Геометрическая прогрессия Формула n-го члена Урок1 Цель урока : -усвоить понятие геометрической прогрессии; - вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии; -применять на практике полученные знания. Задание для групповой работы 1.Вставьте пропущенное число: I группа: 1) 18, 21, 24, 27? 2) 2,?, 6,… 3) 1, 3, 9, 27,? II группа : 1) 7, 10, 13, 16? 2) 9,?, 21,… 3) 5, 10, 20, 40,? III группа : 1) 4, 9, 14, 19? 2) 3,?, 13,… 3) 2, 6, 12, 24? 2. Объясните, какой прогрессией является каждый пример? Определение геометрической прогрессии Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (bn ), заданная рекуррентно соотношениями b1 b, bn bn 1 q, n 2,3,4,... где b и q – заданные числа, b1 0, q 0. , Определение геометрической прогрессии Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно (т.е.),то перед вами— геометрическая прогрессия. b2 : b1 b3 : b2 b4 : b3 ... Пример1. 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой b1= 1, q = 3. 3, 3 3 3 3 , , , ,... . 2 4 8 16 Пример2. 1 Это геометрическая прогрессия, у которой b1= 3, q = 2. Bиды геометрической прогрессии Геометрическая прогрессия является : -возрастающей последовательностью, если b1>0,q>l, -убывающей последовательностью, е сли b1>0,0<q<l. Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за bn, то получится конечная геометрическая прогрессия Определим вид прогрессий рассмотренных ранее в примерах Пример1. 1, 3, 9, 27, 81,... . Пример2. 3, возрастающая убывающая 3 3 3 3 возрастающая , , , ,... . убывающая 2 4 8 16 Формула п-го члена геометрической прогрессии Рассмотрим геометрическую прогрессию 2; 6; 18, 54, ... со знаменателем q=3. 6 23 b2 b1 q 18 6 3 2 3 3 2 32 b3 b2 q b1 q q b1 q 2 54 18 3 2 32 3 2 33 .......................................... b4 b3 q b1 q 2 q b1 q 3 ............................................ b7 b6 q b1 q 6 bn bn 1 q b1 q n 1 bn bn 1 q b1 q n 1 Между числами 1 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Решение: 1.Составление математической модели. 1) b1 , b2 , b3 , b4 , b5 - геометрическая прогрессия; 2) 1, b2 , b3 , b4 ,81. 2.Работа с составленной математической моделью. Воспользовавшись формулой n-го члена , имеем b5 b1q 4 , q 4 b5 , q 4 81, q 3. Теперь можем записать b1 геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1,3,9,27,81 или 1,-3,9,-27,81. 3. Ответ на вопрос задачи. Между числами 1 и 81 требуется вставьте три числа, чтобы они вместе с данными числами образовалась геометрическая прогрессия. Это 3,9,27 или -3,9,-27. Задачник 1 .Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи: I группа: II группа: a)(Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? б)(Экономика)Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%.Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? III группа: в)(Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? Задачник 2. Какие из приведенных ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями и почему? а) 3, 9, 27, 81, 243, ... ; 6)3,6,9,12,15,...; 3. в) xn 4n 3; г) xn 3 . n 2 Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие — убывающими? а) 3,9, 27, ... ; 1 4 , 1 , ,...; в) 4 б)-2, 8,-32, ... ; г) 3 2 3 ,1, ,... . 2 3 Задачник 4.Найдите указанный член геометрической прогрессии (bn) по заданным условиям: 1 а) b1 2, q 1 , b4 ? 2 1 2 б) b1 5 5 , q 5 , b4 ? 5. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии (bn), если: а) b3 12, b5 48 ( q 0); б) b2 24, b5 81; 6. Между числами 2 и 162 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Задачник (дополнительные задачи) 7. Дана конечная геометрическая прогрессия (bn). Найдите п, если известны b1, q, bn : a) 1 1 1 b1 , q , bn ; 3 3 729 1 б) b1 2,5, q , bn 4 10 3. 5 8. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии (bn), если: 1 13 б) b7 192, b5 48 (q 0); г) b3 3 , b5 . 4 24 9.Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 90%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800р.? Домашнее задание 1.§8 п.18 (Алгебра 9 класс, под редакцией С.А.Тедяковского). 2.№ 387, 388,391,395,398. 3.Подготовить краткое сообщение о математиках, занимавшихся исследованием геометрических прогрессий. Урок окончен «До свидания»