УДК 519.17 Шерстов Сергей Вадимович доц., к.ф.-м.н. Московский государственный горный университет

УДК 519.17
Шерстов Сергей Вадимович
доц., к.ф.-м.н.
Московский государственный горный университет
МЕТОД ВОЛН ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
ВОЗДЕЙСТВИЯ ИМПУЛЬСА ДАВЛЕНИЯ НА
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ
METHOD OF WAVES IN MATHEMATICAL MODELING IMPACT
PULSE PRESSURE PIEZOELECTRIC LAYER
Уравнения движения линейно-упругого тела в декартовой системе
координат OX1 X 2 X 3
Имеет вид [1]
 ij
x j

 2ui
t 2
(1)
где u (u1 , u2 , u3 ) - вектор смещений,  ij - компоненты тензора
напряжений,  - плотность среды. В рамках линейной теории
пьезоэлектричества
рассмотрим
динамическое
деформирование
пьезоэлектрического слоя, которое инициирует продольные плоские
электроупругие волны с вектором
смещений u (u1 , u2 , u3 )
u1  0, u2  0, u3  u3 ( x3 , t ) , напряженностью электрического поля
E
E1  0, E2  0, E3  E3 ( x3 , t ) и вектором электрической индукции D . Фазовая
плоскость волн параллельна свободной границе слоя ( плоскость OX 1 X 2 )
и распространяется вдоль оси X 3 - оси симметрии высшего порядка
пьезоэлектрика, которая перпендикулярна границе. Волны создаются
P (t ) , действующим на свободную границу и
импульсом давления
отражаются от другой границы, условия закрепления которой могут
изменяться для различных задач. Условия отсутствия поверхностно
распределенного заряда на границах и объемного заряда внутри пьезослоя
позволяют свести уравнение
div D  0
к
уравнению
D3
0 ,
x3
интегрирование которого дает D3  0 .
Уравнения состояния линейного пьезоэлектрического анизотропного
тела для определенного выше вида деформаций имеют вид [2]
99
 11  c13 33  e31 E3
  c   e E
23 33
32 3
 22
 33  c33 33  e33 E3

 23  c43 33  e34 E3
  c   e E
 13 53 33 35 3
 12  c63 33  e36 E3
 D1  e13 33  13 E3
D  e    E
23 33
23 3
 2
 D3  e33 33   33 E3
(2)
где  ij - компоненты тензора деформаций, eij - пьезоэлектрические
модули, cij - упругие постоянные,  ij - диэлектрические проницаемости.
Если выразить компоненты тензора деформаций через перемещения и
подставить (2) в (1) , то получим систему уравнений
  2u3
E3
0
 c53 2  e35

x

x
3
3

  2u
E
 c43 23  e34 3  0
x3
x3

  2u
2
 c33 23  e33 E3    u23
x3
t
 x3
(3).
Для кристаллов Ромбической, Тетрагональной, Тригональной,
Гексагональной и Кубической систем ( всего 23 класса симметрии ), и
пьезокерамики, поляризованной по оси OX 3 первые два уравнения (3)
выполняются тождественно, а третье, с учетом D3  0 , приводится к
волновому уравнению [4] :
с2
 2u3  2u3
 2 ,
x32
t
где c 
2
c33  e33
/  33s

(4) ,
с последующим вычислением напряженности электрического поля
E (0, 0, E3 ) по формуле :
E3  
e33 u3
 33s x3
(5) .
Начальные условия для функции u3 ( x3 , t ) :
u3 ( x3 , 0)  0

u3 ( x3 , 0)
0

t

(6) .
Решение уравнения
(4) со смещениями границ пьезослоя –
u3 (0, t )  1 (t ); u3 (l , t )  2 (t )
( l - толщина слоя ) строится на основании
интеграла Даламбера в виде сумм бегущих и отраженных волн [3]:

