Метод Ньютона (пример)

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 14
Обзорная лекция.
18 декабря 2014 года
Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Метод хорд
f ( x)  0
f ( b)  f ( a )
y  f (a ) 
( x  a)
ba
f ( b)  f ( a )
f (a ) 
( x  a)  0
ba
(b  a ) f ( a )
xa
f ( b)  f ( a )
Метод хорд
y
y
f '0
f ''  0
a
x1
f '0
f ''  0
x2 x1
b
y
a
xn  
x
x2
xn  
f '0
f ''  0
a  xn
b  xn
b  xn
a  xn
xn  
a
y
f '0
f ''  0
x
x2 x1
b
b x
a
x1 x2
b x
xn  
Метод хорд
xa
(b  a ) f ( a )
(b  a )
f ( b)  f ( a )
( b  xn ) f ( xn )
a  xn  xn 1  xn 
f ( b )  f ( xn )
( xn  a ) f ( a )
( xn  a ) f ( x n )
b  xn  xn 1  a 
 xn 
f ( xn )  f ( a )
f ( xn )  f ( a )
( b  xn ) f ( xn )
f ' f ''  0  xn 1  xn 
f ( b )  f ( xn )
( xn  a ) f ( x n )
f ' f ''  0  xn 1  xn 
f ( xn )  f ( a )
Метод хорд
f ' f ''  0
xn 1  xn 
( b  xn ) f ( xn )
f ( b )  f ( xn )
xn  , xn  b
  x  lim xn
n 
(b  x ) f ( x )
x x
 f ( x)  0
f ( b)  f ( x )
f ' f ''  0
( xn  a ) f ( x n )
xn
xn  , xn  a   x  lim
xn 1  xn 
n 
f ( xn )  f ( a )
( x  a) f ( x)
x x
 f ( x)  0
f ( x )  f (a )
Оценка погрешности
f ( x)  0
xn  некоторое приближение (произвольное число)
f ( xn )  f ( x )  f '(ξ)( xn  x )
f ( xn )  f '(ξ)( xn  x )
f ( xn )
xn  x 
f '(ξ)
| f ( xn ) |
| xn  x |
min | f '( x ) |
[ a ;b ]
Метод хорд (пример)
xe 0
x
f ( x)  x  e x
f '( x )  1  e x
f ''( x )  e x
Функция строго возрастает и выпукла вниз на
всей числовой прямой.
1
f ( 1)  1   0, f (0)  1  0,
e
a  1, b  0, x0  a  1.
( b  xn ) f ( x n )
xn f ( x n )
xn
xn 1  xn 
 xn 

