IDZ Ryady

РЯДЫ
1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда
Числовым рядом называется выражение вида
a1  a 2  a 3 
 an 

  an ,
(1)
n 1
в котором слагаемые a n – числа, называемые членами ряда.
Сумма n первых членов ряда
Sn  a1  a 2  a 3 
n
 a n   a k называется n-й частичной суммой ряда.
k 1
Если существует конечный предел S  limSn , то числовой ряд (1)
n 
называется сходящимся, а число S – суммой ряда; в противном случае
числовой ряд называется расходящимся. Ряд a n 1  a n2 

  ak
k n 1
называется n-м остатком ряда; ряд (1) сходится, если его n-е остатки
сходятся и их суммы стремятся к нулю.
Пример 1. Доказать сходимость рядов:


1
a) 
; б)  q n , q  1.
n 1 (n  2)(n  3)
n 0
1
. Эту дробь
(n  2)(n  3)
можно представить в виде суммы двух простых дробей
1
1
1
.


(n  2)(n  3) n  2 n  3
Поэтому n-ю частичную сумму S n ряда можно записать
следующим образом:
1
1
1
1
1
Sn 


 


3 4 4 5 5 6
(n  1)(n  2) (n  2)(n  3)
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
       




3 4 4 5 5 6
n 1 n  2 n  2 n  3
1
1
 
.
3 n 3
1
1
1
)  . Таким образом, наш числовой ряд
Имеем S  limSn  lim( 
n 
n  3
n 3 3
сходится к сумме S  1/ 3 .
Решение. а) Общий член ряда a n 
1

б) Члены числового ряда  q n образуют геометрическую прогрессию с
n 0
первым (нулевым) членом a 0  1 и знаменателем q. При q  1
1
прогрессия является убывающей и ряд сходится к S 
.
1 q
Критерий Коши. Для сходимости числового ряда (1) необходимо
и достаточно, чтобы для любого   0 существовало натуральное число
N  N() такое, что для любых n > N и m > 0 справедливо неравенство
Sn m  Sn  a n1  a n 2 
 a n m   .
(2)

1
.
n 1 n
Пример 2. Доказать расходимость гармонического ряда 
Решение. Зададимся  
для любого n  N
1
и m  n и найдём номер N, такой, что
2
1
Sn m  Sn  S2n  Sn  .
2
Имеем
Sn  1 
1 1
 
2 3
S2n  Sn 

1
1 1
, S2n  1   
n
2 3
1
1


n 1 n  2


1
1


n n 1

1
,
2n
1
.
2n
1
.
2n
Если каждое из слагаемых заменить на меньшее, то сумма уменьшится,
поэтому
В последней сумме n слагаемых и наименьшее из них равно
S2n  Sn 
1
1


2n 2n

1
1 1
 n
 .
2n
2n 2
1
для любого n и не выполняется условие
2
критерия Коши, следовательно, ряд расходится.
Как видим, S2n  Sn 
2
Необходимое условие сходимости. Если числовой ряд (1)
сходится, то lima n  0 .
n 
2n  1
.
n 1 3n  2

Пример 3. Доказать расходимость ряда 
Решение.
Проверим выполнение
2n  1
сходимости. Имеем a n 
,
3n  2
необходимого
условия
1
2n  1
n  2.
lima n  lim
 lim
n 
n  3n  2
n 
2 3
3
n
2
Так как lima n  2 / 3  0 , то ряд расходится.
n 
Отметим, что необходимое условие сходимости ( lima n  0 ) не
n 
является достаточным для сходимости ряда (пример 2).
2. Признаки сходимости числовых рядов
Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть наряду с рядом

(1) дан числовой ряд  bn и пусть 0  a n  b n для любого n  N . Тогда
n 1

1) `если ряд  bn сходится, то ряд (1) также сходится;
n 1


n 1
n 1
2) если ряд  a n расходится, то ряд  bn также расходится.
Теорема 2 (второй признак сравнения). Пусть наряду с рядом

a
(1) дан числовой ряд  bn и пусть существует предел lim n  q , при
n  b
n 1
n


n 1
n 1
этом 0  q   . Тогда ряды  a n и  bn ведут себя одинаково в смысле
сходимости (т.е. или одновременно сходятся, или одновременно
расходятся).
3
Часто при исследовании на сходимость ряда используется тот хорошо
известный факт, что ряд

