mavlytova1

Тема: «Преобразование
выражений, содержащих
квадратные корни».
Цель урока: Преобразование
выражений, содержащих
квадратные корни в
комбинированных заданиях.
Выработка алгоритма
освобождения от
иррациональности в знаменателе
дроби. Ознакомление учащихся с
историческим материалом.
Ребята! Мы с вами рассмотрели ряд
тождественных преобразований
выражений, содержащих квадратные
корни.
Напомните, пожалуйста, эти
преобразования.
Ответ: Это - преобразования корней
из произведения, дроби, степени;
умножение и деление корней;
вынесение множителя из-под знака
корня, внесение множителя под знак
корня; освобождение от знака корня
знаменателя дроби.
Сегодня мы подведем итоги,
обобщим знания, полученные
при изучении темы «Квадратные
корни».
Рассмотрим комбинированные
задания на преобразование
иррациональных выражений.
I. Проверка домашнего
задания.
Проверить решение уравнения (это обязательное задание)
х  3  4 х 1  х  8  6 х 1  1
Решение:
х  3  4 х  1  х  8  6 х  1  1, x  1


2
x 1  2 
x 1  2 


2
x 1  3  1
x 1  3  1
x  1  2  0, x  1  2, x  1  4, x  5;
x  1  3  0, x  1  3, x  1  9, x  10;
√х-1-2
√х-1-3
-
1
1) х є [1;5)
-√х-1+2-√х-1+3=1
-2√х-1= -4
√х-1=2
х=5; 5 є [1;5)
Ø
-
+
5
-
+
10
+
2) х є [5;10)
3) х є [10; +∞)
-√х-1-2-√х-1+3=1
-√х-1-2-√х-1-3=1
0 ∙√х-1=0
√х-1=6
x- любое число из
√х-1=3
[5; 10), т.е. х є [5; 10) х=10, 10 є [10;+∞)
х =10
Ответ. х є [1;5) или 5≤ х ≤ 10.
Вопрос:
Какой теоретический материал
использовали при решении этого
уравнения?
Ответ:
1) Преобразование подкоренного
выражения к полному квадрату.
2) Квадратный корень из степени.
3) Решение уравнений, содержащих знак
модуля.
II. Задание по карточкам

б )
Карточка №1
Карточка №2
1.Выполните действия

3  

3 ;
а) 2  6  3 2  2 3 ;
7
7
в) 3  2  3  2 ;


2

б )

а) 3  21 

a  a 1 

a  a 1 ;
в) 5  2 6  5  2 6 ;

 
2
г) 3  2 
г ) 6  2  2 32 ;

3 7 ;

2
3 2 .
2. Внесите множитель под знак корня
а)4  x 
2x
x 2  8 x  16
б )x  5 x  10 x  25
2
а)2  a 
3
при х ≥ 4;
при у ≥ 3.

a
a2
б ) a 2  4  4a

при 0 ≤ а ≤ 3;
2a
3
2  a 
при а ≥ 1.
III. Устная работа.
1. Найдите ошибку:
в ) 25а10b8  5a 5 b 4 ;
9 6 4
3 3 2
а) 1 y x  1 y x ;
16
4
б )  m 5m 
 m 2 5m 
г) х
5m 3 ;
4
4
 х  4  2;
х
х
у2  6х  9
д)