f ( b )  f ( xn )
1  f ( xn ) 1  f ( xn )
f '( x )  1  e x  1  | xn  x || f ( xn ) |
Метод хорд (пример)
xe 0
x
f ( x)  x  e
x
xn
xn 1 
1  f ( xn )
x0  1
x0  1, d  0,63
x1  0,6126998368, d  0,07
x2  0,5721814121, d  0,008
x3  0,5677032142, d  0,0009
x4  0,5672055526, d  0,0001
| xn  x | d
d | f ( xn ) |
x5  0,5671502142, d  0,00001
x6  0,5671440604, d  0,0000012
x  0,56714 с точностью до 105
Метод Ньютона (метод касательных)
f ( x)  0
y  f ( xn )  f '( xn )( x  xn )
f ( xn )  f '( xn )( x  xn )  0
f ( xn )
x  xn 
f '( xn )
f ( xn )
xn 1  xn 
f '( xn )
Метод Ньютона (метод касательных)
y
y
f '0
f ''  0
x
a
f '0
f ''  0
y
a x1 x2
xn  
b x
x2 x1 b
xn  
f '0
f ''  0
x0  b
x0  a
x0  a
x0  b
y
f '0
f ''  0
x2 x1 b x
x
b
xn  
a x1 x2
a
xn  
Метод Ньютона (метод касательных)
f ( xn )
xn 1  xn 
f '( xn )
 xn  
или , a  xn  b   x  lim xn
n 
f ( x)
x x
 f ( x)  0
f '( x )
Оценка погрешности
f ( x)  0
xn  некоторое приближение (произвольное число)
f ( xn )  f ( x )  f '(ξ)( xn  x )
f ( xn )  f '(ξ)( xn  x )
f ( xn )
xn  x 
f '(ξ)
| f ( xn ) |
| xn  x |
min | f '( x ) |
[ a ;b ]
Метод Ньютона (пример 1)
xe 0
x
f ( x)  x  e x
f '( x )  1  e x
f ''( x )  e x
Функция строго возрастает и выпукла вниз на
всей числовой прямой.
1
f ( 1)  1   0, f (0)  1  0,
e
a  1, b  0, x0  b  0.
f ( xn )
xn 1  xn 
f '( xn )
f '( x )  1  e x  1  | xn  x || f ( xn ) |
Метод Ньютона (пример)
f ( x)  x  e
f '( x )  1  e x
x
xe 0
x
x0  0, d  1
xn 1  xn 
f ( xn )
f '( xn )
x0  0
x1  0,5, d  0,1
x2  0,5663110032, d  0,0013
x3  0,5671431650, d  0,0000002
| xn  x | d
d | f ( xn ) |
6
x  0,567143 с точностью до 10
Метод Ньютона (пример 2)
С точностью до 0,0001 найти первый положительный корень уравнения
tg x  x
yx
Метод Ньютона (пример 2)
tg x  x  sin x  x cos x  0
f ( x )  sin x  x cos x
 5 3 
f ( x )  0 на  , 
 4 2 
3
x0 
2

3
2
5
4
f '( x )  x sin x  0
f ''( x )  sin x  x cos x  0
5
min | f '( x ) || f '(5 / 4) |
4 2
x
4 2
| xn  x |
| f ( xn ) |
5
Метод Ньютона (пример 2)
f ( x )  sin x  x cos x
f '( x )  x sin x
3
x0 
2
f ( xn )
xn 1  xn 
f '( xn )
dn 
4 2
| f ( xn ) |
5
x1  4,712389
d  0,36
x2  4,500182
d  0,01
x3  4, 493420
d  0,000016
Ответ:
x  4,4934
Логарифмическое дифференцирование
f '( x )
(ln f ( x )) ' 
 f '( x )  f ( x )(ln f ( x )) '
f ( x)
Пример.
1 x
1
1
f ( x)  x
 ln f ( x )  ln x  ln(1  x )  ln(1  x )
1 x
2
2
1
1
1
(ln f ( x )) '  

x 2(1  x ) 2(1  x )
1 x  1
1
1 
f '( x )  x



1  x  x 2(1  x ) 2(1  x ) 
Промежуточная переменная
[ f (u( x ))]'  f '(u( x ))u '( x )
Пример.

f ( x )  ln cos2 x  1  cos4 x


u( x )  cos2 x  f ( x )  ln u  1  u 2

F (u )  ln u  1  u 2
1


2u
2
1  u2  u
1
2
1

u
F '(u ) 


2
2
2
u  1 u
1  u2
u  1 u
1 u

u '( x )  2 cos x (  sin x )   sin 2 x
1
sin 2 x
f '( x ) 
u'  
1  u2
1  cos4 x

Дифференцирование определителей
a ( x ) b( x ) a '( x ) b '( x ) a ( x ) b( x )


c( x ) d ( x ) c( x ) d ( x )
c '( x ) d '( x )
a11 ( x ) a12 ( x ) a13 ( x )
a11 '( x ) a12 '( x ) a13 '( x)
a21 ( x ) a22 ( x ) a23 ( x )  a21 ( x ) a22 ( x ) a23 ( x) 
a31 ( x ) a32 ( x ) a33 ( x )
a11 ( x ) a12 ( x ) a13 ( x )
a31 ( x ) a32 ( x ) a33 ( x)
a11 ( x ) a12 ( x ) a13 ( x )
 a21 '( x ) a22 '( x ) a23 '( x )  a21 ( x ) a22 ( x ) a23 ( x )
a31 ( x ) a32 ( x ) a33 ( x )
a31 '( x ) a32 '( x ) a33 '( x )
Дифференцирование определителей
x 1 1
Пример.
f ( x)   3
x
2
3
 2  3 x 1
1
f '( x )  3
0
0
x
3 
2  3 x  1
x 1 1
0
1
2
x 1 1
0
 3 x
2  3 x  1
0
0
2
3 
1
 ( x 2  x  9)  ( x 2  1  4)  ( x 2  x  3)  3x 2  15
Арифметические свойства производной
F ( x )  f ( x )  g ( x )  F '( x )  f '( x )  g '( x )
f '( x ) существует, g '( x ) не существует

