Представление числовой информации с помощью систем счисления

Представление
числовой информации
с помощью
систем счисления
Счет появился тогда, когда человеку потребовалось
информировать своих сородичей о количестве
обнаруженных им предметов.
Сначала люди просто
различали один предмет
перед ними или нет.
Если предмет был не один,
то говорили «много».
Самым простым инструментом счета были
пальцы на руках человека
Запомнить большие числа было трудно, поэтому к
«счетной машине» рук и ног добавляли
механические приспособления.
Способов счета было придумано немало:
В разных местах придумывались разные способы
передачи численной информации:
Например, перуанцы употребляли
для запоминания чисел
разноцветные шнуры с завязанными
на них узлами.
Для запоминания чисел использовались
камешки, зерна, ракушки и т.д.
=
Единичная запись для таких чисел была громоздкой
и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные
способы обозначать большие числа.
«Все есть число»,- говорили пифагорийцы,
подчеркивая необычайно важную роль
чисел в практической деятельности.
• Система счисления - это совокупность
приемов и правил для обозначения и
наименования чисел.
• Алфавит системы - это множество всех
символов(знаков), используемых для записи
чисел.
• Цифра - это любой символ(знак), входящий в
алфавит системы счисления.
Система счисления
– это знаковая система, в которой
числа записываются по
определенным правилам с помощью
символов некоторого алфавита,
называемых цифрами.
Система счисления
позиционная
непозиционная
значение цифры
зависит от ее
положения в числе
значение цифры не
зависит от ее
положения в числе
333
Первая была придумана в Древнем
Вавилоне (в ней использовалось
шестьдесят цифр). В XIX веке широкое
распространение получила 12-ричная
система счисления
применяется в современной
математике
XXX
пользовались древние
египтяне, греки, римляне и
некоторые другие народы
древности
не пригодны для выполнения
сложения и вычитания, не удобны
при умножении и делении
Позиционные системы счисления
Системы счисления
используемые в компьютере
Какую же числовую систему удобно положить в основу
компьютера?
С точки зрения человека, конечно, лучше всего
традиционная десятичная система.
Но вот технически реализовать ее на ЭВМ крайне сложно:
для хранения десятичной цифры требуется устройство с
десятью устойчивыми состояниями!
Разработать такую электрическую схему можно, но она
будет достаточно сложной и дорогой (не забывайте, что
таких элементов потребуется огромное количество!).
Системы счисления
используемые в компьютере
Для инженеров наиболее просто реализовать двоичный
элемент: включено/выключено, горит/не горит,
проводит/не проводит и т.д.
Кроме того, в двоичной системе наиболее просто
реализуются все операции.
Но у двоичной системы счисления есть один существенный
недостаток – громоздкость.
В самом деле, относительно скромное десятичное число
254 в двоичной системе имеет
вид 1111 1110, а 16 384 выглядит прямо-таки устрашающе:
100 0000 0000 0000 (14 нулей).
Системы
счисления
используемые в
компьютере
Поэтому на практике чаще всего переходят
к более компактной системе счисления с
основанием, кратным двойке - к
шестнадцатеричной системе счисления.
Из таблицы хорошо видно, что один
шестнадцатеричный разряд заменяет
четыре двоичных.
10
2
16
0
0000
0
1
0001
1
2
0010
2
3
0011
3
4
0100
4
5
0101
5
6
0110
6
7
0111
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
16
0001 0000
10
Позиционные системы счисления
123 = 1*100 + 2*10 + 3
12310= 1*102 + 2*101 + 3*100
Развернутая форма числа
(А2А1A0)10= А2*102 + А1*101 + A0 *100
Для перевода числа в 10 сс нужно:
ЗАПИСАТЬ ЧИСЛО В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ
1) Пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа
налево
2) Цифру каждого разряда умножить на основание СС, в
которой записано число, возведенное в степень номера
разряда
3) Найти значение полученного выражения
Задание
Представьте числа в 10-й СС
Ответы:
1) 101,12
2) 100,48
3) А116
1) 101,12=1*22+0*21+1*20+1*2-1=5,5
2) 100,48=1*82+0*81+0*80+4*8-1=64,5
3) А116=10*161+1*160=161
Для перевода числа 10 сс в другую СС нужно:
1) Выделить целую и дробную часть числа
2) Для перевода целой части нужно
последовательно делить целую часть на основание СС, в
которую осуществляется перевод, до тех пор, пока не
получится частное, меньшее делителя.