1
p
n 1 n

ñõî äèòñÿ ï ðè p  1,

ðàñõî äèòñÿ ï ðè 0  p  1.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряды: а) 
n 1


n
б)  2
,
n 1 3n  2
3
n
в) 
,
n 1 n  1
n
cos 2

2
е) 
.
n 1 (n  2)(n  1)  1
n2  3
г)  ln 2
,
n 1
n 2


д) 
n 1
1
 n  3
2
,
1
1
tg
,
n
n

Решение. а) В качестве вспомогательного ряда  bn возьмём
n 1

1
, сходимость которого доказана в примере
n 1 (n  2)(n  3)
1
1
1 (а). Имеем a n 
, bn 
,
2
(n  3)
(n  2)(n  3)
числовой ряд 
0
1
1
для любого n .

2
(n  3)
(n  2)(n  3)

Согласно первому признаку сравнения, сходимость ряда  bn влечёт за
n 1

собой сходимость нашего ряда 
n 1
1
 n  3
2
.

1
. Имеем
3/ 2
n 1 n
б) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд 
an 
1
n
b

,
,
n
n 3/ 2
3n 2  2
an
n  n 3/ 2
n2
1
1
lim  lim 2
 lim
 lim
 .
n  b
n  3n  2
n  2
n 
2
2
n
n (3  2 )
3 2 3
n
n
4


an 1
  0,  , то ряды  a n ,  bn ведут себя одинаково в
n  b
n 1
n 1
3
n

1
3
смысле сходимости. Но ряд  3/ 2 сходится (p   1) , следовательно,
n 1 n
2
сходится и наш ряд.
Так как lim

1
. Имеем
2/3
n 1 n
в) В качестве вспомогательного ряда возьмём 
an 
3
1
n
, bn  2 / 3 ,
n
n 1
3
an
n  n2/3
n
lim  lim
 lim
 1.
n  b
n 
n

n 1
n 1
n


an
 1  0,  , то ряды  a n и  bn ведут себя одинаково в
n  b
n 1
n 1
n

1
2
смысле сходимости. Ряд  2 / 3 расходится (p   1) , следовательно,
n 1 n
3

1
наш ряд  2 / 3 расходится.
n 1 n
 1

1
г) Для сравнения возьмём ряд  2 . Так как это ряд вида  p ,
n 1 n
n 1 n
где p  2  1 , то он сходится.
Так как lim
Применим предельный признак сравнения:
1 

n2  3
ln 1  2
ln 2

n 2

n

2
lim
 lim
.
n 
n 
1
1
n2
n2
При n  
1
1
1 

 0 и величина ln  1  2
эквивалентна 2
.

n 2
n

2
n

2


2
1 

ln 1  2

n2
n 2

 lim 2
 1.
Поэтому lim
n 
n  n  2
1
n2
5

Так как ряд 
n 1
1
сходится, то и данный ряд сходится.
n2
1
эквивалентна
n
 1

1
1
. Поэтому для сравнения возьмём ряд 
. Этот ряд вида  p ,
n 1 n
n 1 n n
n

3
1
где p    1. Следовательно, ряд 
сходится.
n 1 n n
2
д) При n   бесконечно малая величина tg
Применим предельный признак сравнения:
1
1
1
1
1
1
tg
 tg
tg
n
n  lim n
n  lim
n  lim n  1.
lim
n 
n  1
n 
n  1
1
1
1

n n
n n
n
n

1
Так как ряд 
сходится, то и данный ряд сходится.
n 1 n n
е) В
качестве
вспомогательного
ряда
возьмём
ряд

1
.
n 1 (n  2)(n  1)  1


Сравним его со сходящимся рядом 
n 1
сравнения.
1
по предельному признаку
n2
 1
n2
 1 , а ряд  2 сходится, то и ряд
Поскольку lim
n  (n  2)(n  1)  1
n 1 n

1
сходящийся.

n 1 (n  2)(n  1)  1
2 n
cos
n
1
2
cos 2
 1,
Так
как
то
.

