Проект «Проценты в нашей жизни».

Проект
«Проценты в нашей
жизни».
Цели:
Обобщить знания по теме "Проценты" и выделить практическую
значимость этого понятия в различных сферах деятельности
человека.
Научится грамотно и экономно проводить элементарные процентные
вычисления.
Задачи:
Рассмотреть задачи, сюжеты которых взяты из действительности.
Провести исследования в школе о том, как учащиеся умеют
решать задачи на проценты и представить результаты в виде
диаграммы.
Выпустить «Справочник для учащихся» с правилами решений задач на
проценты.
2008год
Проект выполнили учащиеся 8 класса:
1.Григорьев Валера
2.Посашкова Екатерина
3.Кусумов Бахтияр
Руководитель проекта: учитель математики
Машьянова Н.А.
Новосарбайская СОШ
Содержание:
1.Введение.
2.История возникновения процентов.
3.Определение процентов.
4.Задачи на простые проценты.
5.Результаты исследования.
6.Проценты в школе.
%
«Я – процент, - раздался
крик, Заявляю сразу.
В школе каждый ученик
Знать меня обязан».
Введение.
В наше время почти во всех областях
человеческой деятельности встречаются
проценты. Без понятия «процент» нельзя
обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в
финансовом анализе, ни в статистике.
Чтобы начислить зарплату работнику,
нужно знать процент налоговых
отчислений; чтобы открыть депозитный
счёт в сбербанке, наши родители
интересуются размером процентных
начислений на сумму вклада; чтобы знать
приблизительный рост цен в будущем
году, мы интересуемся процентом
инфляции. В торговле понятие «процент»
используется наиболее часто: скидки,
наценки, уценки, прибыль, сезонные
изменения цен на товары, налог на
прибыль и т.д. – всё это проценты.
История возникновения процента.
Сотую долю числа называют процентом числа и обозначают знаком %.
Это понятие появилось в математике в связи с развитием торговли, когда за взятые в долг деньги
заимодавец получал с должника какую-либо сумму сверх долга. Обычно эта сумма выражалась
в сотых долях. Несколько позже у неё появилось название - проценты.
Слово "процент" произошло от двух латинских слов: "про" - "на" и "центум" - "сто", то есть в
буквальном переводе на русский язык процент означает "на сто".
Знак % закрепился для обозначения процентов в XVII веке. Вероятно, он произошел от сокращения
латинского слова "centum" в "cto". При скорописи "cto" стало выглядеть как "о/о", а затем "%". Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту
произошел современный символ для обозначения процентов.
1%=0,01
До нас дошли таблицы процентов, составленные ещё вавилонянами. Эти таблицы позволяли быстро
определить сумму процентных денег.
Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так
называемое тройное правило. Например, при расчете 5% от 830 записывали:
1% составляет 830/100, 5% составляют (830∙5)/100= 41,5
Они производили и более сложные вычисления.
В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат
установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника.
В Европе в середине века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на
умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и
проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения
расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в
тайне, составляли коммерческий секрет фирмы.
Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином - инженером из города
Брюгге (Нидерланды). Он известен различными научными открытиями, а также применением
особой записи десятичных дробей.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100
рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их
применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах,
статистике, науке и технике.
Определение процента.
Процент – это числа, представляющие собой частный
случай десятичных дробей. Процентом называется
дробь 1/100 или 0,01.
Процентом от некоторой величины называется одна
сотая ее часть.
1/100 = 1% или 0,01 = 1%
Например. Из каждых 100 участников лотереи
7 участников получили призы.
7% - Это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.
Любое число можно выразить в
процентах.
Единица содержит сто сотых долей:
1=100/100 = 100%
2 = 1∙ 2 = 100% ∙ 2 = 200%
7 = 700%
0,8 = 0,8 ∙ 100% = 80%
Изображение процентов на числовом луче:
0
1/4
0%
25%
1/2 3/4
50%
75%
1
1,5
100%
150%
Чтобы выразить процент десятичной дробью или
натуральным числом, нужно число, стоящее
перед знаком %, разделить на 100.
Например:
58
58 % = 100
= 0,58
Для обратного перехода выполняется обратное
действие. Таким образом:
Чтобы выразить число в процентах, надо это
число умножить на 100. Например:
0,58 = 0,58100100 = (0,58  100)% = 58 %
Решение задач.
Чтоб решить на проценты
задачу,
Поступайте вот так, не иначе:
Начинайте решенье с того –
узнавайте цену одного.
Сколько надо процентов,
тогда
Вы найдете легко, без труда.
Задачи на простые проценты.
В простейших задачах на проценты некоторая
величина "а" принимается за 100% (целое), а ее
часть "b" выражается числом "р%".
Задача № 1. Как найти несколько процентов от
числа "а"?
Чтобы найти несколько процентов от числа, надо
это число умножить на соответствующую дробь.
Нахождение процентов от числа.
Например:
20% от 45кг сахара равны 45·0,2=9 кг.
Задача № 2. Как найти число по его
проценту?
