ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Высказывания и логические операции над ними Основные теоретические положения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Высказывания и логические операции над ними
Основные теоретические положения
Под высказыванием понимают всякое повествовательное предложение, о котором имеет
смысл говорить: истинно оно или ложно.
Высказывания будем обозначать строчными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, ....
Истинные высказывания будем обозначать символом И, ложные – символом Л.
Отрицанием высказывания A называют высказывание A, истинное, когда B ложно, и
ложное, когда A истинно.
Конъюнкцией двух высказываний A и B называют высказызание A ^ B, истинное тогда и
только тогда, когда истинны оба высказывания A и B. Часто вместо A ^ B записывают AB.
Дизъюнкцией двух высказываний A и B называют высказывание A V B, истинное тогда и
только тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание A или B.
Импликацией двух высказываний A и B называют высказывание A → B, ложное тогда
и только тогда, когда A истинно, a B ложно.
Эквиваленцией двух высказываний A и B называют высказывание A ↔ B, истинное
тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или ложны одновременно.
Данные определения представим в виде таблицы.
A
И
И
Л
Л
B
И
Л
И
Л
A
Л
Л
И
И
A^B
И
Л
Л
Л
AVB
И
И
И
Л
A→B
И
Л
И
И
A↔B
И
Л
Л
И
С помощью логических операций из элементарных высказываний образуются более
сложные – составные высказывания.
Конечную последовательность букв, знаков операций и скобок, определяющих структуру
высказываний, называют формулой логики высказываний.
Две формулы называют равносильными, если при любых наборах переменных
высказываний их значения истинности совпадают. Обозначается равносильность
символом ≡.
Задача 1.
Среди нижеследующих предложений выделим высказывания. Определим, какие из них
являются истинными, а какие ложными.
1) Спешите делать добро!
2) Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютон.
3) В солнечную погоду полезны темные очки.
4) Когда в ы будете в Париже?
5) Число 9 является простым.
6) Сегодня был вкусный обед.
Из всех предложений высказываниями являются только: …
Высказывания …, ... являются истинными, а высказывания …, .. ложным.
Не являются высказываниями: …, … .
Задача 2.
Сформулируем высказывания, соответствующие формулам:
A – Гремит гром.
В – Моросит дождь.
1) AB
2) АB
3) А  B
4) A↔B
Задача 3
Теория
Импликация высказываний.
Импликацией высказываний A и B называется новое высказывание A → B
(читается если A, то B, из A следует B), которое ложно тогда и только тогда, когда
истинно, а B ложно.
Значение истинности A → B определяется таблицей
А
И
И
Л
И
В A→B
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
В импликации A → B высказывание А называется основанием или посылкой, а
высказывание В – следствием.
Вместо термина импликация встречается термин следование.
Задача 3.
Докажите равносильность формул:
а) (B → С) V (A → С);
б) AB → С.
Решение.
Для доказательства равносильности составим таблицу истинности для данных формул.
A
1
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л
B
2
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
С
3
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
B→С
4
A→С
5
(B → С) V (A → С)
6
AB
7
AB→ С
8
Истинность формулы а) представить в столбце 6, а истинность формулы б) – в столбце 8.
Сравнивая эти столбцы, убеждаемся, что они совпадают, а это значит, что формулы
равносильны.
Задача 4.
Из заданных логических функций эквивалентной A является …
1) A и не А или не А
2) А и не В и А
3) А и не В или А
4) А и не А или В
Задача 5.
Дан код величины типа Double: 408EF98000000000. Преобразуйте его в десятичное число