2
(n  2)(n  1)  1 (n  2)(n  1)  1
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.
Теорема 3. Если изменить конечное число членов ряда, то это не
скажется на сходимости (расходимости) ряда.
Отсюда следует, что теорема 1 справедлива и в том случае, если
неравенство 0  a n  b n выполняется начиная с некоторого номера n.
6
Теорема 4 (признак сходимости Даламбера). Если члены
a
числового ряда (1) положительны и существует предел q  lim n 1 , то:
n  a
n
1) при q  1 ряд (1) сходится;
2) при q  1 ряд (1) расходится.
n2
Пример 5. Исследовать на сходимость числовые ряды: а)  n ,
n 1 4
n
n

1
 8
 7
б) 
, в)  2n 1 .
n 1 n!
n 1 2

n2
(n  1) 2
Решение. а) Имеем a n  n , a n 1 
,
4
4n 1
2
a n 1
(n  1) 2  4n 1
 n 1 1
q  lim
 lim 2 n 1  lim 
  .
n  a
n 
n 
n

4
4
n

 4
n
Так как q 
1
 1, то согласно признаку Даламбера ряд сходится.
4
8n
8n 1
б) В данном случае a n  , a n 1 
,
n!
 n  1!
a n 1
8n 1  n!
n!
n!
q  lim
 lim

8lim

8lim

n  a
n  (n  1)! 8n
n  (n  1)!
n  n!(n  1)
n
1
 80  0.
n  n  1
 8lim
Так как q  0  1, то ряд сходится.
7 n 1
7 n 11
7 n 2
в) Имеем a n  2n 1 , a n 1  2(n 1)1  2n 3 ,
2
2
2
a n 1
7 n 2  22n 1 7 7
q  lim
 lim 2n 3 n 1  2  .
n  a
n  2
7
2
4
n
7
q
7
 1, следовательно, ряд расходится.
4
Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если члены числового
ряда (1) неотрицательны и существует предел q  lim n a n , то:
n 
1) при q < 1 ряд сходится;
2) при q > 1 ряд расходится.
Пример 6. Исследовать
 3n  4 
а)  

n 1  4n  3 

2n 3
на
 2n  1 
б)  
 ,
n 1  n  1 
 2n  1 
в)  

n 1  2n  2 
n

,
сходимость

 3n  4 
Решение. а) Имеем a n  

 4n  3 
 3n  4 
q  lim n a n  lim n 

n 
n 
 4n  3 
4

3


n
 lim 
n 
3
4 

n
2
2n 3
числовые
n
ряды:
2
.
2n 3
,
 3n  4 
 lim 

n  4n  3


2n 3
n

3
n
2
9
3
   .
 4  16
Так как q = 9/16 < 1, то согласно радикальному признаку Коши ряд
сходится.
 2n  1 
б) Имеем a n  
 ,
n

1


n
2n  1
 2n  1 
q  lim n a n  lim n 

lim
 2.

n 
n 
n  n  1
 n 1 
n
Этот ряд расходится, так как q = 2 > 1.
n2
 2n  1 
в) В этом случае a n  
 ,
2n

2


8
 2n  1 
q  lim n a n  lim n 

n 
n 
 2n  2 
n2
 2n  1 
 lim 
 
n  2n  2


n
n
3 
3 


 lim 1 
 lim 1 


n 
 2n  2  n  2n  2 
 lime
n 
3n
2n  2
e
Так как q 

3
2

1
e e
1
e e

2n  2 3

n
3 2n  2

.
 1 , то этот ряд сходится.
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть функция f(x)
определена на [1; + ) и является невозрастающей неотрицательной
функцией. Пусть f (n)  a n для любого n. Тогда числовой ряд (1) и
несобственный
интеграл

 f (x)dx
сходятся
или
расходятся
1
одновременно.
Пример 7. Исследовать на сходимость числовые ряды:

1
а) 
,
n  2 n ln n

1
.
2
n  2 n ln n
б) 
1
. Эта
x ln x
функция определена на [2; +), положительна и монотонно убывает в
1
этом промежутке. Более того, при n > 2 f (n) 
 an .
n ln n

