Множества и последовательности

§ 1. Множества
Множество – неопределяемое понятие.
Говорят: набор, совокупность, система.
Обозначают множества большими латинскими буквами A,
B, D, …, X, …
Считается, что множество состоит из элементов,
которые обозначаются малыми – строчными буквами: a,
b, c, x, …
Задать множество можно по-разному.
а) Можно перечислить элементы.
Пример: А={1;2;3}
б) Можно указать признак. Пример: С={x| x2+3x+2=0}
Принадлежность элемента множеству указывается значком ∈.
ОПР 1. Множество, в котором нет ни одного элемента называется
пустым множеством.
Обозначают: Ø
ОПР 2. Множества А и В называют равными, если они состоят из
одних и тех же элементов.
ОПР 3. Если все элементы множества В принадлежат множеству А
то В называется подмножеством множества А.
Обозначают: В⊆А.
Очевидно, А =В ⇔ А⊆В и В⊆А.
операции над множествами
ОПР 4. Объединением множеств А и В называется множество,
определяемое следующим образом:
A U B = { x / x ∈ A или x ∈ B}
Читают:
Объединением множеств А и В называется множество, элементы
которого принадлежат хотя бы одному из множеств А или В
Диаграммы Эйлера-Вена
А
А
В
В
АUВ
А
В
АUВ
АUВ=В
ОПР 5. Пересечением множеств А и В называется множество,
определяемое следующим образом:
A ∩ B = { x / x ∈ A и x ∈ B}
А
В
В
В
В
А
U
U
А
А
В= Ǿ
А
U
А
В= A
ОПР 6. Разностью множеств А и В (дополнением В до А)
называется множество, состоящее только из тех элементов, которые
входят в А, но не входят в В:
A \ B = { x / x ∈ A и x ∈ B}
А
В
А\В
А
А
В
А
В
А\В= A
А\В= Ǿ
В
А
А\В
Нас будут интересовать прежде всего числовые множества
ОПР 7. Говорят, что между множествами А и В установлено
взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу
множества
А
поставлен в соответствие один элемент
множества В так, что:
1)
разным элементам А соответствуют разные элементы В;
2)
каждый элемент множества В поставлен в соответствие
некоторому элементу множества А.
ОПР 8. Множества А и В, между которыми можно установить
взаимнооднозначное соответствие, называются
эквивалентными.
Обозначают:
А ~ В
ОПР 9. Бесконечное множество А называется счетным, если
можно установить взаимнооднозначное соответствие между
множеством А и множеством натуральных чисел, т.е. если А ~ N.
ОПР 10. Всякое множество равномощное множеству N называется
счетным
• пример 1
Является ли множество Z счетным?
Z:
0 -1 1 -2 2 -3 3 … -n
N:
1 2 3
• пример 2
4
5 6
n …
7 … 2n 2n+1 …
＝＞ Z ~ N
Является ли множество Q счетным?
0
1/1
-1/1
1/2 -1/2 1/3 -1/3
…
2/1
-2/1
2/2 -2/2 2/3 -2/3
…
3/1
-3/1
3/2 -3/2 3/3 -3/3
…
4/1
-4/1
4/2 -4/2 4/3 -4/3
…
5/1
-5/1
5/2 -5/2 5/3 -5/3
…
…
＝＞ Q ~ N
ОПР. 11. Бесконечно множество называется несчетным,
если оно неэквивалентно множеству N.
ТЕОРЕМА 1.1 (Кантора).
Множество вещественных чисел несчетно.
ОПР. 12. Множество, эквивалентное множеству R, называется
множеством мощности континуума или мощности С.
§ 2. Вещественные числа
Вещественное число – это бесконечная десятичная дробь, взятая со
знаком + или - .
Свойства:
1.
Упорядоченности.
2.
Свойство полноты
3.
Свойство плотности
Модуль – расстояние – абсолютное значение вещественного числа
x, x ≥0
-x, x<0
{
|x|=
Свойства:
1.
2.
3.
4.
|x+y|≤|x|+|y|
|x-y|≥|x|-|y|
|x.y|=|x|.|y|
|x/y|=|x|/|y|
ОПР 13. Множество вещественных чисел { x } называется
ограниченным сверху, если существует такое число М, что любой
элемент x из множества { x } будет меньше числа М.
M x ∈ {x} x  M
М
называется верхней границей
ОПР 13*. { x } называется ограниченным снизу, если
m x∈ {x} x  m
ОПР 13**. { x } - ограниченное, если
m
- нижняя граница множества { x }
C x{x} | x | C
ОПР 14. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней
границей или супремумом множества { x }
М = sup{ x }
Наибольшая из нижних граней называется точной нижней границей
или инфинумом множества { x }
m = inf { x }
Свойства sup { x } и inf { x }.
sup { x }:
1. ∀x ∈ { x } x ≤ sup { x }
2. ∀ε>0  x ∈{ x }: x > sup { x } –ε
inf { x }:
Дописать!
Теорема 1 (Бернарда Больцано)
о существовании sup и inf числового множества
Если множество A={x} не пусто и ограничено сверху (снизу), то оно
имеет точную верхнюю (нижнюю) границу
1781— 1848 — чешский
математик, философ и теолог.
Выдвинул идею арифметической
теории действительного числа
Необходимые и достаточные условия
Пусть b - некоторое высказывание.
Всякое высказывание a, из которого следует b, называется достаточным
условием для b.
Записывают:
Читают:
a => b
«a является достаточным условием для b »
«из a следует b »
Всякое высказывание a, которое вытекает из b, называется необходимым
условием для b.
Читают:
«b является необходимым условием для a »
Если a и b таковы, что a => b
и a <= b, то говорят: каждое из
высказываний a и b является необходимым и достаточным условием
для другого
Записывают:
«a <=> b »
Читают:
«для a необходимо и достаточно чтобы имело место b »
«a истинно тогда и только тогда, когда истинно b »