F '( x ) не существует
Пусть F '( x ) существует.
g ( x )  F ( x )  f ( x )  g '( x )  F '( x )  f '( x )
противоречие
Арифметические свойства производной
F ( x )  f ( x )  g ( x )  F '( x )  f '( x )  g '( x )
f '( x ) не существует, g '( x ) не существует
F '( x )  ?
Пример 1.
Пример 2.
f ( x ) | x |, g ( x ) | x |, F ( x )  2 | x |
f , g не дифференцируемы в нуле,
F ( x ) не дифференцируема в нуле
f ( x ) | x |, g ( x )   | x |, F ( x )  0
f , g не дифференцируемы в нуле,
F ( x ) дифференцируема в нуле
Арифметические свойства производной
F ( x )  f ( x ) g ( x )  F '( x )  f '( x ) g ( x )  f ( x ) g '( x )
f '( x ) существует, g '( x ) не существует
F '( x )  ?
Пример.
f ( x )  0, g ( x ) | x |, F ( x )  0
f дифференцируема в нуле,
g не дифференцируема в нуле,
F ( x ) дифференцируема в нуле
Касательные к кривым второго порядка
Эллипс
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
( x0 , y0 )
2
b x0
y  y 0   2 ( x  x0 )
a y0
y0 y  y 02
x2 y 2 ( x)
 2 1
2
a
b
2 x 2 y ( x ) y '( x )

0
2
2
a
b
b2 x
y'   2
a y
x 02
x0 x
 2  2
2
b
a
a
2
2
x
y
y 0 y x0 x
0
0



b2
a 2 a 2 b2
y 0 y x0 x
 2 1
2
b
a
Касательные к кривым второго порядка
2
Гипербола
2
x
y
 2 1
2
a
b
( x0 , y0 )
b 2 x0
y  y 0  2 ( x  x0 )
a y0
y0 y  y 02
x2 y 2 ( x)
 2 1
2
a
b
2 x 2 y ( x ) y '( x )

0
2
2
a
b
b2 x
y'  2
a y
x 02
x0 x
 2  2
2
b
a
a
2
2
x
y
x0 x y0 y
0
0



a2
b2
a 2 b2
x0 x y0 y
 2 1
2
a
b
Касательные к кривым второго порядка
Парабола
( x0 , y0 )
y 2  2 px
p
y  y 0  ( x  x0 )
y0
y0 y  y 02  px  px0
y 2 ( x )  2 px
2 y ( x ) y '( x )  2 p
p
y' 
y
y0 y  px  y 02  px0
y0 y  px  2 px0  px0
y0 y  px  px0
y 0 y  p ( x  x0 )
Правило Лопиталя
1
x sin  
 x
f ( x) 
sin x
f ( x) 
2
x 
 1 
x
sin
 
sin x 
 x 
x
1
x 0 sin x
lim

1
 1 
lim x  0, sin    ограничена  lim  x sin     0
x 0
x 0
x
 x 

lim f ( x )  0
x 0
d  2  1 
1
1
x
sin
2
x
sin

sin
 
 
 
dx 
x
x
 x 


F ( x) 

