Условие - Reshaem.Net

Задание:
Определить на фазовой плоскости особые точки динамической системы, заданной
дифференциальной моделью 2-го порядка, и их характер
d 2x
dx
 γ  ω02 sin( x)  0
2
dt
dt
Краткая теория и Задание
Исследование нелинейного дифференциального уравнения модели
Допустим, математическая модель исходного объекта (системы) задана в виде
нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка
d 2x
dx

  ( x)  0 .
2
dt
dt
(1)
Часто модели разных явлений могут быть представлены в виде системы
дифференциальных уравнений:
dx
 f1 ( x, y )
dt
.
(2)
dy
 f 2 ( x, y )
dt
Если модель задана в виде нелинейного дифференциального уравнения 2-го
порядка (1), то, используя замены: y 
dx
dy d 2 x
и
, из уравнения 2-го порядка (1)

dt dt 2
dt
можно получить систему нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка (2).
Определение 1. Фазовым портретом такой системы называется совокупность
графиков зависимости y (x) для всевозможных начальных условий (начальных значений x
и y при t=0).
Функция y (x) может быть найдена путем решения дифференциального уравнения
dy f 2 ( x, y )

,
(3)
dx f1 ( x, y )
которое получается делением, соответственно, левых и правых частей второго уравнения
на первое в исходной системе (2). При этом существует некоторое количество точек, в
dy
которых значение
не определено. Это точки, в которых одновременно выполняются
dx
условия f1 ( x, y)  0, f 2 ( x, y)  0 .
Определение 2. Точки, в которых одновременно выполняются условия
f1 ( x, y)  0, f 2 ( x, y)  0 , называются «особыми» точками и в этих точках система
находится в равновесии (устойчивом или неустойчивом). В зависимости от поведения
системы вблизи особой точки, особые точки делятся на 4 типа: «центр», «седло», «узел»,
«фокус».
Решение системы уравнений (2) в окрестности особых точек
В окрестности особой точки типа «центр» фазовые траектории (зависимости y (x) )
– эллипсы, в окрестности особой точки типа «седло» - гиперболы, в окрестности особой
точки типа «узел» - параболы, в окрестности особой точки типа «фокус» - спирали. Чтобы
построить фазовый портрет в окрестности особой точки надо разложить функции
f1 ( x, y), f 2 ( x, y) в ряд Тейлора и оставить только линейные слагаемые. Допустим, в точке
с координатами x0, y0 выполняются условия f1 ( x0 , y0 )  0, f 2 ( x0 , y0 )  0 . Тогда разложение в
ряд Тейлора будет следующим:
f1 ( x, y )  f1 ( x0 , y0 ) 
f1 ( x, y )
x
f 2 ( x, y )  f1 ( x0 , y0 ) 
f 2 ( x, y )
x
x  x0
y  y0
 ( x  x0 ) 
x  x0
y  y0
f1 ( x, y )
y
x  x0
y  y0
f 2 ( x, y )
y
 ( x  x0 ) 
 ( y  y0 )  p ( x, y )
x  x0
y  y0
 ( y  y0 )  q( x, y )
Обозначим
a
f1 ( x, y)
x xyxy0
b
f1 ( x, y)
y x x0
c
y  y0
0
f 2 ( x, y)
x  x0
x
y y
d
f 2 ( x, y)
x  x0
y
y  y0
0
x'  x  x0 , y '  y  y0 ,
где p( x, y ) и q( x, y) - нелинейные члены разложений.
Тогда по отношению к исходной системе (1) можно записать «линеаризованную»
систему уравнений
dx '
 ax 'by '
dt
.
dy '
 cx ' dy '
dt
(4)
Для системы (4) решение выглядит в следующем виде:
t
t
x'  Ae
y'  Ae
Подставим в систему и получим:
A  aA  bB
A  cA  dB
или
(a   ) A  bB  0
cA  (d   ) B  0
Полученная система уравнений однородна, она имеет решение только в случае,
когда ее определитель равен нулю
a
b
 (a   )( d   )  bc  2  (a  d )  ad  bc  0
c
d 
Решая полученное квадратное уравнение, найдем два корня
1
(a  d ) 2
1, 2  (a  d ) 
 ad  bc .
2
4
Вид корней определяет тип особой точки.
(5)
Условия
Тип особой точки