1
Следовательно, согласно теореме 6, ряд 
и несобственный
n  2 n ln n

dx
интеграл 
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
2 x ln x
Решение. а) Введём в расcмотрение функцию f (x) 
Исследуем интеграл на сходимость:

b
b
dx
dx
d ln x
b

lim

lim
 lim ln(ln x) 2 



b x ln x
b
b
2 x ln x
2
2 ln x
9
 lim (ln ln b  ln ln 2)   .
b
Видим, что несобственный интеграл расходится, следовательно,
расходится и наш ряд.
1
, определённую на [2; + ).
x ln 2 x
1
 an .
Она монотонно убывает и положительна на [2; +) и f (n) 
n ln 2 n

1
Выполнены все требования теоремы 6, поэтому ряд 
и
2
n  2 n ln n
б) Рассмотрим функцию f (x) 

несобственный интеграл  f (x)dx ведут себя одинаково в смысле
2
сходимости. Имеем
b
b
 1
dx
dx
d(ln x)
f
(x)dx


lim

lim

lim
 



 2
2
2
b

b

b

x
ln
x
x
ln
x
ln
x
2
2
2
2
 ln x



 
2
b
1  1
 1
.
 lim  


b
ln
b
ln
2
ln
2


Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно,
сходится и наш ряд.
3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница
Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов
есть как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида
a1  a 2  a 3  a 4 
 (1) n 1 a n 
где a n  0 .

  (1) n1 a n ,
n 1
(3)
Теорема 7 (признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся
(a n  a n 1 );
ряд (3) и пусть выполнены два условия: 1) a1  a 2  a 3
2) lim a n  0 . Тогда ряд (3) сходится. Более того, если rn – n-й остаток
n 
ряда, то при выполнении условий 1), 2) для знакочередующегося ряда
rn  a n 1 .
10
(1) n 1
Пример 8. Исследовать на сходимость числовой ряд 
.
n 1
n
Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Обозначим
1
an 
. Проверим выполнение условий 1), 2) теоремы 7.
n
1
1
1

 a n 1 , что означает, что первое
1) a n 1 
, an 
n 1
n
n 1
условие выполнено.
1
 0 – выполнено и второе условие.
2) lim a n  lim
n 
n 
n
Следовательно, данный ряд сходится.
Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

a1  a 2 

 an 
  an .
n 1
(4)
Если же ряд (1) сходится, а ряд (4) расходится, то говорят, что ряд (1)
сходится условно.
Теорема 8. Если ряд (1) абсолютно сходится, то он сходится.
4. Функциональные ряды
Функциональным рядом называется выражение вида
u1 (x)  u 2 (x) 
 u n (x) 

  u n (x) ,
n 1
(5)
членами которого являются функции u n (x) с общей областью
определения. Совокупность всех значений переменного x, для которых
сходится функциональный ряд (5), называется областью сходимости
этого ряда. Функция
n
S(x)  limSn (x)  lim  u k (x) ,
n 
n  k 1
определённая в области сходимости ряда (5), называется суммой
функционального ряда (5). Абсолютная сходимость функционального
ряда определяется так же, как и абсолютная сходимость числового ряда.
Область абсолютной сходимости функционального ряда можно
находить с помощью признаков Даламбера и Коши.
Пример 9. Найти область абсолютной сходимости функционального
ряда
11


(1)n 1
, x  3.
n  2 (x  3)
Решение. Для данного ряда
1
, x  3.
u n (x) 
n
n
n  2 (x  3)
Найдём предел
1
1
1

q(x)  lim n u n (x)  lim n
= lim
.
n
n
n
n 
n 
n 
2
x

3

n
2
x

3
n  2 (x  3)
n 1
n
n
(мы здесь воспользовались тем, что lim n n  1). Согласно радикальному
n 
1
 1 . Решением
2 x 3
последнего неравенства является (13/4; +). Учитывая область
определения членов функционального ряда, получаем, что областью
абсолютной сходимости является пересечение множеств (13/4; + ) и
(3; + ), т.е. (13/4; + ).
n 1
  1
13
При x 
получим числовой ряд 
. Согласно признаку
n 1
4
n
Лейбница, он сходится. Таким образом, областью сходимости
13

