Пределы. - mgavm.ru

Пределы функций
Понятие, основные
определения,
свойства, методы
вычислений
План
I Понятие предела функции
II Геометрический смысл предела
III Бесконечно малые и большие функции и их
свойства
IV Вычисления пределов:
1) Некоторые наиболее употребительные
пределы;
2) Пределы непрерывных функций;
3) Пределы сложных функций;
4) Неопределенности и методы их решений
Понятие предела функции


Определение:
Пределом
функции y= f(x)
называется
некоторое
число b при x→a.
И записывается
это так : lim f ( x)  b
x a
Геометрический смысл предела
Определение: Для любого
ε>0 можно указать δ-
окрестность точки а на
оси Ох ,такую что для
всех х из этой
окрестности кроме х=а,
соответствующее
значение y лежат в εокрестности точки b
Математическая запись:
При
|x-a|<δ выполняется |f(x)-b|<ε
-δ<x-a< δ ↔ -ε<f(x)<ε
a-δ<x<a+δ ↔ b-ε<f(x)<b+ε
xЄ(a-δ;a+δ) ↔ f(x)Є(b-ε; b+ε)
Геометрический смысл предела
(продолжение)

Если число b1 есть предел функции y= f(x)
при x→a, так что x<0, то число b1 называется
левым односторонним пределом точки а: lim f ( x) b1
xa 0

Если число b2 есть предел функции y= f(x) при
x→a, так что x>0 то число b2 называется
правым односторонним пределом точки а:
lim f ( x) b2
xa 0

Если b1=b2=b, то число b есть предел этой
функции при x→a: lim f ( x) b
x a
Бесконечно малые и большие функции и их
свойства

Определение: Функция f(x) называется
бесконечно малой при x→a x   если
предел этой функции
lim f ( x)  0
xa( x)

Определение: Функция f(x) называется
бесконечно большой при x→a x  0 если
предел этой функции
lim f ( x)  
x a ( x 0 )
Свойства бесконечно малых и
больших функции

Функция обратная по величине бесконечно
большой, есть бесконечно малая
lim x  0
x 0

1
lim  
x 0 x
Функция обратная по величине бесконечно
малой, но отличная от 0, есть бесконечно
малая
lim x   lim 1  0
x 
x  x
Основные теоремы о пределах
Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x)
при x  a , необходимо и достаточно, чтобы эта функция
была представлена в виде f ( x)  A   ( x) , где  (x ) бесконечно малая.
Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных
предела.
Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной
Теорема 3: Если функция f ( x)  0( f ( x)  0) для всех x в некоторой
окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в
точке a имеет предел , то lim f ( x)  0 lim f ( x)  0
xa
xa
Основные теоремы о пределах
(продолжение)
Теорема 4: Если функция f1(x) и f2(x) имеют приделы при x  a,
то при x  a, имеет пределы также их сумма f1(x)+f2(x),
произведение f1(x)*f2(x), и при условии lim f 2 ( x)  0 частное
f1(x)/f2(x), причем lim ( f1 ( x)  f 2 ( x))  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x),
xa
xa
xa
lim ( f1 ( x)  f 2 ( x))  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x),
x a
lim
xa
x a
xa
f1 ( x)
 lim f1 ( x) / lim f 2 ( x).
xa
f 2 ( x) x a
Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при x  a , то
lim ( f ( x)) n  (lim f ( x)) n ,где n – натуральное число.
x a
x a
Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за знак
предела lim Cf ( x )  C lim f ( x ), C - const
x a
xa
Неопределенности и методы их решений
0
Неопределенность вида
0

Методы:
1.
2.
3.
Разложение числителя и знаменателя
на множители с последующим
сокращением
Устранение иррациональных разностей.
Домножение на сопряженное.
Первый замечательный предел.
lim
 0
sin 

1
Неопределенности и методы их решений

Неопределенность вида


Методы: Деление на наибольшую степень

Предел отношения двух многочленов (при условии,
что аргумент стремится к ∞) равен пределу
отношения их старших членов.
a0 x m  a1 x m 1  ...  am
a0 x m
lim
 lim
n
n

1
x  b x  b x
x  b x n

...

b
0
1
n
0
Здесь a 0  0 и b 0  0
0 (m  n)

a
  0 (m  n)
 b0

 (m  n)
Примеры:
x  3x  2
lim
x 1
x 1
3
1 x  1 x
lim
x 0
1 x 1
sin 7 x
lim
x  0 sin 14 x
2
3n  n  1
lim 4
n  n  2n
3