Задачи и комментарии по теме «Теория потенциала»

Задачи и комментарии по теме «Теория потенциала»
.Лекция от 25 ноября 2015 г.
НОМЕР ФОРМУЛИРОВКА
ik x
 ik x
1
e
e
Проверить, что функции g ( x, k ) 
и g ( x, k ) 
4 x
4 x
являются фундаментальными решениями оператора
Гельмгольца L      k 2  в трехмерном пространстве.
2
3
4
5
6
7
КОММЕНТ
§ 6.5
 ik x
ik x
e
e
Проверить, что функции g ( x, k ) 
и g ( x, k ) 
4 x
4 x
удовлетворяют условиям излучения (при соответствующем
выборе знака в условии).
ik x
e
уходит в
4 x
бесконечность (рассеянная волна), а сферическая волна
 ik x
e
приходит из бесконечности (падающая волна).
g ( x, k ) 
4 x
Указание: вычислить соответствующие токи вероятности
i
j g   g g  g  g  и j g
2
С помощью определения свертки обобщенных функций получить
явную формулу в виде поверхностного интеграла первого рода по
ik x
e
границе области для потенциала простого слоя
  G
4 x
Показать, что сферическая волна g ( x, k ) 
(здесь  G обобщенная функция простого слоя )
С помощью определения свертки обобщенных функций получить
явную формулу в виде поверхностного интеграла первого рода по
границе области для потенциала двойного слоя
ik x
e
 

 

    G   (здесь     G   обобщенная функция
4 x  n
 n


двойного слоя)
Получить равенство:
  exp  ik x     exp  ik x   


1  ik x   cos x .
2

n 
x 
x 

Здесь  x - угол между векторами n и ( x   ) , n - внешняя
нормаль к поверхности G (границе области)
Вычислить асимптотику потенциала простого слоя для
уравнения Гельмгольца при x  
Ответ: V (0) ( x, k )
f (0) ( xˆ, k )
exp  ik x 
4 x
 1 
 O  2  . Здесь множитель
 x 


§ 7.10
(для оценок
отлично и
хорошо)
§ 7.10
(для оценок
отлично и
хорошо)
f (0) ( xˆ, k ) зависит только от направления xˆ 
f (0) ( xˆ, k ) 
x
и имеет вид:
x
  ( ) exp  ik ( xˆ, ) dS
G
8
Вычислить асимптотику потенциала двойного слоя для
уравнения Гельмгольца при x  
(1)
Ответ: V ( x, k )
f (1) ( xˆ, k )
exp  ik x 
4 x
 1 
O 2  .
 x 


Здесь множитель f (1) ( xˆ, k ) зависит только от направления xˆ 
x
x
и имеет вид:
f (1) ( xˆ, k )  ik   ( ) exp  ik ( xˆ, )  cos  x dS (при
G
вычислении асимптотики следует предварительно проделать
вычисления задачи 6)
В столбце КОММЕНТАРИИ указаны параграфы из учебника
Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М.: Наука, 1988
с которыми рекомендуется ознакомится при решении задачи.
Последняя задача (суперсупербонус) их темы "Высокочастотные асимптотики для
уравнения Гельмгольца в неоднороной среде": Показать, что условия
трансверсальности в точке пересечения экстремали функционала Ферма (луча) и
поверхности уровня функции поля (волнового фронта) являются условиями
ортогональности.