исходного ряда является  ;   .
4

Говорят, что функциональный ряд (5) сходится в области (D)
равномерно к функции S(x), если для любого   0 существует такое n 0 ,
что для всех n  n 0 и для любого x  (D) справедливо неравенство
Sn (x)  S(x)   (или rn (x)   ).
признаку Коши, ряд сходится, если q(x)  1, т.е.
Теорема 9 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости).
Пусть функциональный ряд (5) сходится в области (D) и пусть
существует такой сходящийся числовой ряд

 a n , a n  0 , что
n 1
u n (x)  a n для любого n и любого x  (D) . Тогда ряд (5) сходится
равномерно и абсолютно в (D).

Ряд  a n в теореме 9 называется мажорирующим рядом для
n 1
функционального ряда (5).
12
5. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
C0  C1 (x  x 0 )  C2 (x  x 0 ) 2   Cn (x  x 0 ) n    Cn (x  x 0 ) n . (6)
Числа C0 , C1 , C 2 , называются коэффициентами ряда.
Интервалом
сходимости
ряда
(6)
является
интервал
(x 0  R; x 0  R) . Число R, называемое радиусом сходимости, может
быть найдено с помощью формулы
1
C
R  lim
или R  lim n .
n  n
n  C
Cn
n 1
При этом R может равняться 0 или + . Степенной ряд может
сходиться, может расходиться на концах интервала сходимости. Таким
образом, областью сходимости степенного ряда (6) могут быть
интервал, полуинтервал или замкнутый промежуток с центром в точке
x0 .
Если степенной ряд (6) в интервале (x 0  R; x 0  R) сходится к функции
f(x), то будем писать

n
 Cn (x  x 0 )  f (x) .
n 0
Степенной ряд сходится в любом замкнутом промежутке,
принадлежащем интервалу сходимости, абсолютно и равномерно.
В интервале сходимости степенного ряда его можно
дифференцировать почленно сколько угодно раз, т.е.
 

n
n 1
 Cn (x  x 0 )   nCn (x  x 0 ) ,



  C (x  x )    n(n 1)C (x  x ) ,
  C (x  x )    n(n 1)(n  2) (n  k  1)C (x  x )
n 0
n 0

n 0
n
0
n
n
0
n 2
n 0
(k )

n 0

n
n
0

n
n 0
0
n k
,
при этом интервал сходимости степенного ряда, получающегося из
исходного путём почленного дифференцирования, остаётся тем же.
Степенной ряд допускает и почленное интегрирование в интервале
сходимости, т.е. если (x 0  R; x 0  R) – интервал сходимости
степенного ряда (6) и x 0  R  a  b  x 0  R , то
13
b




b
n 0
a
n
  Cn (x  x 0 ) dx   Cn  (x  x 0 ) dx .
a
n
n 0
Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда:
(2x  1) n
а) 
;
n 1
n  3n

(1) n
x 2n 1 .
б) 
n
n 1 (n  2)  3

Решение.
а) Ряд
является
степенным
(так
как
1
(2x  1) n  2n (x  ) n ), поэтому он сходится абсолютно в интервале
2
(2x  1) n 1
(2x  1) n
сходимости. Обозначим u n 
, тогда u n 1 
.
n 1
n
(n

1)

3
n 3

Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда  u n
n 1
достаточно потребовать, чтобы lim
n 
u n 1
u
 1 (при lim n 1  1 ряд будет
un
un
расходиться). Имеем
2x  1
2x  1
u n 1
(2x  1)n 1  n  3n
n
.
lim
 lim

lim

n  u
n  (n  1)3n 1 (2x  1) n
n  n  1
3
3
n
2x  1
 1 и расходится при
2x  1
 1. Решим
3
3
первое неравенство: 2x  1  3 ; –3 < 2x – 1 < 3; –2 < 2x < 4;
–1 < x < 2. Таким образом, (–1; 2) является интервалом сходимости
ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала.
 ( 3) n
 ( 1) n

