Матричная теория Гауссовой оптики Основы оптики кафедра прикладной и компьютерной оптики 2 Координаты лучей в пространстве предметов и изображений Опорная плоскость – это некоторая произвольно выбранная плоскость, перпендикулярная оптической оси y y ОП ОП Направляющий косинус оптического лучевого вектора: Y n cos y n sin n где y– угол между лучом и осью , n – приведенный угол 3 Координаты лучей в пространстве предметов и изображений Для лучей в меридиональной плоскости: X 0 Луч описывается линейной координатой y и угловой координатой Y n : y Y Луч в пространстве изображений описывается линейной координатой y и угловой координатой Y n : y Y 4 Преобразование координат оптических лучей Действие оптической системы заключается в преобразовании координат лучей: y y ОС Y Y Разложим выходные координаты луча в ряд: y a0 a1 y a2Y a3 y 2 a4 yY a5Y 2 ... Y b0 b1 y b2Y b3 y 2 b4 yY b5Y 2 ... если оптическая система центрированная, то a0 b0 0 все члены ряда, начиная с a 3 и b3 , стремятся к нулю Для идеальной оптической системы: y Ay BY Y Cy DY 5 Общий вид матрицы преобразования (ABCD-матрица) Преобразование координат луча оптической системой в матричной форме: y A B y Y C D Y или: b G b где b – вектор-столбец входных координат, b – вектор-столбец выходных координат, G – матрица, описывающая оптическую систему Матрица преобразования лучей (гауссова матрица, ABCD-матрица): A B G C D 6 Геометрический смысл элементов матрицы преобразования Рассмотрим луч с координатами y 1, Y 0 ОП ОП y y S F f Выходные координаты этого луча: y Ay BY A Y Cy DY C F 7 Геометрический смысл элементов матрицы преобразования Из рисунка видно, что: y f y S F Отсюда с учетом того, что y 1: S F f n Y n f y S F Два элемента матрицы преобразования: S F f n C f A 8 Геометрический смысл элементов матрицы преобразования 1 Рассмотрим луч с входной координатой Y 1 ( ) и n выходной координатой Y 0 ( 0) ОП F – SF –f Выходные координаты этого луча: y Ay BY Ay B Y Cy DY Cy D 0 ОП y y 9 Геометрический смысл элементов матрицы преобразования Входная и выходная линейные координаты: f n S y ( S F ) F n y ( f ) Два элемента матрицы преобразования: n S F n D Cy f n f f S F S F B y Ay n f n SF SF n f S F S F f S F S F f f n f n n f 10 Геометрический смысл элементов матрицы преобразования Матрица преобразования: S F f G n f S F S F f f n f SF f элемент матрицы C зависит только от параметров оптической системы, а элементы A, B и D зависят еще и от выбора опорных плоскостей 11 Определитель матрицы преобразования Определитель матрицы преобразования любой оптической системы равен единице: det G AD BC 1 12 Обратная матрица преобразования Для обратной матрицы: G 1G GG 1 I 1 0 где I – единичная матрица 0 1 Обратная матрица преобразования описывает преобразование из выходных координат во входные: b G 1 b или y 1 y G Y Y Обратная матрица преобразования: G 1 D B C A 13 Условие сопряжения опорных плоскостей Для сопряженных опорных плоскостей: B0 A D A1 14 Матрица преломления Опорные плоскости сопряжены: B0 y Ay ОП ОП Тогда A 1 Поскольку det G AD BC 1 : y D 1 Матрица преломления: 1 0 R 1 У луча изменяется только угловая координата: y y Y y Y y 15 Матрица переноса При переносе луча изменяется только линейная координата: y y d y Y Y Y d n Матрица переноса: 1 T 0 d где n d n 1 y y d ОП ОП – приведенное расстояние между опорными плоскостями 16 Матрица одной преломляющей поверхности n – K n – y O – M C r Из треугольников OKC и CKO : O 17 Матрица одной преломляющей поверхности Домножим оба выражения на n и n : n n n n n n Из закона преломления n n , следовательно: n n n n Из КМC : y r Тогда, с учетом того, что n Y , n Y : y Y Y ( n n ) r или Y Y y ( n n ) где – кривизна поверхности 18 Матрица одной преломляющей поверхности Поскольку Y Y Cy , элемент матрицы: C ( n n ) Поскольку C , оптическая сила сферической преломляющей поверхности: ( n n ) опорные плоскости совпадают с главными плоскостями, и составляют одну плоскость, касательную к поверхности Матрица преломления сферической поверхности: 1 0 R (n n) 1 