Систематическое интегрирование

Систематическое
интегрирование
Содержание
1.Некоторые сведения о многочленах
2. Интегрирование дробнорациональных функций.
3. Интегрирование тригонометрических
функций.
4. Интегрирование простейших
иррациональностей.
Некоторые сведения о
многочленах
Понятие многочлена
Pn x  A0 x n  A1 x n1  ... An , где
Функция
n–целое число, называется многочленом или
рациональной целой функцией от x. Число n
называют степенью многочлена.
Коэффициенты A0 , A1, ..., A n
–это
действительные или комплексные числа.
Независимая переменная x также может быть
как действительным, так и комплексным
числом.
Теорема Безу
Число a является корнем многочлена
Pn x тогда и только тогда, когда
многочлен делится на x–a без остатка.

Доказательство
Если многочлен степени n разделить на
x–a, то очевидно в частном получится
многочлен степени n  1 , а в остатке от
деления число, то есть
(*) Pn x   x  a Qn 1x   r
Тогда если x=a–корень многочлена , то
Pn a   0 и, подставляя x=a, в обе части
равенства (*), получим r=0.
Доказательство
Обратно, если r=0, то при x=a правая
часть (*) Pn x   x  a Qn 1обращается
x  r
в нуль, тогда и
, Pn a   0
то есть x=a–корень .
Из теоремы Безу следует, что если
x=a–корень многочлена, то
Pn x   x  a Qn 1x 
Теоремы алгебры
Теорема .Всякий многочлен Pn x степени
1
имеет поnкрайней
мере один корень.
Теорема. Всякий многочлен степени n
разлагается на n линейных множителей
вида
и множитель, равный
xa
коэффициенту
при
.
x
n
Pn x  A0 x  a1 x  a2 ...x  an 
Случай кратных действительных
корней
Если в разложении многочлена на множители
некоторые линейные множители окажутся
одинаковыми, то их можно объединить, и
тогда разложение многочлена на множители
будет иметь вид:
Pn x   Ao x  a1  x  a2  ...x  am 
k1
k2
km
При этом k1  k2  ...  km  n . В этом случае
корни a1, a 2 , ..., a mназываются корнями
кратности k1, k 2 , ..., k m соответственно.
Пример
Px  x  5x  8x  4  x  2x  2x  1 
3
2
.  x  2 x  1
Корень a1  2 –двукратный корень
этого многочлена, a2  1 –простой
корень.
2
Случай комплексных корней
Теорема. Всякий многочлен n–ой
степени имеет ровно n корней
(действительных или комплексных).
Теорема. Если многочлен с
действительными коэффициентами
имеет комплексный корень a  bi, то он
имеет и сопряженный корень a  bi.
Продолжение
Итак, в разложении многочлена на
множители комплексные корни входят
попарно сопряженными.Им
соответствует множитель вида
x  a  bix  a  bi 
 x  a   bix  a   bi  x  a   b 
2
 x 2  2ax  a 2  b 2  x 2  px  q,
где дискриминант отрицателен.
2
Случай кратных комплексных
корней
Если комплексные корни многочлена
являются кратными, то этот многочлен с
действительными коэффициентами
разлагается на множители согласно
формуле
k
k
k








Pn x  Ao x  a1 x  a 2 ... x  a r 
1

 
1
2
r

s
 x  p1 x  q1 ... x  p s x  q s
где k1  k2  ...  kr  2e1  ...  2es  n
2
2
Интегрирование
рациональных дробей
Рациональные дроби
Рациональной дробью называется
Pn ( x)
выражение вида
, где Pn ( x), Qm ( x) Qm ( x )
многочлены степеней n и m соответственно.
Если степень числителя ниже степени
знаменателя, то рациональная дробь
называется правильной, в противном случае неправильной.
Рациональные дроби
Если рациональная дробь является
неправильной, то произведя деление Px
на Qx  по правилу деления
многочленов, ее можно представить в
виде Px   Rx   P1 x  ,, где R (x ) Q x 
Q x 
P1 x 
некоторый многочлен, а
Qx 
правильная рациональная дробь.
Простейшие рациональные
дроби
Правильные рациональные дроби вида
A
A
Ax  B
Ax  B
I.
, II.
, III. 2
, IV.
k
xa
x  px  q
x  a 
x 2  px  q

где k–целое положительное число ≥2,
дискриминант квадратного трехчлена
x 2  px  q
отрицателен, называются
простейшими дробями I, II, III и IV типов.

k
Интегрирование простейших
рациональных дробей
Дробь 1-го типа:
dx
d ( x  4)
 x  4   x  4  ln x  4  C.
Дробь 2-го типа:
dx
1
5

