Основные теоремы теории очага землетрясения.

Основные
теоремы
теории очага
землетрясения.
Тензор
сейсмического
момента.
Лекция 4
Прямая и обратная задачи теории
очага землетрясения.
Прямая задача - моделирование деформаций и смещений земной
поверхности, обусловленных движением по разлому, имеющему
заданную форму источника, в упругом полупространстве
Обратная задача - определение модельных параметров разрыва и
механизма очага по измеренным деформациям и смещениям на
поверхности. Решается путем минимизации разностей
измеренных и модельных смещений.
Для вычисления модельных момента и магнитуды используются
формулы:
M 0    u  S;
2
MW  lg M 0  10,7;
3
10
  3  10 Па - модуль сдвига
Пример расчета теоретических
сейсмограмм поверхностных волн.
Постановка обратной задачи.
Уравнения движения
в напряжениях:
 ij
 ui
 fi   2 ;
x j
t
fi

Закон Гука для
однородной,
изотропной,
упругой среды
2
- массовые силы
- плотность

сijkl   ij kl    ik jl   il jk
 ui u j
 ij   ij kk   

 x j x i
 ,  - Коэффициенты Ламе

;



Начальные и кинематические граничные
условия:
t0
ui  x i ,0   0;
На поверхности разрыва
смещения и напряжения
- непрерывны:
ui u j

 0;
x j x i
 


ui  ui  u1  x , t 


 ij  j   ij  j  0
Динамические граничные условия:
 ij j  0;
- Для трещины отрыва
 ui

 i t    ij j   i jk j k   тр 
, n , T , x 
 t

T - температура
 n   ik i k  0;
 i t    ik k   i ik j k ;
 i   ij j
вектор напряжений
Теорема единственности.
В среде, ограниченной объемом V и поверхностью S, с
источником в виде внутреннего разрыва Σ, смещения в
любой точке объема однозначно определяются, начиная
с момента вспарывания, если известны:
1)
Объемные силы и приток тепла в объеме V,
2)
Напряжения в любой точке пространства,
ограниченного S,
3)
Смещения на границе погребенного разлома Σ.
Простейшей моделью источника является
однонаправленный, одиночный импульс,
локализованный во времени и пространстве.
Понятие функции Грина.

 
f  x , t   A  x    t   ;
i
in
0, i  n
 in  
1, i  n

   dV  1;   t dt  1;



1
Gin  x , t   ui  x , t 
A

 
2
 

 cijkl
1.  2 Gin 
Gkl    in x    t   
t
x j 
x l



 
G  x , t 
2.G  x , t   0;
 0; t   ; x  
t


 


3.G x , t ,  ,  G x , t   ,  ,0  G x , ,  , t


 
 


Теорема представления и форме Бетти.
Поля смещений
на S и Σ
 
 
u x , t   F  T u, n 
 
 
  x , t   G  T  , n ;
  
Ti   ij n j   ij , j ; n  u   ;
ui  f i   ij , j ; i  g i   ij , j
 

 
  

F  u  dV   T u, n  dS 
V
 


S
 
  

G   udV   T  , n udS ;
V
На основании
теоремы Гаусса-Остроградского:
 c
V
S
 ukl dV   cklijuij kl dV ;
ijkl ij
V
Следствия теоремы представления.
u    0; t   0
Для
изначально
 

 

u x , t G  x ,  t     x ,  t F  x , t dV 
покоящейся
V
среды:

 
    
 

    x ,  t T u x , t n  u x , t T   x ,  t ndS ;
 


 

 
Gi  x, t    in x    t    i  x, t   Gin x, t ,  ,0
S
Введем:

Тогда, произвольная компонента смещения на разрыве:




un  , t   dt   Fi  x , t Gin x , t   ,  ,0 dV 
  V





 


  Gin x , t   ,  ,0 Ti u, n   ui  x , t cijkl n j
Gkl dS 
x l


S 
 






Смещения в любой точке пространства.
Fi  0
-внешние
Gin  0
-Поверхность S абсолютно жесткая
(глубинный источник)
Gkl
0
x l

ui  x , t  
силы равны 0
-Поверхность S свободна от напряжений
(поверхностный источник)

d

 


  

G kl
ui  , cijkl j
d
 l
Эквивалентные объемные силы
Объемные силы, эквивалентные скачку напряжений на разрыве
f
T 
 ,          

 
T u, n 
 
 x 


 

 
T u  ,  n   x   d

-

напряжения на разрыве
-
дельта функция Дирака
Объемные силы, эквивалентные скачку смещений на разрыве
f
u 
 ,       





 

ui  ,  cijkl j
 x   d
 l
Интерпретация компоненты объемных сил,
эквивалентных подвижке по разрыву.



