция временного ряда –
последовательность коэффициентов автокорреляции с
лагами, равными 1, 2, 3 ….
• Замечание. С увеличением лага число пар значений, по которым
рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается.
Для статистической достоверности используется правило:
максимальный лаг не больше n/4.
4
Пример 1 Потребление электроэнергии
жителями региона за 16 кварталов
• Вывод:
– имеются сезонные колебания периодичностью в
четыре квартала.
5
Моделирование тенденции
временного ряда
• Аналитическое выравнивание временного ряда – построение
аналитической функции, характеризующей зависимость
элементов ряда от времени, или тренда.
• Для построения тренда используются функции:
– линейная:
– гиперболическая:
– экспоненциальная:
yˆ t    t
yˆt     / t
ˆyt  e a bt   t
– степенная:
yˆ t  t 
– полиномиальная:
ˆyt    1t   2t 2  ...   k t k
6
Способы определения типа тенденции:
• качественный анализ изучаемого процесса путем построения
графика зависимости членов ряда от времени;
• вычисление коэффициентов автокорреляции разного порядка;
• вычисление коэффициентов автокорреляции разного порядка для
исходного и преобразованного ряда и их сравнение
– если имеется большое различие, то это говорит о наличии
нелинейной тенденции ;
• перебор основных форм тренда и выбор уравнения тренда по
максимальному значению коэффициента детерминации.
• Пример 2 Имеются помесячные данные о темпах роста
номинальной заработной платы за 10 месяцев в процентах к уровню
декабря предыдущего года.
• Выводы:
– по графику видно наличие возрастающей тенденции;
– коэффициенты автокорреляции показывают наличие тенденции;
– небольшое различие коэффициентов по членам ряда и их логарифмам
говорит о возможности и линейной и нелинейной тенденции;
– по коэффициенту детерминации наилучшим является степенной тренд:
yˆ t  80,32  t
0 ,193
7
Уравнения трендов
Тип тренда
Линейный
Полиномиальный
Степенной
Экспоненциальный
Гиперболический
Уравнение
R2
R2
0,887
0,873
0,937
0,920
ln yˆ t  4,39  0,19 ln t
0,939
0,931
ln yˆ t  4,43  0,045t
0,872
0,856
yˆ t  122,57  47,63 / t
0,758
0,728
yˆ t  82,66  4,72  t
yˆ t  72,9  9,599t  0,444t
2
8
Моделирование сезонных и циклических
колебаний
• Аддитивная модель
•
•
•
•
Y=T+S+E
Мультипликативная модель
Y=TSE
T - трендовая составляющая,
S – циклическая (сезонная) составляющая,
E – случайная составляющая.
9
Алгоритм построения модели
• 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей
средней.
• 2. Расчет сезонной компоненты S.
• 3. Устранение сезонной компоненты из исходных
членов ряда и получение выравненных данных (T+E) в
аддитивной модели или (TE) в мультипликативной
модели.
• 4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или
(TE) и расчет значений T с использованием
полученного уравнения тренда.
• 5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или
(TS).
• 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
10
Аддитивная модель
Номер
квартала
Объем
продаж
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
3974
4134
4054
4200
3995
4162
4091
4224
4038
4191
4125
4259
4079
4240
4181
4320
4126
4285
4213
4359
4143
4311
4240
4390
Задание
1. Постройте график временного ряда и охарактеризуйте структуру ряда.
2. Постройте аддитивную модель данного ряда.
3. По полученной модели выполнить прогноз объема продаж на 1 квартал следующего
года.
11
1 шаг
Проведем выравнивание исходных уровней ряда
методом скользящей средней. Для этого:
•просуммируем уровни ряда последовательно за
каждые четыре квартала со сдвигом на один момент
времени и определим условные годовые объемы
потребления электроэнергии;
• разделив полученные суммы на 4, найдем
скользящие средние;
• приведем эти значения в соответствие с
фактическими моментами времени, для чего
найдем средние значения из двух последовательных
скользящих средних - центрированные скользящие
средние
12
2 шаг
•
Используем оценки сезонной компоненты
(разность между фактическими уровнями
ряда и центрированными скользящими
средними – гр. 6 табл. Сл.12) для расчета
значений сезонной компоненты S. Для этого
найдем средние за каждый квартал по всем
годам оценки сезонной компоненты Si.
Сумма значений сезонной компоненты по
всем кварталам должна быть равна нулю.
Рассчитаем скорректированные значения
сезонной компоненты
Si  S i 
1 4
 Si
4 i 1
13
3 шаг
•
Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее
значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим
Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и
содержат только тенденцию и случайную компоненту.
T  E Y  S
14
4 шаг
•
Определим компоненту T
данной модели. Для этого
проведем аналитическое
выравнивание ряда (T+E)
с помощью линейного
тренда. Таким образом
получим линейный тренд
T=4086.342+9.036t.
15
5 шаг
• Найдем значения уровней ряда,
полученные по аддитивной модели. Для
этого прибавим к уровням T значения
сезонной компоненты для
соответствующих кварталов.
16
6 шаг
• В соответствии с методикой построения аддитивной модели
расчет абсолютной ошибки проводится по формуле
E=Y-(T+S).
Для данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна
1434,9814 (слайд 14). По отношению к общей сумме квадратов
отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной
269524,9583 , эта величина составляет чуть более 0,5%,
следовательно, можно сказать, что аддитивная модель
объясняет 99,5% общей вариации уровней временного ряда .
17