Вид фазовых траекторий
ad bc  0
«седло» (неуст.)
1 , 2 -действительные
корни разных знаков
«центр» (уст.)
1 , 2 -оба чисто мнимые
гиперболы
ad  bc  0
ad 0
эллипсы
корни (комплексносопряженные без
действ. части)
2
«узел» (неуст.)
(a  d )
 ad  bc  0
1 , 2 -оба
параболы
4
положительные
ad 0
2
«узел» (уст.)
(a  d )
 ad  bc  0
1 , 2 -оба
параболы
4
отрицательные
ad 0
«фокус» (неуст.)
(a  d ) 2
 ad  bc  0
1 , 2 -оба комплексно4
спирали
сопряженные с
ad 0
положительной действ.
частью
2
«фокус» (уст.)
(a  d )
 ad  bc  0
1 , 2 -оба комплексно4
спирали
сопряженные с
ad 0
отрицательной действ.
частью
Поскольку характеристических корней 2, решение будет линейной комбинацией
следующего вида:
x' (t )  A1e1t  A2e2t
y' (t )  B1e1t  B2e2t
причем соотношение между коэффициентами A и B может быть найдено, например, из
первого уравнения
B1, 2 
1, 2  a
b
A1, 2 ,
так что для линеаризованной системы (3) решение выглядят так
x' (t )  A1e1t  A2e2t
y ' (t ) 
1  a
b
A1e1t 
2  a
b
A2e2t
.
Неизвестные коэффициенты А1 и А2 должны быть найдены из начальных условий
(при t=0 следует задать какие-нибудь значения для x ' , y ' и найти коэффициенты). Затем,
задавая последовательные значения для времени, можно вычислять x ' , y ' и строить
график.
Однако исходная система (2) является нелинейной. Опираясь на результаты
анализа линеаризованной системы (4), анализ нелинейной системы заключается в
следующем.
1. Определяют особые точки системы (2).
2. Вблизи особых точек (для каждой из них будем использовать общее
обозначение ( x0 , y0 ) ) приводят исходную систему к виду, используя разложения
в ряды Тейлора (как это было показано выше)
dx'
 ax'by' p( x' , y ' )
dt
.
dy'
 cx' dy' q( x' , y ' )
dt
(6)
Причем, если ( x0 , y0 ) - особая точка, то должны выполняться условия
lim
x  x0
y  y0
p ( x' , y ' )
q ( x' , y ' )
 0, lim
0.
x  x0 cx' dy'
ax'by'
(7)
y  y0
3. Ограничиваются учетом только линейных слагаемых.
4. Определяют тип особых точек линеаризованной системы вида (4) при
отбрасывании нелинейных членов p( x' , y' ) и q( x' , y' ) из системы (6) с учетом
(7). Характер особых точек линеаризованной (4) и исходной систем (2)
совпадают, кроме следующих случаев:
(а) если особая точка линеаризованной системы (4) – центр, то особая точка
исходной системы, либо центр, либо фокус;
(б) если хотя бы один из корней (5) равен 0, то для анализа особой точки
исходной нелинейной системы требуется дополнительное исследование.
Резюмируя выше сказанное, последовательность выполнения задания такова:
а) Исходное нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка (1) необходимо
привести к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка (2) с
помощью замен y 
dx
dy d 2 x
и
. Для упрощения анализа системы необходимо провести

dt dt 2
dt
этап «обезразмеривания» системы уравнений.
б) Найти все особые точки с помощью анализа нелинейной системы (см. пункты 1-4) и
определить их тип.
в) Построить фазовые портреты вблизи каждой особой точки.
г) Построить общий фазовый портрет системы (используя программную реализацию,
например, метода Рунге-Кутта 4-го порядка).
Замечание: в некоторых случаях удается аналитически решить нелинейное
дифференциальное уравнение (3), решения которого определяют фазовые траектории
(фазовый портрет). В любом случае, необходимо получить фазовый портрет и с помощью
компьютерного моделирования, применяя программную реализацию метода Рунге-Кутта
4-го порядка.