Модели общего развития экономики

Модели общего
развития экономики
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Для удобства исследования динамики развития
экономики рассматривают модели с агрегированными
переменными. К ним относятся односекторные модели, в
которых экономика на длительном периоде времени [0;T]
в каждый момент времени характеризуется следующими
переменными:
Х – объем валовой продукции
Y – объем конечной продукции
К – основные производственные фонды (ОПФ)
L – объем затрат на трудовые ресурсы
J – объем инвестиций
С – объем потребления без государственных расходов
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Перечисленные переменные связаны соотношениями:
X(t)=aX(t) + Y(t)
(14.1)
Y(t)=J(t)+C(t)
(14.2)
J(t)=ΔK(t)+μK(t)
(14.3)
ΔK(t)=K(t+1)-K(t)
(14.4)
где: 0 ≤а ≤1 – коэффициент прямых материальных
затрат
μ – коэффициент амортизационных затрат
0≤ t≤ T – момент времени
(14.1) представляет собой модель Леонтьева «затратывыпуск»
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Подставляя (14.2), (14.3) и (14.4) в (14.1) получим:
X(t)=aX(t)+J(t)+C(t) =aX(t) +ΔK(t)+μK(t)+C(t)
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим:
(1-a)X(t)=ΔK(t)+ μK(t)+C(t)
(14.6)
(14.6) называют односекторной моделью экономической динамики
Если время t принимает дискретные значения, то уравнение (14.6)
записывают в виде:
(1-a)Xt= ΔKt+ μKt+Ct
(14.7)
В случае непрерывного изменения времени уравнение (14.6)
имеет вид:
1  aX  dK  μK  С  K  μK  С
dt
(14.8)
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Модели (14.6), (14.7) и (14.8) связывают между собой три
переменные: X(t), K(t) и C(t)
Допущения относительно этих функций позволяют упростить
уравнения и получить важные для практического применения
модели
Допущение 1. Пусть μ=0 (отсутствуют амортизационные
отчисления), т.е. все инвестиции идут на прирост ОПФ. При
этом предполагается, что:
J t  Δ K t  qΔ X t
(14.9)
Подставляя (14.9) в (14.7) получим:
1 a X t  qΔ X t  Ct
(14.10)
Уравнение (14.10) называется односекторной моделью
Леонтьева
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Допущение 2. Пусть в модели (14.7) выпуск продукции
характеризуется производственной функцией, т.е:
X  F(K,L)
L – экзогенная переменная с постоянным темпом роста:
L
n
L
или L  L0 ent
(14.11)
где L0 =L(0) – начальное значение трудозатрат
Перейдем к относительным (безразмерным) переменным
x t  
X
L
-производительность труда
k t  
K
L
- фондовооруженность
c t  
C
L
-удельное потребление
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Подставляя в (14.7) X=xL, K=kL, C=cL, получим:
dk
dL
(14.12)
1  axL  L  k  μkL  cL
dt
dt
dL 
 L  nL то из (14.12)
Т.к. из (14.11) следует, что:
dt
получим:
dk
1  ax 
 nk  μk  c
dt
(14.13)
Если функция F(K,L) – линейная однородная
неоклассическая производственная функция, то
K 
X  FK,L   L  F ,1  L  f (k )
L 
(14.14)
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Подставив (14.14) в (14.13) получим уравнение:
dk
 (1  a)f k   μ  nk  c
dt
(14.15)
Уравнение (14.15) называется открытой динамической
моделью Р.Солоу в форме дифференциального
уравнения 1-го порядка со свободной (экзогенной)
переменной с.
Модель (14.15) может быть преобразована к замкнутому
(без экзогенных переменных) виду
Для этого достаточно исключить из уравнения (14.15)
переменную с.
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Допущение 3. Пусть норма накопления s=J/Y, а норма
потребления u=C/Y.
Очевидно, что u + s = 1, т.к Y=J+C, тогда
C
Y
c  u
L
L
(14.16)
Выразив Y из уравнения (14.1) и подставив в (14.16),
получим:
сu
1  a  X
L
 u 1  a x  1  c 1  a x
(14.17)
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Окончательно, подставляя (14.17) в (14.15), получим
замкнутую модель Солоу (14.18) в виде
дифференциального уравнения 1-го порядка с
управляющей константой S.
dk
 1  a f k   μ  nk  1  s1  a f k 
dt
dk
 s1  a f k   μ  nk
dt
(14.18)
Т.к. левая часть уравнения (14.18) суть непрерывная
функция, то уравнение имеет решение.
Если из (14.18) найти функцию k(t) и задать функцию L(t),
то: K=kL, X=f(k), Y=(1-a)X, J=sY, C=uY
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Задача 1. Пусть амортизационные отчисления
отсутствуют μ=0. К=qX, C=cL, L=pX, X(t=0)=X0 где q,c,p
неотрицательные константы.
Найти траекторию развития такой экономики.
Решение. Воспользуемся уравнением (14.8)
dK
1  aX   μK  С  K  μK  С
dt
(14.8)
Подставив в (14.8) условия задачи получим уравнение:
dX
1  aX  q  cpX
dt
(14.19)
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Решение уравнения (14.19) есть
dX 1  a  cp 

dt
X
q
ln X 
1  a  cp t  D
q
при t  0 lnX0   D
 X  1  a  cp 

ln
t откуда


q
 X0 
1 a cp t
q
0
XX e
(14.20)
Если коэффициент в (14.20) (1-а-ср)<0, то траектория
развития экономики затухающая, при (1-а-ср)>0 –
экспоненциально возрастающая, при (1-а-ср)=0
экономика находится в стационарном состоянии
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Задача 2. Пусть производственная функция имеет вид
f(k)=k в период времени [0;T]. Начальное значение
фондовооруженности – k(0)=k0
Найти траекторию развития экономики
Решение. Воспользуемся замкнутой динамической
моделью Солоу (14.18)
dk
 s1  a f k   μ  nk
dt
(14.18)
Подставляем в (14.18) ПФ в виде f(k)=k
dk
 s1  a k  μ  nk  s1  a  μ  nk
dt
(14.21)
Односекторные модели
Леонтьева и Солоу
Решая уравнение (14.21), получим искомое уравнение
траектории развития экономики:
dk
 s1  a  μ  ndt
k
ln k  s1  a  μ  nt  D
Значение константы D определяется из начальных
условий: k(0)=k0: ln(k0)=D. Подставив значение D,
получим уравнение траектории развития
k t   k 0 es 1aμn t
(14.22)
Согласно (14.22) экономика будет в период времени [0;T]
будет развиваться с возрастанием, если (1-а-μ-n)>0