При x = –1 получаем числовой ряд 
. Это
n
n 1 n  3
n 1
n
знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы
1
1
1
an  
 a n 1 ,
lim a n  lim  0 . Поэтому ряд
Лейбница:
n 
n  n
n n 1
 ( 1) n
сходится, и точка x = –1 принадлежит области сходимости.

n 1
n

 1
3n

При x = 2 получаем числовой ряд 
. Это гармонический

n
n 1 n  3
n 1 n
ряд, и он расходится. Следовательно, точка x = 2 не принадлежит
области сходимости степенного ряда.
Наш ряд сходится при
14
(2x  1) n
Итак, областью сходимости степенного ряда 
n 1
n  3n
полуинтервал [–1; 2).

(1) n 2n 1
x
б) Ряд 
является степенным. Обозначим
n
n 1 (n  2)3
(1) n x 2n 1
(1) n 1 x 2(n 1)1 (1)n 1 x 2n 3
un 

, тогда u n 1 
.
(n  2)3n
(n  2  1)3n 1 (n  3)3n 1
Имеем
u n 1
x 2n 3 (n  2)3n
x2
n  2 x2
lim
 lim 2n 1
 lim
 .
n 1
n  u
n  x
n  n  3
(n

3)3
3
3
n

является
x2
 1 или x  ( 3; 3) . Исследуем ряд на
Ряд будет сходиться при
3
сходимость на концах интервала, т.е. при x   3 .
 ( 1) n (  3) 2n 1
 ( 1) n 1
При x   3 получаем числовой ряд 
,
 3
n 0
n 0 n  2
(n  2)3n
являющийся знакочередующимся. Он сходится по признаку Лейбница,
т.к. абсолютные величины его членов монотонно убывают и
3
lim a n  lim
 0 . Следовательно, точка x   3 принадлежит
n 
n  n  2
области сходимости.
(1) n
При x  3 получаем числовой ряд 3 
и он тоже сходится по
n2
признаку Лейбница.
Таким образом, областью сходимости нашего степенного ряда является
отрезок [ 3; 3] .
6. Ряды Тейлора
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в
этой
точке
производные
любого
порядка
(бесконечно
дифференцируема). Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0
называется степенной ряд
 f (n) (x )
0
(x  x 0 ) n

n 0
n!
(при этом полагаем f (0) (x)  f (x) ).
15
Теорема 10. Если степенной ряд
интервале
(x 0  R; x 0  R)
сходится

 Cn (x  x 0 )
n
n 0
к
функции
в некотором
f(x)
(т.е.

f (x)   Cn (x  x 0 ) n ), то этот ряд является рядом Тейлора этой
n 0
f (n) (x 0 )
функции, т.е. Cn 
. Тогда получим
n!
 f (n) (x )
0
(7)
f (x)  
(x  x 0 ) n .
n 0
n!
Не для всякой бесконечно дифференцируемой функции f(x) ряд
Тейлора этой функции сходится к f(x). Достаточное условие для этого
даёт следующая теорема.
Теорема 11. Если f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой
окрестности точки x0 и существует такая постоянная величина M , что
для любых n  N и x из этой окрестности f (n ) (x)  M , то f(x)
разлагается в ряд Тейлора:
 f (n) (x )
0
f (x)  
(x  x 0 ) n .
n 0
n!
Известны следующие разложения некоторых элементарных функций в
ряд Тейлора (в скобках указана область сходимости ряда):
(  1) 2 (  1)(  2) 3
(1  x)  1  x 
x 
x 
2!
3!
(  1)(  2) (  n  1) n

x  ,
( x  1) ;
n!
1
 1  x  x 2  x3   xn  ,
( x  1) ;
1 x
1
 1  x  x 2  x 3   (1) n x n  , ( x  1) ;
1 x
x x 2 x3
xn
x
e  1    
 ,
(   x  ) ;
1! 2! 3!
n!
2n
x2 x4 x6
n x
cos x  1  
   (1)
 ,
(   x  ) ;
2! 4! 6!
(2n)!
x3 x5 x7
x 2n 1
n
sin x  x      (1)
 , (   x  ) ;
3! 5! 7!
(2n  1)!
16
n
x 2 x3 x 4
n 1 x
ln (1  x)  x      (1)

