Лекция 6. Расчет потенциалов простейших электростатических полей 6.1. Уравнения Лапласа и Пуассона

Лекция 6. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
6.1. Уравнения Лапласа и Пуассона
6.2. Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
6.3. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
6.1. Уравнения Лапласа и
Часто предпочтительнымПуассона
методом нахождения Е является
сведение задачи к решению дифференциального уравнения для
потенциала.
Теорема Гаусса:   E  ρ ε 0 и E  - следовательно
 2  - ρ ε 0  2 - оператор Лапласа (лапласиан)
div grad        2    


  2x   2y   2z  
 2
x
2

 2
y
2

 2
z 2
 2   ρ ε 0 - уравнение Пуассона
В области пространства, где заряды отсутствуют =0
 0
2
- уравнение Лапласа
Рассмотрим несколько примеров вычисления
разности потенциалов между точками поля,
созданного некоторыми заряженными телами
6.2. Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
Направление силовой линии (линии напряженности)
в каждой точке

совпадает с направлением
. E
Отсюда следует, что напряженность равна разности
потенциалов U на единицу длины силовой линии.
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение
потенциала. Поэтому всегда можно определить
между двумя точками, измеряя U между ними, причем
тем точнее, чем ближе точки.
В однородном электрическом поле силовые линии – прямые.
Поэтому здесь определить E наиболее просто:
(5.6.1)
φ
U
E 
l
Воображаемая поверхность, все точки которой
имеют одинаковый потенциал, называется
эквипотенциальной поверхностью.
Уравнение этой поверхности
(6.6.2)
φ  φ( x, y, z )  const.
Линии напряженности и эквипотенциальные
поверхности взаимно перпендикулярны

Формула E  grad φ
выражает связь
потенциала с напряженностью и позволяет по
известным значениям φ найти напряженность
поля в каждой точке.
Можно решить и обратную
 задачу, т.е. по
известным значениям E в каждой точке поля
найти разность потенциалов между двумя
произвольными точками поля.
 
φ1  φ 2   (E, d l ).
2
1
 
φ1  φ 2   (E, d l ).
2
1
Интеграл можно брать по любой линии,
соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил
поля не зависит от пути.
Для обхода по замкнутому контуру φ1  φ 2получим:
т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции
вектора напряженности: циркуляция вектора
напряженности электростатического поля
вдоль любого замкнутого
  контура равна нулю.
(
E
,
d
l
)

0
,

Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.
• Из обращения в нуль циркуляции вектора
следует, что линии электростатического
поля не могут быть замкнутыми: они
начинаются на положительных зарядах
(истоки) и на отрицательных зарядах
заканчиваются (стоки) или уходят в
бесконечность
6.3. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
6.3.1.Разность потенциалов между точками поля,
образованного двумя бесконечными заряженными
плоскостями
Рис. 6.1,а
Мы показали, что напряженность связана с
потенциалом
dφ
d
φ


Ed
l
тогда
E
,
(6.1.1)
dl
σ
E
где
ε0
– напряженность
электростатического поля между заряженными
плоскостями
σ = q/S – поверхностная плотность заряда.
Чтобы получить выражение для потенциала
между плоскостями, проинтегрируем
выражение dφ   Edl
2
x2
σ
 dφ   ε 0  dx;
1
x1
При x1 = 0
σ
φ 2  φ1  x2  x1 
ε0
σd
и x2 = d
φ 2  φ1 
ε0
(6.1.2)
На рисунке 6.1,б изображена зависимость
напряженности E и потенциала φ от
расстояния между плоскостями.
σd
φ 2  φ1 
ε0
Рис. 6.1,б
6. 3.2. Разность потенциалов между
точками поля, образованного бесконечно
длинной цилиндрической
поверхностью
С помощью теоремы Остроградского-Гаусса
мы показали, что


0

внутри
цилиндра,
т.к.
там
нет
зарядов

 λ
q
E
или
на поверхности цилиндра
2πε0 Rl
 2πε0 R
 λ
q
или
вне цилиндра.

