Основные типы задач на расположение корней квадратичной

Основные типы задач на
расположение корней квадратичной
функции, зависящей от параметра
Обучающая интерактивная презентация
9 класс
1. Введение
Пусть квадратичная функция имеет вид
y
f ( x)   (a) x 2   (a) x   (a),
y=f(x)
где a – параметр, α(a)≠0.
Абсциссу вершины параболы обозначим
 (a)
x0  
2 (a)
Соответствующее f(x) квадратное уравнение:
 (a) x 2   (a) x   (a)  0
x1  x2
–
x1
0
(1)
корни уравнения (1),
D   2 (a)  4 (a) (a)
–
дискриминант уравнения (1).
x0
x2
x
2. Свойство квадратичной функции
Отметим одно из свойств квадратичной функции,
которое имеет принципиальное значение:
 (a)  f ( x)
выражение
на промежут ках
знакопост оянст ва функции
сохраняет знак.
y
1)  (a )  0
D0
f (x)
2)
 (a)  0
D0
Используя указанное свойство
квадратичной функции, воспользуемся
графическим методом. Изобразим на
6)
координатной плоскости параболы,
 (a)  0
соответствующие шести типичным
D5)
0
случаям.
 (a)  0
D0
3)  (a)  0
D0
x
0
4)
 (a)  0
D0
3. Теорема о знаке квадратичной функции
1.Если D  0, то уравнение (1) не имеет корней и знак
f (x)
при всех x  R
 (a), т.е.
совпадает со знаком
 (a)  f ( x)  0 (параболы 1 и 4);
y
1)  (a )  0
x0
2. Если D  0 , то уравнение (1) имеет один корень
D0
2)
xR
(два равных корня) и знак
f (x) при всех
 (a)  0
D0
D0
кроме x0 совпадает со знаком
 (a) , т.е.
 (a )  f ( x  x0 )  0
 (a )  f ( x )  0
0

3)  (a)  0
(параболы 2 и 5);
6)
x
0
3. Если D  0 , то уравнение (1) имеет два различных5)корня  (a)  0
x1 , x2 и знак f (x) при всех x  ( x1 ; x2 )
противоположен знаку  (a) , а при всех
x  (; x1 )  ( x2 ;)
 (a)  0
D0
совпадает со знаком  (a) , т.е.
 (a )  f ( x)  0, x  ( x1 ; x2 )
 (a )  f ( x)  0, x  (; x )  ( x ; )

1
2
(параболы 3 и 6).
D0
4)
 (a)  0
D0
4. Основные типы задач на расположение корней
квадратичной функции, зависящей от параметра
ЗАДАЧА 1. Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения (1) были меньше числа
d ( x1  x2  d ), необходимо и достаточно выполнение условий
D  0,

 (a)  f (d )  0,
x  d.
 0
( A)
( B)
(C )
(2)
y
Проиллюстрируем эту задачу на
рисунке. Параболы зеленого цвета
соответствуют условию задачи 1,
красного – не соответствуют
условию.
0
d
x
Основные типы задач на расположение корней
квадратичной функции, зависящей от параметра
ЗАДАЧА 2. Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения (1) находились
(d  x1  x2  e) ,необходимо и достаточно
в интервале
(d ; e)
D  0
 ( a )  f ( d )  0


 ( a )  f (e)  0

d  x 0  e
Проиллюстрируем эту задачу на
рисунке. Параболы зеленого цвета
соответствуют условию задачи 2,
красного – не соответствуют
условию.
( A)
( B)
(C )
( D)
d
(3)
y
0
e
x
Основные типы задач на расположение корней
квадратичной функции, зависящей от параметра
ЗАДАЧА 3. Для того, чтобы число
d
находилось между корнями квадратного уравнения (1) ,
x1  d  x2 , необходимо и достаточно выполнение неравенства
D  0,

(a)  f (d )  0.
Проиллюстрируем эту задачу на
рисунке. Параболы зеленого цвета
соответствуют условию задачи 3,
красного – не соответствуют
условию.
(4)
y
0
d
x
Основные типы задач на расположение корней
квадратичной функции, зависящей от параметра
ЗАДАЧА 4. Для того, чтобы отрезок
d; e
лежал внутри интервала
x1; x2  , необходимо и достаточно, чтобы
 D  0,

 (a)  f (d )  0,
 (a)  f (e)  0.

Проиллюстрируем эту задачу на
рисунке. Параболы зеленого цвета
соответствуют условию задачи 4,
красного – не соответствуют
условию.
(5)
y
d
0
e
x