Чтобы найти число по его проценту, надо часть,
соответствующую тому проценту, разделить на
соответствующую дробь.
Нахождение числа по его
проценту.
Например:
Если 8% от длины бруска
составляют 2,4см, то длина
всего
бруска равна 2,4:0,08=30см
Задача № 3. Как найти процентное соотношение
двух чисел, или узнать, сколько процентов число
"b" составляет от целого числа "а"?
Чтобы узнать, сколько процентов число "b"
составляет от числа "а" надо "b" разделить на "а" и
результат умножить на 100%.
Нахождение процентного
отношения двух чисел.
Например.
9г соли в растворе
массой 180г составляют
9:180·100%= 5%.
18 0
9
Исследовательская работа:
«Как учащиеся нашей школы умеют решать
задачи на проценты?»
Теме «Проценты» уделяется мало времени на
уроках математики. Эта тема изучается в VVI классах, после чего к ней редко
возвращаются. Мы предложили учащимся с
6 по 11 класс решить следующие задачи:
(исследование проводилось весной 2008года)
Задачи:
1 вариант.
1.В классе присутствует 70% всех
учащихся.Сколько процентов всех
учащихся отсутствует?
2.Выразите в процентах 2/5 всех
жителей города.
3.Найдите 15% от 30000руб.
4.Сколько будет, если 30000руб.
Увеличить на 15%?
5.Сколько процентов составляют
500руб. от 200руб.?
6.40% от некоторой суммы составляют
100руб. Какова эта сумма?
2 вариант.
1.Вскопали 45% поля. Сколько
процентов поля осталось вскопать?
2.Выразите в процентах ¾ всех
жителей города.
3.Найдите 35% от 10000руб.
4.Сколько будет, если 10000руб.
уменьшить на 35%?
5.Сколько процентов составляют
600руб. от 400руб.?
6.30% от некоторой суммы составляют
150руб. Какова эта сумма?
Количество верно выполненных
задач (в процентах).
классы 1
2
3
4
5
6
Средн
ий
балл
6
53%
12%
53%
6%
29%
35%
31%
7
83%
58%
42%
25%
25%
33%
44%
8
100%
50%
33%
33%
17%
42%
46%
9
80%
73%
80%
7%
67%
60%
61%
10
100%
78%
78%
44%
78%
56%
72%
11
100%
71%
71%
29%
100%
100%
79%
Диаграмма
«Решение задач на простые
проценты».
100
90
80
70
6кл
60
7кл
50
8кл
40
9кл
30
10кл
20
11кл
10
0
1з
2з
3з
4з
5з
6з
Вывод.
Больше всего допустили ошибок в задаче вида:
«Увеличить (уменьшить) число на несколько
процентов».
Задача в общем виде:
1)Число а увеличили на р%.
Стало: а + а ∙ р/100 = а(1+р/100)
2)Число а уменьшили на р%.
Стало: а – а ∙ р/100 = а(1 – р/100)
Например: 1) Число 120 увеличим на 25%.
120( 1+ 25/100) = 120 ∙ 1,25 =150
2)Число 120 уменьшим на 25%
120(1 – 25/100) = 120 ∙ 0,75 = 90
Проценты в нашей школе.
В конце учебного года
подсчитываются результаты
успеваемости и качества
знаний учащихся по всем
предметам.
В данных диаграммах даны
результаты учебы за
последние три года (в
процентах).
Успеваемость.
Качество знаний.
100%
80%
60%
40%
20%
0%
2005-2006
Неуспевающих
2006-2007 2007-2008
отличников
хорошистов
Различные виды задач на проценты
1.Определение процента от числа
Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
2.Определение числа по известной его части, выраженной в процентах
Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:
х - данное число;
0,15.х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.
3.После рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа:
1. На сколько процентов 10 больше 6?
2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%
4.Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на
25%, а потом понизить на 25%?
Решение:
Пусть цена товара х руб.
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25.1,25х = 0,9375х
3) х - 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
5.Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
Ответ: 2,5 кг.
При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием
"процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор".
Поэтому предлагаю задачи на эти понятия.
Процентное содержание. Процентный раствор.
Задача:
•Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли
15%.
•
10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
•Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда
называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.
•
Задача:
•Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание
олова и цинка в сплаве?
•
Решение:
•Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую
составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
•
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
•Концентрация.
•Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого
вещества составляет р% от массы всего соединения.
•
Пример.
•Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в
сплаве 261 г.
•300 . 0,87 = 261 (г).
•В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
•Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется
объемной концентрацией этой компоненты.
•Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае
концентрация - безразмерная величина.
•Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
к=
р
100%
к - концентрация вещества;
р - процентное содержание вещества (в
процентах).
Дополнительные задачи.
1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго
сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав,
содержащий 32% серебра?
Решение:
Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового
сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится
0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим
уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.
Ответ:
13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32%
серебра.
2. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое
количество литров 5%-ного раствора добавили?
Решение.
Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором
содержиться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л
5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли. Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ:
добавили 10 л 5%-ного раствора.
Желаем удачи!