Комплексные числа МАОУ лицей «Морской технический»,учитель математики Дементьева Т.А.

Комплексные числа
МАОУ лицей «Морской
технический»,учитель математики
Дементьева Т.А.
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Комплексные числа. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел.
Действительная и мнимая часть, модуль и
аргумент комплексного числа.
Алгебраическая и тригонометрическая формы
записи комплексных чисел. Арифметические
действия над комплексными числами в
разных формах записи. Комплексно
сопряженные числа. Возведение в
нат уральную ст епень (формула Муавра).
Основная т еорема алгебры.
Понятие комплексного
числа
Х+А=В - недостаточно положительных
Х+5=2
чисел
А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на
множестве рац.чисел
Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные
числа
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Действительные числа
Решение квадратных
уравнений
А · Х²+ В ·Х+ С =0
При D<0 действительных корней нет
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Действительные
числа
+
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
+
Действительные
числа
Комплексные числа
Вид комплексного
числа
Х²=-1
Х=i -корень уравнения
i- комплексное число, такое , что
i²=-1
А + В· i
ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО
ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ
А + В· i
А и В – действительные числа
i- некоторый символ , такой, что
i²= -1
А – действительная часть
В – мнимая часть
i – мнимая единица
Геометрическая
интерпретация комплексного
числа
Комплексно сопряженные
числа.
Z=А - В· i
СОПРЯЖЕННОЕ
Z= А + В· i
(Z) = Z
Модуль комплексного числа
Z = A + B i=
А В
2
2
Тригонометрическая форма
комплексного числа
Z =r
φ- аргумент аргумент
комплексного числа
Z=r cos φ + i Z sin φ =
= r (cos φ+ i sin φ)
Для Z=0 аргумент не
определяется
Т.к Z =r = А2  В 2
Z= А + В· i=
cos  
А2  В 2
A
A B
2
2
cosφ+i
sin  
B
tg 
A
А2  В 2
В
A2  B 2
sinφ
Сложение и умножение
комплексных чисел
Алгебраическая
форма
Сумма
(A+iB) + (C+iD)=
Геометрическая
форма
Произведение
(A+C)+(B+D)I
Произведение
Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
(A+iB) · (C+iD)=
Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
(AC-BD)+(AD+BC)i
Z1 ·Z2= r r2[cos( φ + φ )+isin ( φ + φ )]
1
1
2
1
2
Если Z 1= Z2, то получим
Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²=
r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)
Формула Муавра
Z  [r  (cos   i  sin  )] 
n
n
r  (cos n  i  sin n )
n
Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и
любого натурального числа n
Число Z называется корнем степени n из
n
n

числа ω (обозначается
), если Z   (*)
Из данного определения вытекает,
что
n
каждое решение уравнения Z  
является корнем степени n из числа ω.
Z= r (cos φ+ i sin φ)
ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)
r n  (cos n  i  sin n )   (cos  i  sin  )
r n   и n    2k , где k  Z
 2
или
r  n  ,  
k, k  Z
n
n
 2
 2
Z k   [cos(  k )  i  sin(  k )], k  Z
n n
n n
n
Вторая формула Муавра
Вторая формула Муавра определяет все
корни двучленного уравнения степени n
an Z n  an1Z n1  ...  a1Z 1  a0  0
где
an,..., a0  заданные копмплексн ые числа.
Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в
множестве комплексных чисел по крайне мере один корень
Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве
комплексных чисел ровно n-корней.
Пример:
Решить уравнение:
x 3  8
 8  8  (cos(  2k )  i  sin(   2k )),
x  r  (cos   i  sin  )
k Z
r 3  (cos 3  i  sin 3 )  8  (cos(  2k )  i  sin(   2k )),
тогда
3    2k
  2k

,
k Z
3
r3  8
r2
  2k
  2k
x  2  (cos
 i  sin
)),
k Z
3
3
k  0,1,2...
x1  2(cos

3

3
)  1 3 i
2
 2
)  i sin( 
))  2
3
3
3
3
 4
 4
x3  2(cos( 
)  i sin( 
))  1  3  i
3
3
3
3
x2  2(cos(

 i sin

k Z
Свойства сложения и
умножения
Переместительное свойство:
Z1 + Z2 = Z 1 +Z2
Z1 · Z 2 = Z 1 ·Z2
Сочетательное свойство:
(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1
+(Z2+Z3)
(Z1 · Z2 )
·
Z 3 = Z1
Распределительные свойство:
Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3
·(Z2 ·
Z3 )
Геометрическое изображение
суммы комплексных чисел
Вычитание и деление
комплексных чисел
Вычитание – операция, обратная сложению:
Z+ Z2 = Z1
Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )
Z= Z1 - Z2 –разность
Деление – операция, обратная умножению:
Z · Z2 = Z 1
Разделив обе части на Z получим:
2
Z1
Z 
Z2
Z2  0
Геометрическое изображение
разности комплексных чисел
Примеры:
Найти разность и частное комплексных
чисел Z1  4  5i и Z2  3  4i
Решение:
Z 2  Z1  (3  4i)  (4  5i)  1  i
Z 2 4  3  5  4 4  4  3  5 32 1

i
  i
Z1 16  25
16  25 41 41
Конец