2πε0 rl
 2πε0 r
Тогда, т.к.
dφ   Edr;
2
λ
 dφ   2 πε 0
1
r2

r1
dr
r
отсюда следует, что разность потенциалов в
произвольных точках 1 и 2 будет равна:

r2
q
r2
 2  1  
ln  
ln .
20 r1
20l r1
1
 
 2 ln R  const  внутри и на поверхности
0


   цилиндра
 
r

ln
 вне цилиндра.

 20 R
1
 
 2 ln R  const  внутри и на
0


  поверхности цилиндра
 
r

ln
 вне цилиндра.

 20 R
Рис. 6.2
6.3.3. Разность потенциалов между обкладками
цилиндрического конденсатора
Рис. 6.3
0  внутри меньшего
 и вне большего цилиндров зарядов нет

E 
 2 r  между цилиндрами ,
0

когда R1  r  R2 .
Т.к.
dφ   Edr
, то
λ
r2
φ 2  φ1  
ln
2πε0 r1
R2
 
 2 ln R  const  внутри меньшего
0
1

 цилиндра ( r  R1 )
 
  ln r  между цилиндрами ( R  r  R )
1
2
 20 R1

0  вне цилиндров.
Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем,
Е = 0, φ = const;
между обкладками потенциал уменьшается по
логарифмическому закону, вторая обкладка (вне
цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е
равны нулю.
Рис. 6.4
6. 3.4. Разность потенциалов между точками поля,
образованного заряженной сферой (пустотелой)
Напряженность поля сферы определяется
формулой
q
E (r ) 
2
4 πε 0 r
Рис. 6.5
dφ   Edr
• А т.к.
, то
q dr q  1  r2 q  1 1 


1  2  




,


2


40 r 40  r  r1 40  r1 r2 
r1
r2
q
т.е.  
.
40 r
Рис. 6.6
• Из полученных соотношений можно
сделать следующие выводы:
• С помощью теоремы Гаусса
сравнительно просто можно
рассчитать Е и φ от различных
заряженных поверхностей.
• Напряженность поля в вакууме
изменяется скачком при переходе
через заряженную поверхность.
• Потенциал поля – всегда непрерывная
функция координат.
Лекция 7
Тема:
ДИЭЛЕКТРИКИ
В
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ
ПОЛЕ
Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г.
7.1. Поляризация диэлектриков;
7.2. Различные виды диэлектриков:
7.2.1. Сегнетоэлектрики;
7.2.2. Пьезоэлектрики;
7.2.3. Пироэлектрики;

7.3. Вектор электрического смещения D .
7.4. Поток вектора электрического смещения.

Теорема Гаусса для вектора D .

7.5. Изменение E и D на границе раздела
двух диэлектриков.
До сих пор мы рассматривали
электростатические
поля
и
взаимодействие зарядов в вакууме. Как
ведут себя заряды в среде? Что
происходит
с
веществом
в
электростатическом поле?
Электрический диполь.
р = ql - электрический дипольный момент.
2q1r1 sin 
p
E  2 E1 sin  

3
3
40 r
40 r1
E
p
40 r
3
25
Диполь во внешнем поле
F  qE и F-  qE
M  qE  l sin   pE sin 
M  pE 
Электрическое поле стремится повернуть ось диполя так, чтобы его
электрический момент р установился по направлению поля. Положение
равновесия, когда векторы p и E параллельны, устойчиво.
Энергия диполя во
W  q     q     q     
внешнем поле
  l   E l