d
cos x
sin x 
dx
1
lim cos x  1, lim 2 x sin    0,
x 0
x 0
x
1
limsin   не существует
x 0
 x
1
1
sin    2 x sin    F ( x ) cos x
x
 x
lim f ( x )  0
x 0
lim F ( x ) не существует
x 0
Формула Тейлора
Пример 1. Написать разложение по степеням x функции
f ( x)  tg x
до члена с x5 включительно.
tg x  ax  bx 3  cx 5  o( x 5 )
1 3
1 5
sin x  x  x 
x  o( x 5 )
6
120
1 2 1 4
cos x  1  x 
x  o( x 5 )
2
24
(tg x)  cos x  sin x
Формула Тейлора
1 2 1 4
1 3
1 5
5
(ax  bx  cx  o( x ))(1  x 
x  o( x ))  x  x 
x  o( x 5 )
2
24
6
120
3
5
5
ax  bx 3  cx 5 
1 3 1 5
 ax  bx 
2
2
1 5
1 3
1 5
5
 ax  o( x )  x  x 
x  o( x 5 )
24
6
120
1
1
1
1
1
1
2
a  1, b  a   , c  b  a 
 a  1, b  , c 
2
6
2
24
120
3
15
Ответ:
1 3 1 5
tg x  x  x  x  o( x 5 )
3
15
Формула Тейлора
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 значение
3
30
f ( x)  3 27  x  (27  x)1/ 3
1
2
10
80
f ' ( x)  (27  x)  2 / 3 , f ' ' ( x)   (27  x) 5 / 3 , f ' ' ' ( x) 
(27  x) 8 / 3 , f (IV) ( x)   (27  x) 11/ 3
3
9
27
81
f (0)  3, f ' (0) 
3
3
1
2
10
80
, f ' ' (0)   7 , f ' ' ' (0)  11 , f ( IV ) (ξ)  
27
3
3
81(27  ξ)11/ 3
x x 2 5x3
10 x 4
27  x  3   7  12 
27 3
3
243(27  ξ)11/ 3
3 9 5  33
1
1
5
30  3 
 7  12  3  

 3,1072
27 3
3
9 243 19683
10  34
10
10



 0,00002
11
12
243  3
3
531441
Ответ:
3
30  3,1072
Условие постоянства функции на промежутке
Виды промежутков:
( a, b)  {x : a  x  b}
[a , b)  {x : a  x  b}
( a, b]  {x : a  x  b}
[a , b]  {x : a  x  b}
( , b)  {x : x  b}
( , b]  {x : x  b}
( a,  )  {x : x  a}
[a ,  )  {x : x  a}
( ,  )  {x : x  R}
Любые две точки промежутка
являются концами отрезка
целиком лежащего в этом
промежутке.
Условие постоянства функции на промежутке
Функция постоянна на промежутке тогда и только тогда, когда
ее производная равна нулю на этом промежутке.
(1) f ( x )  const  f '( x )  (const ) '  0
(2) f '( x )  0 f ( x1 )  f ( x2 )  f '(ξ)( x1  x2 )  0 
 f ( x1 )  f ( x2 )
Следствие. Производные двух функций равны тогда и
только тогда, когда эти функции отличаются на постоянную.
Длина дуги кривой
Пример. Найти длину окружности
x  y 1
2
y  1  x2 , y '  
2
1
x
1 x
x
,
x2
s '( x )  1  ( y '( x ))  1 

2
1 x
1

 (arcsin x ) '
2
1 x
2
y
2
1
s ( x )  arcsin x  C
s (0)  0  C  0
s ( x )  arcsin x
s

 s(1)  arcsin1 
4
2

s  2
Длина дуги кривой
Пример. Найти длину дуг кривой
y  x , 0 x4
3/2
y '( x ) 
3
x
2
s '( x )  1  ( y '( x )) 2  1 
d 2  9 

 1  x 
dx  3  4 
8
3/2
9
x
4
3/2
4 d  8  9  

 1  x  
9  dx  27  4  
3/2
s( x )
4
8  9 
s( x )   1  x   C
27  4 
8
s(0)  0  C  
27
3/2


8  9 
8
s( x ) 
1

x

1

s

s
(4)

10 10  1



27  4 
27



Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Обзорная лекция.
Лекция 14
завершена.
Спасибо за внимание!