2
3
4
n
3
5
7
2n 1
x
x
x
x
arctgx  x      (1) n

3
5
7
2n  1
, ( x  1) ;
, ( x  1) .
Пример 11. Разложить функцию f (x)  ex sin x в ряд Тейлора по
степеням x.
Решение. 1 способ. Разложить функцию по степеням x означает,
что её нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0= 0. Для
этого найдём производные заданной функции и их значения в точке
x0 = 0. Займёмся этим.
f (x)  ex sin x , f (0)  0 ;


f (x)  e x (sin x  cos x)  e x 2 sin(x  ), f (0)  2 sin ;
4
4



f (x)  e x 2(sin(x  )  cos(x  ))  e x ( 2) 2 sin(x  ) ,
4
4
2
2
f (0)  ( 2) 2 sin ;
4
3
3
f (x)  e x ( 2)3 sin(x  ) , f (0)  ( 2) 3 sin ;
4
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
n
f (n ) (x)  e x ( 2) n sin(x  ) ; f (n ) (0)  ( 2) n sin .
4
4
(n)
Найденные значения f (0) подставим в (7), это даст нам требуемое
разложение f(x) по степеням x:
n
n
(
2)
sin

4 xn .
f (x)  
n 0
n!
2 способ. Воспользовавшись записанными выше разложениями
функций ex и sinx, имеем
 x x 2 x3

xn
x
e sin x  1     
 
n!
 1! 2! 3!


x3 x5 x7
 x    
3! 5! 7!

x 2k 1
 (1)

(2k  1)!
k
17



x2  1 1  3  1
1
1 5 1
1
1 6
 x     x   
 x   
 x 
 5!  3!2 5! 
1!  2! 3! 
 5! 2! 3! 4! 


Замечание. В последнем примере мы поставили знак равенства между
самой функцией f (x)  ex sin x и её рядом Тейлора. Вообще говоря, это
требует обоснования. Сформулируем ещё одно достаточное условие для
сходимости ряда Тейлора функции f(x) к самой функции f(x) (более
сильное, чем теорема 11).
Теорема 12. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке
[x 0  ; x 0  ] и бесконечно дифференцируема на (x 0  ; x 0  ) .
Обозначим M n 
sup
x(x 0 ; x 0  )
f (n) (x) . Если
M n  n
(8)
lim
 0,
n 
n!
то ряд Тейлора функции f(x) на промежутке  x 0  ;x 0    равномерно
сходится к f(x):
 f (n) (x)
f (x)  
(x  x 0 ) n .
n 0
n!
n 1
M 
(При этом R n (x)  n 1
).
(9)
(n  1)!
Покажем, что для функции f (x)  ex sin x из примера 11 выполняется
условие (8) при любом конечном . Действительно, f (n ) (x)  e ( 2) n ,
отсюда M n  e ( 2) n . Несложно доказывается, что
e ( 2) n n
( 2) n

lim
   e lim
 0,
n 
n 
n!
n!
откуда и следует справедливость вышеупомянутого равенства.
Пример 12. Разложить функцию ln(3  4x) в ряд Тейлора по
степеням (x  2) , используя разложения основных элементарных
функций.
Решение. Выражение, стоящее под знаком логарифма,
преобразуем таким образом, чтобы выделить выражение (x  2) :
(3  4x)  [3  4(x  2  2)]  [3  4(x  2)  8]  [11  4(x  2)] 
4
 11[1  (x  2)] .
11
Тогда
18
ln(3  4x)  ln[11(1 
4
4
(x  2))]  ln11  ln[1  (x  2)] 
11
11
 ln11  ln(1  u) ,
4
где u   (x  2) . Теперь воспользуемся разложением в ряд Тейлора
11
для функции ln(1  u) при u  1:
(1)n 1  4

ln(3  4x)  ln11  
 (x  2)  