W   pE
   
l;
       El l
l
2
6
4.1. Поляризация диэлектриков
• Все известные в природе вещества, в
соответствии с их способностью проводить
электрический ток, делятся на
три основных класса:
• диэлектрики
• полупроводники
• проводники
ρд  ρп/п  ρпр .
6
8
ρ пр  10  10 Ом/м
• В идеальном диэлектрике
свободных зарядов, то есть
способных перемещаться на
значительные расстояния
(превосходящие расстояния между
атомами), нет.
• Но это не значит, что диэлектрик,
помещенный в электростатическое
поле, не реагирует на него, что в нем
ничего не происходит.
• Смещение электрических
зарядов вещества под
действием электрического поля
называется поляризацией.
• Способность к поляризации
является основным свойством
диэлектриков.
Поляризуемость диэлектрика включает
составляющие – электронную, ионную и
ориентационную (дипольную).
• Главное в поляризации – смещение
зарядов в электростатическом поле.
В результате, каждая молекула или
атом образует электрический момент
Р
• Внутри диэлектрика электрические заряды
диполей компенсируют друг друга. Но на
внешних поверхностях диэлектрика,
прилегающих к электродам, появляются
заряды противоположного знака
(поверхностно связанные заряды).
• Обозначим E'– электростатическое
поле связанных зарядов. Оно направлено
всегда против внешнего поля E 0
• Следовательно, результирующее
электростатическое поле внутри
диэлектрика
E  E  E '.
0
• Поместим диэлектрик в виде
 параллелепипеда в
электростатическое поле E
0
• Электрический момент тела, можно найти по формуле:
•
•
– поверхностная плотность связанных зарядов.
σ'



P  q l  σ' S l , или P  σ' Slcosφ,
• Введем новое понятие – вектор
поляризации – электрический
момент единичного объема.
n 


•
(4.1.4)
P   P1k nP1 ,
k
• где n – концентрация молекул в единице
объема,

• P – электрический момент одной
1
молекулы.
• С учетом этого обстоятельства,
•
P  PV  PSl cos φ (4.1.5)
• (т.к.
V  Sl cosφ – объем
параллелепипеда).
• Приравняем (4.1.3.) и (4.1.5) и 
учтем, что
– проекция P на направление n –
вектора нормали,
• тогда
P cos φ  Pn
σ'  P n
σ'  P n
• Поверхностная плотность
поляризационных зарядов равна
нормальной составляющей вектора
поляризации в данной точке поверхности.
• Отсюда следует, что индуцированное в
диэлектрике электростатическое поле
E' будет влиять только на нормальную
составляющую вектора напряженности

электростатического поля E .
• Вектор поляризации можно представить
так:




• P  nP  nαε E  χε E, (4.1.7)
1
α
0
0
• где
– поляризуемость молекул,
χ  nα – диэлектрическая
•
восприимчивость – макроскопическая
безразмерная величина, характеризующая
поляризацию единицы объема.