у 3
 у  32
у 3

у 3
 1.
у 3
2. Используя определение арифметического квадратного
корня, решите уравнение или объясните, почему уравнение
не имеет корней.
а) х  5  2  7 ;
б ) х  3  3  х;
в ) х  х  2  3.
IV. Домашнее задание (исторические
справки по теме).
1. «Извлечение квадратного корня из положительного
числа».
Потребность в действиях возведения в степень и
извлечения корня была вызвана, как и другие четыре
арифметические действия, практической жизнью. С
давних пор наряду с отысканием площади квадрата по
известной длине его стороны приходилось решать и
обратную задачу: «Какой должна быть сторона квадрата,
чтобы его площадь равнялась а?» Такую задачу умели
решать еще 4 тыс. лет назад вавилонские ученые. Наряду
с таблицами умножения и таблицами обратных величин (с
помощью которых деление чисел
сводилось к умножению) они составляли таблицы
квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом
они умели находить приблизительное значение
квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский
метод извлечения корня можно иллюстрировать на
следующем примере, изложенном в одной из найденных
при раскопках клинописных табличек.
Найдите квадратный корень из 1700. Для решения задачи
данное число разлагается на сумму двух слагаемых:
1700 = 1600 + 100 = 402 +100,
первое, из которых является полным квадратом. Затем
указывается, что
100
1
1700  40 
 41 .
2  40
4
Вавилоняне использовали метод приближенного
извлечения квадратного корня, который состоял в
следующем:
пусть а - некоторое число (имеется в виду натуральное
число), не являющееся полным квадратом. Представим
а в виде суммы b2 + с, где
с достаточно мало по сравнению с b . Тогда
c
a  b c b .
2b
2
Например, если a=112, то
12
112  100  12  10 
 10,6.
2 10
Вавилонский метод извлечения квадратного корня был
заимствован греками и подробно описан древнегреческим
ученым Героном Александрийским (I в.н.э.).
2.О знаке корня.
Сложение и умножение имеют по одному обратному
действию, которые называются вычитанием и делением.
Пятое математическое действие-возведение в степень
имеет два обратных: разыскание основания и разыскания
показателя. Разыскание основания есть шестое
математическое действие и называется извлечением
квадратного корня.
Шестое действие, извлечение квадратного корня,
обозначается знаком √ . Не все знают, что этовидоизменение латинской буквы r, начальной в латинском
слове, означающем корень.
В эпоху Возрождения европейские математики
обозначали корень латинским словом Radux (корень).
А затем сокращенно буквой R (отсюда произошел
термин «радикал», которым принято называть знак
корня). Некоторые немецкие математики XV в. для
обозначения квадратного корня пользовались точкой.
Эту точку ставили перед числом, из которого нужно
извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить
ромбик ♦, впоследствии знак v и над выражением, из
которого извлекали корень, проводили черту. Затем
знак v и черту стали соединять. Такие записи
встречаются в «Геометрии» Декарта и «Всеобщей
арифметике» Ньютона. Было время (XVI в.), когда
знаком корня служила не строчная, а прописная буква
R, а рядом с ней ставилась первая буква латинских
слов « квадратный» (q) или кубический (с), чтобы
указать, какой именно корень требуется извлечь.
Например, писали R.q.4352, вместо нынешнего
обозначения √4352
Если прибавить к этому, что в ту эпоху, еще не вошли в
общее употребление нынешние знаки для плюса и минуса,
а вместо них писали буквы р. и т., и что наши скобки
заменяли знаками ∟ , то станет ясно, какой необычный
для современного глаза вид должны были иметь тогда
алгебраические выражения.
Вот, например, из книги старинного математика Бомбелли
(1572): R.C.∟ R.q.4352p. 16 m.R.c. ∟R.q.4352 m.l6. Мы
написали бы то же самое иными знаками:
3
4352  16 
3
4352  16 .
Лишь в 1637 г. Рене Декарт соединил знак корня с
горизонтальной чертой, применив знак корня √ .
Современная запись корня появилась в книге
«Руководство алгебры» французского математика М. Ролля
(1652-1719).
V. Упражнения.
1.Галицкий № 4.84 (а, в)
Вычислите: a) 7  4 3  7  4 3 .
в) 8  2 7  8  2 7 .
2. Виленкин №160 (а), стр. 167 .
Вычислите:
2 3
2 3
a)
2 3

2 3
.
3. Теляковский С.А. № 434 (а, г)
Найдите с помощью м/к значение выражения с
1
до 0,01
a)
;
5 2
53 3
г)
.
32
точностью
Вопрос 1. Удобна ли данная запись для вычислений на м/к?
Вопрос 2. Что нужно сделать для упрощения вычислений?
Вопрос 3. Итак, чем вы можете мотивировать
необходимость освобождения от знака корня в знаменателе
дроби?
Ответ. В результате преобразований получаем выражение
вида наиболее удачного для нахождения его значения.
Например,
c
2
и
c 2
2
при с = 4.
VI. Сценка.
За столом сидит ученик-старшеклассник. Он в роли
учителя математики. К столу прикреплен плакат:
«Экзамен по математике».
Вбегает ученик.
- Извлекать корни умеете? – спрашивает экзаменатор.
Ученик:
- Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растения
посильнее, и корень его извлечется из почвы.
- Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.
- Это будет «Девя», так как в слове «Девять» суффиксом
является «Ть»,
- Вы меня не совсем поняли, я имел в виду корень
квадратный.
- Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые
и стержневые.
- Арифметический квадратный корень из девяти?
- Три, т.к. три в квадрате равно 9.
VII. Домашнее задание:
1. Т.№ 489 (б); В. № 160 (б); Г. № 6.238 (в).
1
2.
(на хвосте мартышки)
2 3 5
Стихотворение:
Мартышка - апельсинов продавщица,
Приехав как-то раз к себе на дачу,
Нашла там с радикалами задачу.
Но сосчитать не в силах стройный ряд,
Разбрасывать их стала все подряд.
И молвила: «Что толку в той задаче,
Коль из нее не слепишь новой дачи!»
Мы верим все же, что мартышки мненье
Не истина для тех, кто знает толк в ученье
И просим вас, девчонки и мальчишки,
Решить задачу на хвосте мартышки.