Записать полученные остатки в обратной порядке их
получения
3) Для перевода дробной части нужно
последовательно умножать дробную часть на
основание СС, в которую осуществляется перевод, до
тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или
не будет достигнута требуемая точность вычислений.
Записать полученные цифры в целой части
произведения в прямой последовательности их
получения.
1. 10
Переведите
самостоятельно :
2
2510= ?=110012
25
1) 355=1011000112
2
2) 650=10100010102
24 12
2
1 12
6
0
3)
55=1101112
2
6 3
2
0 2 1
1
Системы счисления
16
Перевод из 10 в 8
Перевод из 10 в 16
41610=? =1А016
19010=? =2768
190 8
416 16
16
32
23 8
26 16
30 16 2
96 16 1
24
96 10
6
7
0
Системы счисления
17
Перевести из 10 в
8 систему
0,6562510=? =0,528
0,
65625
х
5
2
0,6562510=? =0,А81
0,
8
25000
х
Перевести из 10 в 16
систему
8
00000
65625
х
10
(А) х
8
16
50000
16
00000
6
Перевести из 10 в 2 систему дробные числа
0,562510=? =0,10012
0,
5625
х
1
1250
х
1
1
0
8
х2
1
6
х2
2
0000
4
х 2
2
5000
7
х 2
2
2500
х
0
0,
2
х
0
0,710=?=0,10112
1
2
Задание
Представьте число 10011,112 в восьмеричной СС
Для записи двоичных чисел используются 2 цифры, то есть в
каждом разряде числа возможны 2 варианта записи:
N = 2i, 2 = 2i , i= 1 бит, т.е. каждый разряд двоичного числа
содержит 1 бит информации.
Для записи восьмеричных чисел используются 8 цифр:
N = 2i, 8 = 2i , i= 3 бит, т.е. каждый разряд восьмеричного числа
содержит 3 бит информации.
Для записи шестнадцатеричных чисел используются 16 цифр:
N = 2i, 16 = 2i ,
i= 4 бит, т.е. каждый разряд
шестнадцатеричного числа содержит 4 бит информации.
Вывод:
•
одна восьмеричная цифра несет информации столько,
сколько три двоичных цифры
•
одна шестнадцатеричная цифра несет информации столько,
сколько четыре двоичных цифры
16 с.с.
2 с.с.
8 с.с.
0
000
0000
0
1
001
0001
1
2
010
0010
2
3
0011
011
3
4
0100
100
4
5
0101
101
5
6
0110
110
6
7
0111
111
7
8
1000
9
1001
А
1010
B
1011
C
1100
D
1101
E
1110
F
1111
Для перевода числа одной CC
в другую СС нужно:
1) Разбить число на группы цифр, начиная от
запятой влево и вправо
2) Заменить каждую группу соответствующей
цифрой
Задание 1
Представьте число 10011,112 в восьмеричной СС
Решение:
1)
Разобьем число на группы цифр по 3 цифры, начиная от
запятой влево и вправо:
010 011,
11 0
Неполные группы дополним незначащими нулями
2) Заменим каждую группу соответствующей цифрой по таблице:
010 011,
2
3,
Ответ: 23,68
110
6
Задание 2
Представьте число 10011,112 в шестнадцатеричной СС
Решение:
1)
Разобьем число на группы цифр по 4 цифры, начиная от
запятой влево и вправо:
0001 0011,
11 00
Неполные группы дополним незначащими нулями
2) Заменим каждую группу соответствующей цифрой по таблице:
0001 0011,
1
3,
Ответ: 13,С16
1100
C
Перевод из 2 в 8 систему
1011000010001100102=?
=5410628
101 100 001 000 110 010
5
4
1
0
6
2
Перевод из 2 в 16 систему
0,1000000000112=?
=0,80316
0, 1000 0000 0011
0,
8
0
3
Домашнее задание №4
1
2
3
4
5