прямая-урок1

Урок1
Прямая на плоскости.
Виды уравнений прямой на плоскости.
Прямая на плоскости может быть задана одним из
следующих ниже уравнений.
1. Прямая на плоскости однозначно задается точкой и
вектором, перпендикулярным к этой прямой. Такой вектор
называется нормальным вектором.
М0(x0, y0)
L
Пусть М0(x0, y0) –точка, лежащая на
прямой L; а вектор
–
нормальный вектор прямой L. Тогда
для любой точки М(x, y), лежащей на
этой прямой, вектор
будет перпендикулярен вектору
,
а значит, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
A(x – x0)+B( y – y0) = 0 −
уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0)
перпендикулярно вектору
2. Выведем из полученного выше уравнения общее уравнение
прямой:
Пусть
A(x – x0)+B( y – y0) =0.
Раскроем скобки:
Ax+By+(−A x0−B y0) = 0.
Обозначим (–Ax0 – By0) = C, тогда получаем
Ax + By + C = 0 –
общее уравнение прямой на плоскости, где коэффициенты
А, В - координаты нормального вектора.
3. Если С  0, то можно из общего уравнения прямой
Ax + By + С = 0 получить уравнение прямой «в отрезках».
Разделим общее уравнение Ax + By = –С на коэффициент
(–С):
Обозначим:
тогда
уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины
направленных отрезков, отсекаемых прямой от
координатных осей.
Например,
Y
X
4. Если В  0, то можно получить уравнение прямой с
угловым коэффициентом. Из общего уравнения
Ax + By + C = 0 выразим y через x:
By = –Ax – C;
Y
Обозначим
тогда
b
O
y = kx + b –
уравнение прямой с угловым коэффициентом,
где k – угловой коэффициент прямой, или тангенс угла
между прямой и положительным направлением оси ОХ ,
k = tg; b – ордината точки пересечения прямой с осью OY.
X
Если угол  - острый угол, то k>0, если угол  - тупой , то k<0,
если  =0 прямая параллельна оси ОХ и k=0, если = / 2, то
прямая не имеет углового коэффициента.
5. Прямая на плоскости также однозначно задается точкой и
вектором, параллельным этой прямой. Такой вектор
называется направляющим.
М0(x0, y0)
L
Пусть М0(x0, y0) – точка, лежащая на
прямой L; а вектор
–
направляющий вектор этой прямой.
Тогда для любой точки М(x, y),
лежащей на этой прямой, вектор
будет
коллинеарен вектору
,а
следовательно, координаты векторов
пропорциональны:
будут
Получили каноническое уравнение прямой, проходящей
через точку М(x0, y0) параллельно направляющему вектору
6. Получим из канонического уравнения прямой
параметрические уравнения, введя параметр t:
параметрическое уравнение прямой, проходящей через
точку М(x0, y0) параллельно вектору
7. Из параметрических уравнений
получим уравнение прямой в векторном виде.
Пусть
радиус-вектор произвольной точки M,
лежащей на прямой,
радиус-вектор фиксированной точки M0,
лежащей на прямой,
направляющий вектор,
- уравнение прямой в векторном виде.
8. Найдем уравнение прямой L, проходящей через 2 точки
А(x1, y1) и B(x2, y2) на плоскости.
Тогда
– направляющий вектор этой
прямой, а точка A(x1, y1)  L.
B
А
B
A
L
B
Для любой точки М(x, y), лежащей на прямой
L, векторы
и
должны быть
коллинеарны, а значит, их координаты
должны быть пропорциональны:
Получили уравнение прямой, проходящей через точки A и B.
9. Нормальное уравнение прямой.
Пусть р − расстояние от прямой до начала
координат, α − угол, образуемый перпендикуляром к
прямой и положительным направлением оси ОХ.
Точка M(x,y) - произвольная точка , лежащая
на прямой. Через начало координат проведем
n
прямую перпендикулярно к данной.
Точка P − точка
пересечения этих прямых
Y
K
X
нормальное уравнение прямой, где cosα, cosβ –
направляющие косинусы нормального вектора,
направленного из начала координат в сторону прямой, а p
(p>0) – расстояние от начала координат до прямой.