колебания атомов в кристаллической решетке

Разделение движения электронов и ядер
Адиабатическое приближение
2
2
2
2
2 2 


Ze
e
Z
e 
 
2
2
R 
r 



 ( R, r )  E ( R, r )
2m
R  r r  r  R  R 

 2M

 ( R, r )   ( R) ( R, r )
2
2
2


Ze
e
 

2





 ( R, r )  E el ( R) ( R, r )
r
R  r r  r 

 2m

 2 2

Z 2e 2
R 
 Eel ( R)  Vna ( ,  ) ( R)  Ead ( R)

R  R
 2M

Vad (R)

O m / M 
1/ 4

Эмпирический факт: атомы в кристалле совершают
малые колебания вблизи равновесных позиций
Среднеквадратичные тепловые амплитуды
атомов галлия и азота в кристалле GaN
(U2)1/2 : a = 0.1Å : 1.96Å 5%
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Адиабатическое приближение
2
2 2


Z
e
 

2




E
(
R
)

 ( R)  E ad ( R )
R
el
R  R


 2M

2
Vad ( R)  V0  12 VRR
( R  R0 ) 2  ...
Гармоническое приближение
Гармонический осциллятор
Классическое описание
E  Mx  M x
1
2
2
1
2
2 2
x  M Q exp it 
E   2Q 2
2   / M
x   x
2
Квантово-механическое описание
2 2 1
2 2
H 

M

x
2
2 M x
2
H n   n n
  /M
2
1

 n    n  
2

Собственные функции гармонического осциллятора
 n   2  n Mx 2  n   2 x 2
n
Колебания атомов в многоатомной системе
ui  Ri  R
V(R)
0
i
 d 2V
dV
f i (u )  
  

dRi
j  dRi dR j
R0
R
V ( R)  V0  12
0
0
V
(
R

R
)(
R

R
 i , j i i j j )  ...
i , j
M i ui   Vi , j u j
j

  u j

o
ui (t )  ui exp( it )
Нормальные колебания
 2ui   M i1Vi , j u j
uk   Dkl ul
j
l
динамическая матрица
собственные числа
динамической матрицы
собственные векторы
динамической матрицы
n  
u
n
i
2
n
частоты нормальных
колебаний
формы нормальных
колебаний
Нормальные колебания молекулы воды Н2О
Число атомов N=3, число нормальных колебаний 3N-6=3
Symmetric stretching mode
n1 = 3657 cm-1
Bending mode
n2 =1595 cm-1
Asymmetric stretching mode
n3 = 3756 cm-1
n сm-1 – волновое число = 1/
Частота (Hz) = n  c
1 сm-1= 0.0299792 THz
T (tera-) = 1012
Колебательные спектры
молекулы воды
Рамановское рассеяние
Инфракрасное поглощение
Колебания атомов в линейных молекулах XN
N=2
 2  2 / M
2   / M
N=3
 2  3 / M
Формы колебаний линейных молекул XN
N=4
N=5
k  a/
k  0,..., 12
N=6
4.0
 (k )
3.5
2
3.0
2.5
2.0
1.5
4
1.0
0.5

m
sin k 
2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Колебания бесконечной линейной цепочки
Матрица
Vnm
 2V

un um
n\m …
…
-2
…
-1
…
0
…
1
…
2
…
…
…
-1
…
-1
2
-1
0
0
…
0
…
0
-1
2
-1
0
…
1
…
…
0
0
…
-1
…
2
…
-1
…
…
…
f n   (un1  2un  un1 ) n
un  U exp(iqna )
 qa 
f n    2  exp( iqa )  exp( iqa ) un  4  sin  un
 2 
k 2
4
2
2  qa 
q  2 
 (k ) 
sin  
a 
m
 2 
2
k=6/12
k=5/12
k=4/12
k=3/12
k=2/12
k=1/12
u n ( k )  u n ( k  L)
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
un
k=0.5
k=1.5
k=2.5
 (k )   (k )
Дисперсия фононных частот в линейной цепочке
(k)
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
k
Первая приведенная зона Бриллюена
1.5
Кристаллическая решетка –
бесконечная периодическая структура
VIi , Jj
 2V

u Ii u Jj
V( I  K ) i ,( J  K ) j  V Ii , Jj
V Ii , Jj  V0i ,( J  I ) j
uIi  U i exp( it  iqRIi )


 U i   M  V0i , Jj exp( iq ( RJj  R0i ) U j
j
 J

2
1
i
Динамическая матрица
Dij (q)
n (q)
Кристаллическая решетка
L  l1a1  l2a 2  l3a3
exp iqR   exp iq(R  L)
qL  2l
q  2K
Обратная решетка
K  k1b1  k2b 2  k3b3
(b i  a j )   ij
b1 
a2  a3 
a1  a2  a3 
b2 
a3  a1 
a 2  a3  a1 
b3 
a1  a 2 
a3  a1  a 2 
(K  L)  l1k1  l2 k2  l3k3
Приведенная зона Бриллюена
= элементарная ячейка
обратной решетки:
Прямая
a1
a2
a3
(-1 1 1) (1 -1 1) (1 1 1)
(0 1 1) (1 0 1) (1 1
0)
Обратная
b1
b2
b3
(0 1 1) (1 0 1) (1 1 0)
/2
(-1 1 1) (1 -1 1) (1 1 -1)
/2
Ячейка Вигнера-Зейтца
Зона Бриллюена
- ячейка Вигнера-Зейтца
в обратной решетке