Элективный курс «Элементы математической логики» Р

Элективный курс
«Элементы
математической логики»
Разработан:
учителем школы № 853
Кондратьевой Антониной Ивановной
1. Высказывания
2. Операции над высказываниями
3. Неопределенные высказывания
4. Знаки общности и существования
1. Высказывания
1. Примеры высказываний:
Число 27 делится на 9,
Число 27 делится на 7,
6 меньше 25,
формула у=ах²+вх+с=0 задает линейную функцию.
Записывать высказывания принято таким образом:
А= { Число 27 делится на 9},
D= {6 меньше 25 }.
Высказыванием будем называть утверждение, про которое можно точно
сказать, истинно оно или нет.
Являются ли высказыванием утверждения:
Число 252369 очень велико,
Существует ли треугольник.с углом 181º?
Х ≥ 3,
Катя -красивая девушка!
В реке Сходня плавает крокодил,
В килограмме гречки 569219359 крупинок?
Последние два утверждения трудно проверить на истинность.
2 Закон исключенного третьего.
Любое высказывание либо истинно, либо ложно.
3.Закон противоречия.
Никакое высказывание не может одновременно быть истинным и
ложным. В пятидесятых годах прошлого века была предпринята попытка
создать математику ,в которой этот закон не выполняется. Пока не
получилось…
2. Операции над высказываниями
Отрицание
Утверждение о том, что высказывание А не верно, называется отрицанием А
и обозначается ¬А или А . Говорят, А не имеет места или а не выполняется.
Составьте отрицания к высказываниям: А  {23 делится на 7}, В  {3>5},
С  {5+3=8}, D  {30 есть простое число}.
Какие из предложенных высказываний истинны.
Рассмотрим высказывание А  {11 делится на 3}. Чтобы составить
высказывание, поставим не перед сказуемым. Но если высказывание
содержит частицу не перед сказуемым, например, В  {8 не делится на 5}, то
для отрицания надо частицу не перед сказуемым отбросить.
¬(¬)А=А
Получили таблицу истинности:
А
И
Л
А
Л
И
Конъюнкция
Конъюнкцией двух высказываний А и В (обозначается символом А  В,
читается «А и В») называется высказывание, которое является высказывание,
которое является истинным тогда и только тогда, когда А ложно.
Составьте конъюнкцию таких высказываний:
1) Е  {мама просила меня сходить в магазин} и S  {мама просила меня
сделать уроки}.
2) А  {в четырехугольнике МРКТ МР КТ}, В  {РК ТМ}.
Дизъюнкция
Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначается символом А  В, читается
«А или В») называется высказывание, которое истинно в тех случаях, когда
истинно хотя бы одно из высказываний А или В, и ложно, если ложны оба
высказывания А и В.
Составьте дизъюнкцию приведенных выше высказываний.
Замечание: Дизъюнкция («или») понимается в смысле, отличном от
бытового: логическая операция дизъюнкции не является «разделительным
или». Дизъюнкция двух высказываний является истинной не только тогда,
когда одно из высказываний истинно, а другое ложно, но и в том случае,
когда истинны оба.
Эквиваленция
Эквиваленцией высказываний А и В (обозначается А В, читается «А
эквивалентно В») называется такое высказывание, которое истинно, если оба
высказывания А и В истинны или оба ложны, и ложно, если одно из этих
высказываний истинно, а другое ложно.
Рассмотрим высказывание С  {в четырехугольнике МРКТ противоположные
стороны равны}. Тогда высказывания С и А  В эвивалентны.
Импликация
Импликацией высказываний А и В (обозначается А  В, читается «если А, то
В» или «А следует из В», «А влечет за собой В») называется высказывание,
которое ложно лишь в том случае, когда А истинно, а В ложно.
А  {C - рыба}, В  {С - селедка}. Высказывание А  В ложно, В  А истинно.
D  {Сейчас на улице дождь}, Е  {Сейчас на улице лужи}.
Получилась таблица:
A
И
И
Л
Л
B
И
Л
И
Л
АВ
И
Л
Л
Л
А В
И
И
И
Л
А В
И
Л
Л
И
АВ
И
Л
И
И
Свойства операций
1) Коммутативность: А  В=В  А, А  В=В  А.
2) Ассоциативность: А  (В  С)=(А  В)  С, А  (В  С)=(А  В)  С.
