Геометрическая прогрессия (9 класс) Цели: - С помощью проблемных ситуаций, постоянно возникающих на имитации процессов реальной жизни вывести формулы суммы n членов бесконечной геометрической прогрессии; 1. Повторение. 1) Опрос по формулам в устной форме; 2) Решение занимательных задач: Учитель: 1)«Я задумал геометрическую прогрессию. Задайте два вопроса, чтобы после ответов вы смогли быстро назвать третий член прогрессии» 2)«Придумайте такую геометрическую прогрессию, чтобы ни в одном из её членов не встречалась цифра 1». Ответ: 5,5,5,… (q = 1)? 5, -5,5,-5,… (q=-1) 2,20,200,2000,…, (q = 10) и т. д. 3)«Первый член некоторой геометрической прогрессии равен 2. Подберите такой знаменатель, чтобы четвёртый член этой прогрессии был больше 120 и меньше 130» 4)«Дано: b1 = 10000; bn+1 = bn * . Какое число можно подставить вместо квадратика, чтобы пятый член прогрессии был: а) меньше 1; б) равен 1; в) больше 1? 2. Вывод формулы прогрессии. n членов геометрической Учащимся предлагается такая жизненная ситуация: «Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 тысяч рублей. А ты мне в первый день за 100 тысяч рублей дашь 1 копейку, во второй день за 100 тыс. руб – 2 коп и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём» Купец обрадовался такой удаче. Он подсчи- тал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Создаётся проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец Учащиеся составляют последовательность чисел:1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; …. Убеждаются, что эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2, первым членом b1 = 1 и количеством членов n = 30. Большинство школьников стремятся составить всю последовательность, чтобы потом найти её сумму. Но видят, что это громоздкая работа, которая требует времени. Учитель сообщает: «А ведь можно вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии в общем виде». После этого проблемность ещё больше усиливается. Учитель: «По преданию индийский принц Сирам, восхищённый остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе её изобретателя, учёного Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить твоё желание» сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т. д. Возникает необходимость найти S64 где b1 = 1, q =2, n = 64. Под руководством учителя учащиеся выводят формулу b1q n b1 Sn q 1 . Убеждаются, что купец проиграл. 3. Бесконечно – убывающая геометрическая прогрессия. Проблема: Каким образом сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечным? Рассмотрим пример. Учитель предлагает игровую ситуацию: Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой по такому закону. Первый шаг он делает длиной 1 метр, второй – ½ м, третий – ¼ м и т.д. – так, что длина следующего шага в 2 раза меньше длины предыдущего. Возникают вопросы: Дойдёт ли ученик к двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м? Какой путь пройдёт ученик, если представить себе его движение бесконечным? Замечание: Каким бы маленьким ни был отрезок, всегда можно найти и записать числовое значение его половины. школьники записывают последовательность: 1 1 1 ... n 1 ... 1+ 2 4 Как найти сумму членов бесконечно убывающей 2 геометрической прогрессии? Создаётся проблемная ситуация. Возможно ли практически найти сумму членов такого вида последовательности? Если обозначить через Sn сумму n первых отрезков, то Sn = 1 1 1 ... n 1 ... 1+ 2 4 2 . По формуле суммы n членов геометрической 1 1 ( )т 2 2 (1 ( 1 ) т ) 2 1 прогрессии находим: Sn = 1 2 2т 1 1 2 1 0 , тогда Sn 2 Можно считать, что сумма бесконечного При n 2 т 1 числа отрезков в рассматриваемой задаче равна 2. Вывод формулы бесконечной убывающей прогрессии a1не равно 0, /q/<1. a a1 a1q n a1q n Sn 1 q 1 q 1 q n , /q/<1 Т.к. nq n 0 S n a1 1 q 4.Закрепление нового материала Решить № 410 и 420(а,б,в) 5. Д/З