(
3
x

1
)
d (3 x  1) 
 (3x  1) 5 3 
1 (3 x  1)  4
1

C 
 C.
4
3
4
 12(3 x  1)
Пример интегрирования
рациональной дроби
3x  8
dx
Найдем 
x  4x  4x
2
3
2
Разложим знаменатель дроби на
3
2
2
2
x

4
x

4
x

x
(
x

4
x

4
)

x
(
x

2
)
.
множители:
3x 2  8
A
B
C
Тогда
 

.
2
2
x( x  2)
x
x2
( x  2)
Приведем дроби к общему знаменателю
и освободимся от знаменателя.
Продолжение
3x 2  8  A( x  2) 2  Bx ( x  2)  Cx.
Положим в обеих частях этого
тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда
А=2. При х=-2 20=-2С, а С=-10.
2
Приравнивая коэффициенты при x в
обеих частях тождества, получаем
3=А+В, а так как А=2 , то В=1. Имеем
Продолжение
3x  8
dx
dx
dx
 x 3  4 x 2  4 xdx  2 x   x  2  10 ( x  2) 2 
d ( x  2)
2
 2 ln x  
 10 ( x  2) d ( x  2) 
x2
1
 2 ln x  ln x  2  10
 C.
x2
2
Пример интегрирования
рациональной
дроби
3
x  2x
Вычислить  2
dx
2
( x  1)
x 3  2x
Ax  B
Cx  D
 2
 2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
x 1
Приведем выражение к общему
знаменателю:
.
Ax  B  (Cx  D)( x 2  1)
x 3  2x

2
2
( x  1)
( x 2  1) 2
Продолжение
Приравняем числители
x 3  2 x  Ax  B  Cx 3  Dx 2  Cx  D
.
Многочлены, стоящие в правой и
е
левой частях этого
соотношения
тождественно равны, т. е. равны
коэффициенты при одинаковых
степенях х в левой и правой частях
последнего соотношения.
Продолжение
x  2 x  Ax3  B  Cx  Dx  Cx  D
3
3
2
1 C
0D
x2
x 2  AC
x0 0  B  D
Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0.
Следовательно, подставляя найденные
коэффициенты в разложение дроби на
простейшие, получим
x
Продолжение
x  2x
 3xdx
xdx
 ( x 2  1) 2 dx   ( x 2  1) 2   x 2  1 
3
3 d ( x  1) 1 d ( x  1)
  2
  2

2
2 ( x  1)
2
x 1
3
1
2

 ln( x  1)  C.
2
2( x  1) 2
2
2
Интегрирование
тригонометрических
функций
Интегралы вида
m
n
 sin x cos xdx
Если хотя бы одно из чисел m или n нечетное положительное число, то
отделяя от нечетной степени один
сомножитель и выражая с помощью
2
2
формулы sin x  cos x  1 оставшуюся
четную степень через дополнительную
функцию, приходим к табличному
интегралу.
Примеры
cos 3 x
Вычислить  2 dx
sin x
.
Отделим от нечетной степени косинуса один
множитель, внесем под знак дифференциала
синус и получим:
2
1  sin x
d (sin x)
 sin 2 x d (sin x)   sin 2 x   d (sin x) 
1
sin
x
2
  sin xd (sin x)  sin x 
 sin x  C 
1
1

 sin x  C.
sin x
Продолжение
2. Интегралы вида  sin x  cos xdx,
где m и n – четные положительные
числа, вычисляют с помощью формул
понижения степени:
m
1  cos 2 x
sin x 
,
2
1  cos 2 x
2
cos x 
,
2
1
sin x  cos x  sin 2 x.
2
2
n
Пример
1
1 1  cos 4 x
2
 sin x cos xdx  4  sin 2 xdx  4  2 dx 
1
1
1
  (1  cos 4 x)dx  x  sin 4 x  C.
8
8
32
2
2
Продолжение
3.Интегралы вида
 sin kx sin mxdx,  sin kx cos mxdx,  cos kx cos mxdx
вычисляют преобразованием произведения
тригонометрических функций в сумму по формулам:
1
sin kx sin mx  (cos(k  m) x  cos(k  m) x),
2
1
sin kx cos mx  (sin(k  m) x  sin(k  m) x),
2
1
cos kx cos mx  (cos(k  m) x  cos(k  m) x).
2
Пример
Рассмотрим пример:
1
 sin 10 x sin 15xdx  2  (cos( 5x)dx  cos 25 x)dx 
1
1
cos 5 xdx   cos 25 xdx 