Следовательно, и у результирующего
поля E

изменяется, по сравнению с E 0 ,только
•
•
•
•
нормальная составляющая.
Тангенциальная составляющая поля
остается без изменения.
В векторной форме результирующее поле
можно представить
  так:
(4.1.8)
E  E0  E'.
Результирующая электростатического
поля в диэлектрике равно внешнему полю,
деленному на диэлектрическую
E0
проницаемость среды ε:
E 
.
ε (4.1.9)
• Величина ε  1  χ характеризует
электрические свойства диэлектрика.
• Физический смысл диэлектрической
проницаемости среды ε – величина,
показывающая во сколько раз
электростатическое поле внутри
диэлектрика меньше, чем в вакууме:
E0
•
(4.1.10)
ε
E
.
• График зависимости напряженности
электростатического поля шара от радиуса,
с учетом диэлектрической проницаемости
двух сред ( ε1 и ε 2 ), показан на рисунке
• Как видно из рисунка, напряженность поля
изменяется скачком при переходе из одной
среды в другую .
4.2. Различные виды диэлектриков
• В 1920 г. была открыта спонтанная
(самопроизвольная) поляризация.
• Всю группу веществ, назвали
сегнетоэлектрики (или ферроэлектрики).
• Все сегнетоэлектрики обнаруживают резкую
анизотропию свойств (сегнетоэлектрические
свойства могут наблюдаться только вдоль
одной из осей кристалла). У изотропных
диэлектриков поляризация всех молекул
одинакова, у анизотропных – поляризация, и
следовательно, вектор поляризации в
разных направлениях разные.
• Рассмотрим основные свойства
сегнетоэлектриков:
• 1. Диэлектрическая проницаемость ε в
некотором температурном интервале
велика( ε ~ 103  10 4 ).
• 2. Значение ε зависит не только от внешнего
поля E0, но и от предыстории образца.
• 3. Диэлектрическая проницаемость ε (а
следовательно, и Р ) – нелинейно зависит от
напряженности внешнего
электростатического поля (нелинейные
диэлектрики).
• Это свойство называется диэлектрическим
гистерезисом
• Здесь точка а – состояние насыщения.
• 4. Наличие точки Кюри – температуры,
при которой (и выше)
сегнетоэлектрические свойства
пропадают. При этой температуре
происходит фазовый переход 2-го рода.
Например,
• титанат бария: 133º С;
• сегнетова соль: – 18 + 24º С;
• ниобат лития 1210º С.
• Стремление к минимальной
потенциальной энергии и наличие
дефектов структуры приводит к тому, что
сегнетоэлектрик разбит на домены
• Среди диэлектриков есть
вещества, называемые
электреты – диэлектрики,
длительно сохраняющие
поляризованное состояние после
снятия внешнего
электростатического поля
(аналоги постоянных магнитов).
Пьезоэлектрики
Некоторые диэлектрики поляризуются
не только под действием электрического
поля, но и под действием механической
деформации. Это явление называется
пьезоэлектрическим эффектом.
• Явление открыто братьями Пьером и
Жаком Кюри в 1880 году.
• Если на грани кристалла наложить
металлические электроды (обкладки) то
при деформации кристалла на обкладках
возникнет разность потенциалов.
• Если замкнуть обкладки, то потечет
ток.
Рис. 4.7
Возможен и обратный пьезоэлектрический эффект:
• Возникновение поляризации сопровождается
механическими деформациями.
• Если на пьезоэлектрический кристалл подать
напряжение, то возникнут механические деформации
кристалла, причем, деформации будут пропорциональны
приложенному электрическому полю Е .
•Сейчас известно более 1800
пьезокристаллов.
•Все сегнетоэлектрики обладают
пьезоэлектрическими свойствами
• Используются в пьезоэлектрических
адаптерах и других устройствах).
4.2.3. Пироэлектрики
Пироэлектричество – появление
электрических зарядов на поверхности
некоторых кристаллов при их
нагревании или охлаждении.
• При нагревании один конец
диэлектрика заряжается положительно, а
при охлаждении он же – отрицательно.
• Появление зарядов связано с
изменением существующей поляризации
при изменении температуры кристаллов.
Все пироэлектрики являются
пьезоэлектриками, но не наоборот.
Некоторые пироэлектрики обладают
сегнетоэлектрическими свойствами.
В качестве примеров использования
различных диэлектриков можно привести:
сегнетоэлектрики – электрические
конденсаторы, ограничители предельно
допустимого тока, позисторы, запоминающие
устройства;
пьезоэлектрики – генераторы ВЧ и
пошаговые моторы, микрофоны, наушники,
датчики давления, частотные фильтры,
пьезоэлектрические адаптеры;
пироэлектрики – позисторы, детекторы ИКизлучения, болометры (датчики
инфракрасного излучения),
электрооптические модуляторы.
4.3. Вектор электрического

смещения D
Имеем границу раздела двух сред с ε1 и ε2,
так что, ε1 < ε2 (рис. 4.8).
E1 ε 2

E2 ε1
или
ε2
E1  E2
ε1
Напряженность
электрического поля E
изменяется скачком при
переходе из одной среды в
другую.
Рис. 4.8
• Главная задача электростатики –

расчет электрических полей, то есть E
в различных электрических аппаратах,
кабелях, конденсаторах,….
• Эти расчеты сами по себе не просты
да еще наличие разного сорта
диэлектриков и проводников еще
более усложняют задачу.
• Для упрощения расчетов была введена
новая векторная величина – вектор
электрического смещения
(электрическая индукция).


D  ε0 εE
(4.3.1)
• Из предыдущих рассуждений E1ε1 = ε2E2
тогда ε0ε1E1 = ε0ε2E2 отсюда и
Dn1 = Dn2.
Dn1 = Dn2.