3) Дистрибутивность: А  (В  С)=(А  В)  (А  С), А  (В  С)=(А  В)  (А  С).
4) Законы де Моргана: А  В  А  В , А  В  А  В .
Кроме того, справедливы следующие неравенства (через И обозначено
тождественно истинное высказывание):
А  А=А,
А  А=А
А =А,
А  А =И,
А  И=И,
А  И=А.
Если Л – тождественно ложное высказывание, то
И =Л.
А  Л=А,
А  А =Л,
А  Л=Л,
Замечание: знак конъюнкции, как и знак умножения в алгебраических
операциях, часто опускается:
А1  А2  ...  Аn1  An  A1 A2 ... An1 An .
Для конъюнкции и дизъюнкции нескольких высказываний также
выполняется законы де Моргана:
A1  A2  ...  An1 An  A1 A2 ...An1 An ,
A1 A2 ...An1 An  A1  A2  ...  An1  An .
3. Неопределенные высказывания
Обозначим через N множество всех натуральных чисел, через х обозначим
произвольное натуральное число. Рассмотрим следующие предложения:
А(х)  {х делится на 3}, В(х)  {х меньше 10}, С(х)  {х – простое число},
2
D(x)  {  x  2  }. Предложения А(х), В(х), С(х), D(x) высказываниями не
являются, пока нам не известно число х. Но, подставляя в А(х) вместо х
различные натуральные числа, мы получим высказывания о натуральных
числах – иногда истинные, иногда ложные. Например А(5)  {число 5
делится на 3} – истинное высказывание, А(12)  {число 12 делится на 3} –
истинное высказывание и т. д. Можно составить таблицу истинности для
этих высказываний:
А(1)
Л
А(2)
Л
А(3)
И
А(4)
Л
А(5)
Л
А(6)
И
А(7)
Л
А(8)
Л
А(9)
И
…
…
Рассмотренные нами предложения А(х), В(х), С(х), D(x), содержащие
переменную х, можно назвать неопределенными высказываниями или
предикатами.
Примеры предикатов с двумя и большим числом переменных:
А(х,у)  {x<y}, B(x,y)={x+y=15}, C(x,y)  {х+у – простое число}.
А(1,3)  {1<3} - И, А(2,5)={2<5} - И, C(5,4)  {5+4 – простое число} - Л.
4. Знаки общности и существования
Рассмотрим высказывание А  {каждое простое число нечетное}. Каково
будет отрицание этого высказывания? Многие отвечают, что отрицанием
будет высказывание В  {каждое простое число четно}. Но это утверждение
ошибочно, поскольку каждое из высказываний А и В является ложным.
Правильный ответ: A  {не каждое простое число нечетно}
A  {найдется простое число, которое четно} или A  {хотя бы одно простое
число четно} – И.
Сравним 2 высказывания: A  {каждое простое число нечетно} и A  {хотя бы
одно простое число четно}. При этом первое слово «каждое», стоявшее в
высказывании А заменится в высказывании A словами «хотя бы одно» или
«существует», а вторая часть высказывания просто заменяется ее
отрицанием.
Верно и обратное. Если в начале высказывания стоят слова «хотя бы один»,
«найдется», «существует» и т. п., то при постановке отрицания «не» после
этих слов они заменяются на «все», «каждый», «любой». Если же «не»
добавить перед этими словами, то никакой замены слов не происходит.
Пример: А  {никакой ромб не может быть вписан в окружность} или А  {не
существует ромба, который может быть вписан в окружность}. В последнем
высказывании частица «не» стоит впереди предложения.
A  {существует ромб, который может быть вписан в окружность}.
Рассмотрим знак общности  .
 х Р(х) – это предикат, заданные на множестве М, которому принадлежит х.
Но как проверить его истинность? Подставить вместо х все элементы
множества М не всегда возможно. Если же надо доказать, что  х Р(х) –
ложно, то надо найти один элемент а, такой что Р(а)=Л.
Пример: С(х)  {число 22 +1 - простое}.
Пьер Ферма был убежден в справедливости высказывания  х С(х) и
пытался найти доказательства этого факта. С(1), С(2), С(3), С(4) – И
(Проверьте!. Однако, другой математик, Леонард Эйлер показал, что
С(5) – Л.  х Р(х) и  Р(х) – это не предикаты, а высказывания.
x