Стоимость денег во времени

Стоимость денег во времени
СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ
1. Процентная ставка, простые и
сложные проценты, будущая и
современная стоимость денег
2. Начисление сложных процентов
несколько раз в течение года
3. Амортизация займа и график
амортизации
4. Учет инфляционного обесценения
денег в принятии финансовых
решений
Стоимость денег во времени
Простые проценты (simple interest) - это
проценты, которые выплачиваются
лишь на исходную, или основную
сумму долга.
Денежное выражение простых
процентов является функцией трех
переменных:
• исходной суммы (principal);
• процентной ставки за один период
времени (i);
• количества периодов времени (n).
Стоимость денег во времени
•
Формула для начисления простых
процентов имеет следующий вид:
SI = P0 (i)(n)
•
•
•
•
(3.1)
SI - простые проценты в денежном
выражении,
P0 - исходная сумма в первоначальный
момент времени (точка 0 в начале первого
периода),
i - процентная ставка за один период
времени,
n - количество периодов времени.
Стоимость денег во времени
Вы открываете сберегательный вклад на $100,
предполагающий выплату простых
процентов в размере 8%, и храните эти
деньги в течение 10 лет. В конце периода
сумма накопленных процентов составит
$80 = $100(0, 08) (10)
Чтобы определить будущую стоимость
(конечную стоимость) суммы на этом счете
на конец десятилетнего периода (FV10), мы
добавляем проценты, заработанные только
на основную сумму, к инвестированной
исходной сумме.
Стоимость денег во времени
•
Будущая стоимость
(конечная стоимость) (future
value, terminal value)
Стоимость имеющейся в
настоящее время суммы денег
(или последовательности
платежей) в какой-то момент
времени в будущем,
оцениваемая с учетом заданной
процентной ставки.
Стоимость денег во времени
Таким образом,
FV10 = $100 + [$100(0, 08)(10)] =$180
• Для любых простых процентов
будущая стоимость суммы на
счете в конце n периодов
определяется по формуле
FVn = Р0 + SI = Р0 + Р0(i)(n)
или, то же самое
FVn = Р0 [1 + (i)(n)]
(3.2)
Стоимость денег во времени
Иногда нам приходится
двигаться в обратном
направлении. Иными словами,
нам известна будущая стоимость
вклада при i процентах на n лет,
но нам неизвестна
первоначально инвестированная
основная сумма — приведенная
(текущая, современная)
стоимость суммы на счете
(PV0= P0).
Стоимость денег во времени
• Приведенная (современная) стоимость
(present value)
Текущая стоимость какойлибо будущей суммы денег
или последовательности
предстоящих платежей,
оцениваемая по заданной
процентной ставке.
Стоимость денег во времени
В этом случае, — необходимо
по-другому представить
уравнение (3.2)
PV0= P0 = FVn / [1 + (i)(n)]
(3.3)
Стоимость денег во времени
• Концепция сложных процентов
(compound interest)
В
результате
действия
сложных
процентов проценты зарабатываются
на
проценты,
а
также
на
первоначальную
основную
сумму.
Именно эффект этих «процентов на
проценты» определяет колоссальную
разницу между простыми и сложными
процентами.
Стоимость денег во времени
Таблица 3.1.
Будущая стоимость инвестированного $1 для
различных периодов времени, если годовая
процентная ставка равняется 8%
Годы
При
использовании
простых
процентов, $
При
использовании
сложных
процентов, $
2
1,16
1,17
20
2,60
4,66
200
17,00
4 838 949,59
Стоимость денег во времени
• При использовании сложных
годовых процентов, составляющих
8%, начальная сумма вклада (скажем
$100) вырастет к концу первого года
до $108. По окончании второго года
$108 превратятся уже в $116,64,
поскольку $8 в виде процентов
начисляются на первоначальные
$100, а $0,64 начисляются на $8,
поступивших на счет к концу первого
года.
• Таким образом, будущая стоимость в
конце второго года составит:
• FV2=FV1 (1+i)=P0(1+i)(1+i)=
P0(1+i)2=$108(1,08)= $100(1,08)(1,08)=
$100(1,08)2=$116,64
• По окончании трех лет на нашем счете
окажется сумма
• FV3=FV2(1+i)= FV1 (1+i)(1+i)=
P0(1+i)3=$116,64(1,08)= $108(1,08)(1,08)=
$100(1,08)3=$125,97
FV(future value) - будущая стоимость суммы
долга.
