Построение формальной модели движения тела, брошенного под углом к горизонту

Построение формальной
модели движения тела,
брошенного под углом к
горизонту
История
Изучение особенностей такого движения
началось довольно давно, еще в XVI веке
и было связано с появлением и
совершенствованием артиллерийских
орудий.
Представления о траектории движения
артиллерийских снарядов в те времена
были довольно забавными. Считалось,
что траектория эта состоит из трех
участков: А - насильственного движения,
В - смешанного движения и С естественного движения, при котором
ядро падает на солдат противника сверху.
Появилась и новая наука –
баллистика
Близко к правильному решению о полете
пушечных ядер подошел итальянский
математик Тарталья, он сумел показать, что
наибольшей дальности полета снарядов
можно достичь при направлении выстрела
под углом 45° к горизонту. В его книге
"Новая наука" были сформулированы
правила стрельбы, которыми артиллеристы
руководствовались до середины ХVII века.
Однако, полное решение проблем, связанных с
движением тел брошенных горизонтально или под
углом к горизонту, осуществил все тот же Галилей.
Галилей показал, что траектории снарядов, если
пренебречь сопротивлением воздуха, представляют
собой параболы. Галилей указывал, что при
реальном движении снарядов, вследствие
сопротивления воздуха, их траектория уже не будет
напоминать параболу: нисходящая ветвь траектории
будет идти несколько круче, чем расчетная кривая.
Описательная информационная
модель
С целью разработки тактики военных
действий, необходимо рассчитать нужную
скорость и угол полёта пушечного ядра для
попадания в мишень определенной высоты,
находящуюся на известном расстоянии.
Из условия задачи можно сформулировать
следующие основные допущения:
• мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно
считать материальной точкой;
• изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение
свободного падения можно считать постоянной
величиной g=9,8 м/с2 и движение по оси OY можно считать
равноускоренным;
• скорость бросания тела мало, поэтому сопротивлением
воздуха можно пренебречь и движение по оси ОХ можно
считать равномерным.
Формализованная модель для
тела, брошенного под углом к
горизонту
начальная скорость ядра – ν0
угол бросания ядра – α
высота стенки – h
расстояние до стенки – s
y
ν0
α
h
x
Для определения координат ядра используем
формулы равномерного и равноускоренного
движения. Дальность х и высоту у при
заданной начальной скорости ν0 и угле
бросания α для любого момента времени t
можно вычислить по формулам:
х = ν0 ∙ cosα ∙ t,
у = ν0 ∙ sinα ∙ t – g ∙ t2/2
(1)
(2)
Из первой формулы выражаем время, которое понадобится мячику, чтобы
преодолеть расстояние x:
t = x / ν0 ∙ cosα.
(3)
Для вычисления координаты у в момент времени, когда мячик будет находиться на
расстоянии x, подставляем значение времени t в формулу для вычисления
координаты у:
y = x ∙ tgα – g ∙ x2/(2 ∙ ν02 ∙ cos2α).
(4)
Чтобы определить, попадет ли мячик в стенку, необходимо вычислить его
координату у в момент времени, когда он будет находиться на расстоянии s:
t = s / ν0 ∙ cosα
y = s ∙ tgα – g ∙ s2/(2 ∙ ν02 ∙ cos2α)
(5)
(6).
Формализуем теперь условие попадание мячика в мишень. Попадание произойдет,
если значение высоты мячика y будет удовлетворять условию в форме
неравенства:
0 ≤ y ≤ h.
Если y < 0, то это означает «недолет», а если y > h, то это означает «перелет».