19 Матрица отражающей поверхности Оптическая сила зеркальной поверхности: n n n 2 n Матрица преломления зеркальной поверхности: 1 0 1 0 R 1 2 n 1 n = – n Для плоского зеркала матрица отражения единичная: 1 0 R 0 1 плоское зеркало не меняет хода луча 20 Матрица оптической системы из нескольких компонентов ОП H 1 n1 H1 n0 H 2 H2 n2 Φ1 d0 I n3 Φ2 d1 Φ3 d2 II ОП H 3 H3 d3 III Матрица оптической системы из нескольких компонентов: G T3 R3T2 R2 T1 R1T0 Rn Tn ...R1T1T0 1 где Rn n dn 0 1 – матрицы преломления и переноса для , Tn n n 1 отдельных компонентов 0 1 если d n 0 , то матрица переноса единичная Tn I если n 0 , то матрица преломления единичная Rn I 21 Пакет из плоскопараллельных слоев Если оптическая сила компонентов равна нулю: d 2 d1 1 1 1 G T2T1 n2 n1 0 1 0 1 0 d1 d 2 n1 n2 1 Общая приведенная толщина: d1 d 2 dn t t1 t2 ... tn ... n1 n2 nn Приведенная матрица переноса: 1 t T 0 1 n1 n2 d1 d2 22 Система с нулевыми расстояниями между компонентами Если расстояния между компонентами равны нулю: 1 G R2 R1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1 Оптические силы таких компонент складываются: 1 2 ... n 23 Двухкомпонентная оптическая система Матрица системы из двух компонентов : G R2 DR1 Оптическая сила: d 1 2 1 2 n Частные случаи двухкомпонентной системы: d 0 : 1 2 d 1 t : второй компонент находится в заднем фокусе первого n 1 компонента, 1 d 1 : первый компонент находится в переднем фокусе второго n 2 компонента, 2 d 1 2 1 1 t : 0 n 1 2 1 2 t 24 Афокальные (телескопические) системы Афокальные или телескопические системы – это системы из двух или более компонентов, оптическая сила которых равна нулю: C 0 Определитель матрицы афокальной системы: det G AD BC AD 1 Отсюда D A,1 тогда матрица афокальной системы: A B A B G 1 0 D 0 A 25 Афокальные (телескопические) системы Опорные плоскости сопряжены (B 0 ), следовательно: A 0 G 0 A Координаты луча: y Ay BY Ay Y Cy DY A1Y Для афокальной системы элемент матрицы А: y y Y n n 1 A W Y n n A 26 Афокальные (телескопические) системы Линейное и угловое увеличение не зависят от положения предмета и изображения: y const A y const A1 27 Афокальные (телескопические) системы Задний фокус первого компонента совпадает с передним фокусом второго: t d 1 1 n 1 2 Линейное увеличение афокальной системы: y f2 y f 1 y F 1=F2 f 1 – f2 – y 28 Матрица тонкой линзы ОП ОП Для линзы в воздухе T0 T2 I , следовательно: n0 1 G R2T1R1 n2 1 d n Матрица преобразования линзы: 1 0 1 d 1 0 G R2T1 R1 n 2 n 1 1 0 1 1 1 n 1 r1 – r2 29 Матрица тонкой линзы У тонкой линзы d 0 d r1;r2 Матрица преобразования тонкой линзы: 1 0 G 1 где 1 2 n 1 – оптическая сила тонкой линзы, 1 , 2 – кривизны поверхностей 30 Расчет параксиальных лучей через оптическую систему Нулевые лучи – это лучи, которые преломляются по законам параксиальной оптики, но имеют произвольно большие координаты Расчет нулевых лучей через оптическую систему: d Y n Y Y y y y d0 Например, y1 y0 Y0 – перенос до первого компонента, n0 после первого компонента Y1 Y0 1 y0 – преломление Этапы расчета нулевых (параксиальных) лучей: определение входных координат луча последовательное определение координат луча на всех компонентах определение выходных координат луча 31 Пример из тестов Формула преломления нулевых лучей: Y d n Y Y y y y Y Y y Y d n y Y y y y 32 Пример из тестов Элементы "A" и "D" матрицы преобразования лучей оптической системы равны 0, в случае, если: опорные плоскости сопряжены опорные плоскости расположены в фокусах опорные плоскости совпадают с главными система телескопическая увеличение равно –1 Элементы "A" и "D" матрицы преобразования лучей оптической системы равны -1, в случае, если: опорные плоскости сопряжены опорные плоскости расположены в фокусах опорные плоскости совпадают с главными система телескопическая увеличение равно –1 33 Решение задач Решение задач на расчет характеристик оптической системы с использованием матриц преобразования рассматривается в практическом занятии "5. Расчет характеристик системы с использованием матричной оптики".