• В общем случае FVn, будущая (сложная)
стоимость вклада в конце n периодов
окажется
• FVn= P0 (1+i)n
(3.4)
• или
• FVn= P0 (FVIFi,n)
(3.5)
• Где мы полагаем FVIFi,n, т.е.
коэффициент будущей стоимости при
i% для п периодов, равным (1+i)n.
• В задачах о приведенной стоимости
процентную ставку иногда называют
ставкой дисконтирования (дисконта)
(или ставкой капитализации).
• Ставка дисконтирования (или ставка
капитализации) (discount rate,
capitalization rate) - Процентная
ставка, используемая для
преобразования (приведения)
будущей стоимости в
приведенную стоимость.
• Определения приведенной
стоимости - действие, обратное
начислению сложных процентов.
• Таким образом, нам нужно сначала
вернуться к уравнению (3.4).
FVn= P0 (1+i)n
• Решим это уравнение
относительно приведенной
стоимости.
PV0= P0 =FVn/(1+i)n= FVn [1/(1+i)n ]
(3.6)
Хотите удвоить свои сбережения? «Правило 72»
подскажет, как этого добиться
• Некий дальновидный коммерсант купил участок
земли за $10 млн., а через 5 лет продал — за $20 млн.
Короче говоря, он удвоил свои сбережения. Чему
равнялась ставка доходности его инвестиций,
рассчитанная по методу сложных процентов?
Быстрый способ решения задач со сложными
процентами, касающихся удвоения капитала,
основывается на так называемом "Правиле 72".
• Это правило гласит: если 72 разделить на количество
лет, n в течение которых деньги будут находиться на
депозите, то мы получим приблизительное значение
процентной ставки, i, которое требуется для того, чтобы
величина ваших сбережений удвоилась. В случае Вика
это правило дает следующий результат:
• 72/n = i или 72/5 = 14,4
2. Полугодичный и другие периоды
начисления сложных процентов.
Будущая стоимость.
До сих пор мы предполагали, что
проценты выплачиваются ежегодно.
Такое предположение существенно
облегчает понимание основ изменения
стоимости денег во времени. Сейчас,
однако, настало время рассмотреть
взаимосвязь между будущей стоимостью
и процентными ставками для различных
периодов начисления процентов.
• Для начала предположим, что
проценты по вкладу
выплачиваются раз в полгода. В
этом случае, если вы помещаете
$100 на сберегательный счет при
номинальной (nominal) (или
объявленной (stated)) годовой
процентной ставке, равной 8%,
будущая стоимость по истечении
шести месяцев составит
FV0,5=$100( 1 + [0,08/2]) =$104
• Иными словами, в конце
полугодия вам должны
начислить 4%, а не 8%. В конце
года будущая стоимость
вашего вклада составит
•
• FV1=$100( 1 + [0,08/2])2 =$108,16
Эта сумма равнялась бы $108, если
бы процент выплачивался лишь
раз в году. Разница $0,16
объясняется тем, что проценты за
вторые шесть месяцев
начисляются на дополнительные
$4, начисленные в конце первых
шести месяцев. Чем большее
число раз на протяжении года
начисляются проценты, тем
большей оказывается будущая
стоимость в конце данного года.
• Универсальная формула для
определения будущей стоимости по
истечении п лет, когда процент
начисляется т раз на протяжении
одного года, имеет следующий вид:
•
FVn = PV0 (1 + [i / m])mn
(3.17)
• Чтобы проиллюстрировать использование этой
формулы, допустим, что новые проценты
выплачиваются поквартально. Допустим также,
что вы хотите знать будущую стоимость $100 в
конце одного года, когда объявленная годовая
ставка равняется 8%. В этом случае будущая
стоимость равняется
• FV1=$100(1 + [0,08/4])(4)(1) = $100(1 + 0, 02)4 =
$108,24
•
• что, конечно же, больше, чем мы получили бы
при использовании полугодичного или
ежегодного начисления сложных процентов.
• Будущая стоимость по истечении трех лет в
случае поквартального начисления сложных
процентов составит:
• FV3=$100(1 + [0,08/4])(4)(3) = $100(1 + 0, 02)12 =
$126,82
• а в случае полугодичного начисления сложных
процентов:
• FV3=$100(1 + [0,08/2])(2)(3) = $100(1 + 0, 04)6 =
$126,53.
• В случае ежегодного начисления сложных
процентов будущая стоимость по истечении трех
лет составит:
• FV3=$100(1 + [0,08/1])(1)(3) = $100( 1 +
0,08)3=$125,97