Подвижка по разрыву
Производная
подвижки по разрыву
Система сил,
эквивалентная паре
сил с моментом, на
разрыве.
Пример сдвигового разрыва.
с1313  с1331  
u2   u3   0;   1   2  0

f1  ,      u1  , 
 3
 3

f 2  ,   0





 u1  ,  3 
f 3  ,   
1

3 f1dV    u1  , d

Сила направлена вдоль оси 1,
Плечо – вдоль оси 3,
Момент – вдоль оси 2
V
u   
  

 u  , d

1

S
Пример сдвигового разрыва.
с1313  с1331  
u2   u3   0;   1   2  0

f1  ,      u1  , 
 3 
 3

f 2  ,   0





 u1  ,  3 
f 3  ,   
1

3 f1dV    u1  , d

V
Сила направлена вдоль оси 1,
Плечо – вдоль оси 3,
Момент – вдоль оси 2
u   
  

 u  , d

1

S
Два возможных распределения сил,
эквивалентных подвижке по разрыву.

 Gn1 Gn3 

un  x, t    d   u1 

d;
  3 1 



 Gn1  u3  

un  x , t    d   u1 
  Gn3 d
  3   1  

 
Статический сейсмический момент.
M 0    u t   S
M 0   H  м
10
2
Микротрещины
в образцах
горных
пород
 10  M 0  10
5
Микроземлетрясения
23
Сильнейшие
землетрясения
1Н  м  10 дин  см
7
Девять пар сил произвольно
ориентированного разрыва смещений в
анизотропной среде.
m pq  ui  j cijpq
i , j , p, q  1,2,3
H
m pq 
м
 
M pq   m pq d

M xx  M yy  M zz  0
un  x , t    m pq  Gnp ,q d

Тензор плотности сейсмического
момента
Для изотропного тела
  
      

m pq   k uk  ,  pq 


   p uq  ,   q u p  ,
При сдвиге
  
 
m pq    p uq   q u p ;   k  uk   0
Простейший сдвиг
0  u1 
 0


m 0
0
0 
  u  0
0 
Правосторонний и левосторонний сдвиг.
 M xx

M ij   M yx

 M zx
 0

M   M0
 0

M xy
M yy
M zy
M0
0
0
0

0

0
M xz 

M yz 

M zz 
Трещина отрыва и центр расширения.
0
  u3 

m 0
 u3 
 0
0


  2 
1 :1 :
;
0


0


  2 u3 

Центр
расширения
(взрыв)
 P
4 
M
V 0
3 
 0
0
P
0
0 

0 

P 
Объемные источники.
m pq 
dM pq
dV
 cijpqeij
-трансформационная деформация - деформация без
eij напряжений, глубокофокусный очаг
M pq   cijpqeij dV
V
e12
 0

M  2V  e21
0
 0
0

0

0

0
Формула Брюна и формула Кострова.
N
Суммарная подвижка
всех землетрясений
U 
N
Скорость деформации
сейсмогенного объема
M
i 1
i
0
S
- Число землетрясений
N
M
k
pq
1 k 1
eij 

2  V  T
T - Период наблюдений
Данные о величине статического сейсмического момента,
полученные для землетрясения с магнитудой 7,1 в
Калифорнии, 16 октября 1999 года.
Данные
Сейсмический
момент
Источник
Длиннопериодные
поверхностные
волны
5,98×1019 Нм
Гарвардский
университет
Объемные волны
5,5×1019 Нм
Токийский
университет
GPS, InSAR
6,7×1019 Нм
Simons…2002.
Соотношение между величиной статического
сейсмического момента, магнитудой и
длительностью процесса разрывообразования.
M0  
3
Соотношение между статическим сейсмическим
моментом, магнитудой и площадью площадки
разрыва.
M 0  1,33  10 S
15
3
2
lg M 0  1,5 lg S  15,25
Соотношение между статическим
сейсмическим моментом и длиной разлома.
M0  L
2
Отношение энергии излучения к величине
статического сейсмического момента.