u3   1 (t 
n 0
где t *  t 



2nl x3
2nl x3
(2n  1)l x3
(2n  1)l x3
 )   1 (t 
 )   2 (t * 
 )   2 (t * 
 )
c
c
c
c
c
c
c
c
n 1
n 0
n 0
l
, а 1 (t )  0, при t  0 ;
c
2 (t * )  0 при t  0 .
100
В случае жесткого закрепления границы пьезоэлектрического слоя,
на который не действует импульс давления, в полученной формуле
необходимо положить 2 (t )  0 .
Для определенности будем считать что граница x3  l упруго
закреплена с коэффициентом жесткости K :
(7) ,
 33 (l , t )   K  u3 (l , t )
а на другую действует импульс давления
(8) .
 33 (0, t )  P(t )
Реализация граничных условий (7) , (8) для нормальных напряжений
 33 ( x, t ) :
 33 ( x, t )   c 2
u3
x3
приводит к системе двух дифференциально-разностных уравнений
(9) 1-го порядка относительно функций 1,  2 :
   (t )  2( s  s )  P(t ) /  c
1
2
 1
 2 (t )  2( s2  s1 )  2 1 (t )  K  2 (t ) /  c
где

s2   1 (t 
n 0
(9)

2(n  1)l
2(n  1)l
); s1   2 (t 
);
c
c
n 0
которая может быть решена численно методом Рунге-Кутта .
Напряженно-деформированное
состояние
пьезоэлектрика
и
напряженность электрического поля получается линейной интерполяцией
накопленных массивов 1 ,  2.
Предложенная методика расчета напряженно-деформированного и
электрического состояния пьезоэлектрического слоя может быть
использована для любого из 23 классов
симметрии пьезоэлектрических кристаллов. Если для какого-либо
класса e33  0 ,то пьезоэлектрическая связь не проявляется, и
соответствующая
напряженность электрического поля равна нулю.
Эффективность предложенного численного метода связана с тем, что
удается свести численное интегрирование волнового уравнения с двумя
независимыми переменными (т.е. уравнения с частными производными ) к
интегрирования системы обыкновенных дифференциально-разностных
уравнений.
На рис. 1 предоставлены результаты расчета разности потенциалов в
пьезоэлектрическом слое на основе пьезокерамики титанат-цирконата
свинца PZT-4 .
Расчетная толщина всего пьезоэлектрического слоя 10 мм., импульс
давления имеет форму полуволны синусоиды с базой 10 мкс. и амплитудой
4 МПа. Жесткость упругого поджатия K равна 8.65 107 Н / м3 . Расчет
произведен во временном интервале от 0 до 10 мкс.
101
во л ьт
PZT 4
300
250
200
150
100
50
6
2
4
6
8
10
T 10 сек
Рис. 1. Электрическое напряжение.
Литература.
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. – М: Издательство
Московского университета, 1971.
2. Физическая акустика. п/р У. Мэзона, том 1, часть А. – М.: Мир,
1966.
3. Шестаков А.А., Потапов В.С., Постников В.Д., Шерстов С.В.,
Короткина М.Р. Удар конструкции о преграду при больших скоростях. / В
кн.:
Современные вопросы физики и приложения: Всесоюзная
конференция (Москва, 15-17 апреля 1984). – М.: Изд-во АН СССР, 1984. –
С. 56.
4. Шерстов С.В. Математическое моделирование воздействия
импульса давления на пьезоэлектрический слой лежащий на упругом
основании. / В кн.: Измерения, автоматизация и моделирование в
промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник. –
Бийск: Изд-во Алт.гос.техн.ун-та, 2003. – С. 54-56.
Аннотация.
В рамках линейной теории пьезоэлектричества предложена
математическая
модель
динамического
деформирования
пьезоэлектрического
слоя,
основанная
на
методе
плоских
распространяющихся волн.
102
The article is devoted to the propagation of a normal plain waves in a
piezoelectric layer, based on the propagating waves theory. The mathematical
method for mechanical and electric fields calculation have been offered.
Ключевые слова.
математическая модель, слои, импульс давления, параметры модели,
волновое уравнение
mathematical model, the layers, the pressure pulse, the parameters of the
model, the wave equation
103