= 2
2
1
1
 sin 5 x  sin 25 x  C.
10
50
Продолжение
m
tg
xdx,
4. Интегралы 
вычисляют заменой
m
ctg
,
m N
 xdxгде
dt
tgx  t , x  arctgt , dx 
.
2
1 t
Второй интеграл берут с помощью
подстановки t=ctgx.
Пример
Вычислим: 3
3
t
t t t
3
 tg xdx   1  t 2 dt   1  t 2 dt 
Разложим интеграл на два
интеграла..Получим
t3  t
t
1 d (t 2  1)

dt  
dt   tdt  

2
2
2
2 1 t
1 t
1 t
2
2
t
1
tg x 1
2
  ln( 1  t )  C 
 ln( 1  tg 2 x)  C.
2 2
2
2
Продолжение
5.Такой же заменой можно брать интегралы
dx
, n, m целые числа
m
n
 sin
x cos x
одинаковой четности. Например,
tgx  t
dx
d (tgx)
 cos 4 x   cos 2 x  cos 2 x  1 2 
1  tg x
3
3
t
tg
x
2
  (1  t )dt  t   C  tgx 
 C.
3
3
Универсальная подстановка
6. Интегралы  R (sin x, cos x)dx берут с
помощью универсальной подстановки
x
tg  t. Откуда
2
2
2t
1 t
2dt
sin x 
cos x 
, dx 
.
2
2
2
1 t ,
1 t
1 t
Например,
dx
2dt
1
dt
x
 sin x   1  t 2  2t   t  ln t  C  ln tg 2  C.
1 t2
Продолжение
– 7. Универсальная подстановка приводит к
громоздким выкладкам! Поэтому если
R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то удобнее
пользоваться подстановкой tgx=t.
Тогда
dt
tgx  t , x  arctgt , dx 
.
2
1 t
t
1
sin x 
, cos x 
2
2
1 t
1 t .
Пример
dx
 1  sin 2 x  
dt
2
dt


2
1  2t
t
(1  t )(1 
)
2
1 t
1
d ( 2t )
1


arctg (t 2 )  C 

2
2 1  (t 2 )
2
1

arctg ( 2tgx)  C.
2
2
Интегрирование простейших
иррациональностей
Иррациональность, содержащая
квадратный трехчлен
(ax  b)dx
1.Интегралы вида 
mx 2  nx  p
берут, выделяя полный квадрат и вводя
новую переменную.

3x  6
x  4x  5
2
dx  
3( x  2)
( x  2)  1
2
dx  3
tdt
t 1
2

3 d (t 2  1)
 
 3 t 2  1  C  3 x 2  4 x  5  C.
2
t 2 1
Продолжение
ax  b
)dx
2. Интегралы вида  R( x,
cx  d
вычисляют с помощью подстановки
n
ax  b
n
z .
cx  d
m
k
R
(
x
,
ax

b
,
ax  b )dx
Интегралы вида 
вычисляют с помощью подстановки
ax  b  z ,
n
где n–наименьшее общее кратное чисел m и
k.
Тригонометрические
подстановки
Интегралы вида
2
2
R
(
x
,
a

x
)dx,

2
2
R
(
x
,
a

x
)dx,

2
2
R
(
x
,
x

a
)dx

вычисляют с помощью
тригонометрических подстановок.
1.
2
2
R
(
x
,
a

x
)dx; x  a sin z, dx  a cos zdz ,

a 2  x 2  a 2  a 2 sin 2 z  a 1  sin 2 z  a cos z.
Тригонометрические
подстановки
adz
R( x, a  x )dx, x  atgz, dx 
,
2

2.
cos z
2
2
a
a  x  a  a tg z  a 1  tg z 
.
2
cos z
2
2
2
2
2
a
a sin zdz
 R( x, x  a )dx, x  cos z , dx  cos 2 z ,
2
3.
2
x2  a2 
2
2
a2
1

cos
z
sin z
2
a  a
a
 atgz.
2
2
cos z
cos z
cos z
Пример

x2 1
dx 
2
x
dz
x  tgz, dx 
cos 2 z
dz


2
2
cos ztg z cos z
1
x  1  tg  1 
cos z
dz
sin 2 z  cos 2 z
dz
cos z


dz  
  2 dz 
2
2
cos z
cos z sin z
cos z sin z
sin z
cos zdz
d (sin z )
1
1 1  sin z
1
2

  sin zd (sin z )  

 ln

C 
2
2
cos z
1  sin z sin z 2 1  sin z sin z
2
2
1
x2 1  x
x2 1
 sin z 
 ln

 C.
2
2
x
tg z  1 2
x 1  x
tgz