Таким образом, вектор D
остается неизменным
при переходе из одной
среды в другую и это

облегчает расчет D .
Зная

D и ε, легко рассчитывать

 D
E
.
ε 0ε





D  εε 0 E  (1  χ )ε 0 E  ε 0 E  χε 0 E
отсюда можно записать:
где
χ

P

 
D  ε 0E  P,
–
(4.3.3)
вектор поляризации,
– диэлектрическая восприимчивость
среды, характеризующая поляризацию
единичного объема среды.
• Для точечного заряда в вакууме

D
q
D
.
2
4 πr
• Для
имеет место принцип

суперпозиции, как и для E , т.е.
 n 
D   Dk .
k 1
4.4. Поток вектора электрического
смещения.
Теорема Остроградского-Гаусса
для

вектора D
Пусть произвольную площадку S пересекают
линии

вектора электрического смещения D под углом α
к нормали:
В однородном электростатическом
поле

поток вектора D
равен:
ФD  DS cos α  Dn S .
Теорему Остроградского-Гаусса для
вектора D получим из теоремы
Остроградского-Гаусса для вектора E :
•
ФE  
S
qk

E dS 
n
ε 0ε
qk
1

Dn dS 

ε 0ε s
ε 0ε
Dn
En 
ε 0ε

D
• Теорема Остроградского-Гаусса для
(4.4.1)
ФD 
 Dn dS
S

 qk .

D
• Поток вектора
через любую замкнутую
поверхность определяется только
свободными зарядами, а не всеми
зарядами внутри объема, ограниченного
данной поверхностью.
• Это позволяет не рассматривать связанные

(поляризованные) заряды, влияющие на E и
упрощает решение многих задач.
• В этом смысл введения вектора

D
.


4.5. Изменение E и D на границе
раздела двух диэлектриков
• Рассмотрим простой случай (рисунок 4.12): два бесконечно протяженных
диэлектрика с ε1 и ε2, имеющих общую границу раздела, пронизывает
внешнее электростатическое поле .
• Пусть ε 2  ε1.
• Из п. 4.3 мы знаем, что
E1τ  E2 τ
E1n ε 2

E2 n ε1
и
• Образовавшиеся поверхностные заряды
изменяют только нормальную составляющую
а тангенциальная составляющая остается
постоянной, в результате направление вектора
изменяется:

E

E
• То есть направление вектора E
изменяется: tg α
E E
E
1
tg α 2

2 τ 1n
E2 n E1τ

1n
E2 n
ε2
 ,
ε1
tg α1 ε 2
 ,
tg α 2 ε1
• Это закон преломления вектора
напряженности
электростатического поля.
• Рассмотрим изменение вектора D и его
проекций Dn и Dτ
• Т.к. D  ε 0 εE , то имеем:
•
D1n  ε1ε 0 E1n
D2 n  ε 2ε 0 E2 n
•
D1n
ε1ε 0 E1n
ε 0 ε1ε 2


1
D2 n
ε 2 ε 0 E2 n
ε 0 ε 2 ε1
• т.е. D1n  D2 n – нормальная составляющая
вектора не изменяется.
D1τ
ε1ε 0 E1τ
ε1
•


;
D2 τ
ε 2 ε 0 E2 τ
ε2
D2 τ  D1τ
ε2
ε1
• т.е. тангенциальная составляющая вектора
увеличивается в ε 2 раз
ε
tg α1 D2 τ D 1n D2 τ ε 2



tg α 2 D2n D1τ D1τ ε1
tg α1 ε 2

tg α 2 ε1
• закон преломления вектора D .
• Объединим рисунки 4.12 и 4.13 и
проиллюстрируем закон преломления для
векторов E и D :
tg α1 ε 2
tg α 2

ε1
• Как видно из рисунка, при переходе из одной

диэлектрической среды
 в другую вектор D – преломляется
на тот же угол, что и E


D  εε 0 E
• Входя в диэлектрик с большей
диэлектрической


проницаемостью, линии D и E удаляются от нормали.
Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г.
Лекция окончена.
До свидания!
УРА! УРА! УРА!
Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г.
Лекция окончена.
До свидания!