n 1
n  11

n
n
  4 
11
(x  2)
, x2  .
 ln11     
n 1  11 
4
n
n

 19 3 
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости   ;  .
 4 4
 ( 1) n
19
При x  
получаем знакочередующийся ряд ln11  
,
n 1
4
n
3
сходящийся согласно признаку Лейбница. При x 
получаем
4
гармонический ряд, который, как известно, расходится. Таким образом,
 19 3 
полученный степенной ряд сходится на промежутке   ;  .
 4 4
Пример 13. Разложить функцию f (x)  (x  tgx)cos x в ряд
Тейлора в окрестности точки x 0  0 , используя разложение основных
элементарных функций.
Решение. Заданную функцию преобразуем следующим образом:
(x  tgx)cos x  xcos x  sin x .
Воспользовавшись известными разложениями в ряд Тейлора функций
cos x и sin x , получим
2n
 x2 x4 x6

xn
n x
x cos x  sin x  x 1  
  
  (1)
 
2! 4! 6!
n!
(2n)!




3x 3 x 3 5x 5 x 5
x3 x5 x7
x 2n 1
n
 
 
  x      (1)
 
3!
3!
5!
5!
3!
5!
7!
(2n

1)!



2n  1 2n 1
x 2n 1
n
 (1)
x
 (1)

(2n  1)!
(2n  1)!
n
19
2x 3 4x 5 6x 7




3!
5!
7!

2n
 x 2n 1 
(2n  1)!
Так как ряды Тейлора для cosx и sinx сходятся при любых значениях x,
то и полученный ряд функции f(x) будет сходиться для любых x.
(1)n 
1
в ряд Тейлора
x 2  3x  2
x 0  1 , используя разложение основных
Пример 14. Разложить функцию f (x) 
в окрестности точки
элементарных функций.
Решение. Заданную функцию разложим на сумму простейших
дробей:
1
1
1
1
.



x 2  3x  2 (x  1)(x  2) x  2 x  1
Полученные слагаемые можно представить в виде
ï î ëüçóåì ñÿ ðàçëî æåí èåì 
1
1
1
1
=
f1 (x) 

 

1

x  2 x 1 3
3 1  x  1 ô óí êöèè

1 x

3
2
3
 (x  1) n

1  x 1  x 1  x 1
  1 

,
 
     n
n 1

0
3 
3
3
 3   3 

1
1
1
1
1


 

x  1 1  x 2  (x  1) 2 1  x  1
2
2
3
  (x  1) n
1  x 1  x 1  x 1
 1 

.
 
    n
n 1

0
2 
2
2
 2   2 

Отсюда
 (x  1) n
 (x  1) n
f (x)  f1 (x)  f 2 (x)    n 1  

n 0
n 0
3
2n 1
  1
1 
   n 1  n 1  (x  1)n .
n 0  2
3 
Осталось выяснить интервал сходимости последнего ряда. Он является
пересечением областей сходимости рядов Тейлора для функций f1 (x) и
x 1
x 1
f 2 (x) , т.е. множеств, задаваемых неравенствами
1 и
 1.
3
2
Это пересечение даёт 3  x  1.
f 2 (x)  
20
Пример 15. Вычислить e0,1 с точностью до   0,001.
Решение. Для вычисления приближённого значения функции
f (x)  ex воспользуемся её разложением в ряд Тейлора в окрестности
точки x 0  0 , при этом возьмём конечное число членов ряда, а
возникающую при этом погрешность оценим с помощью остаточного
члена ряда. Имеем
0,12 0,13
0,1n
0,1
(10)
e  1  0,1 

 

2!
3!
n!
Определим сколько членов ряда (10) нужно взять, чтобы обеспечить
требуемую точность. Для этой цели воспользуемся формулой (9):
e0,1  0,1n 1
R n (x) 
,
0  x  0,1 .
(n  1)!
Учитывая, что e0,1  2 , получим
2  0,1n 1
R n (x) 
.
(n  1)!
Потребуем, чтобы дробь в правой части была меньше   0,001 (тогда и
погрешность будет меньше  ):
2  0,1n 1
1

,
(n  1)! 1000
или (n  1)!  2 102n . Для выполнения последнего неравенства
достаточно взять n = 2: (2  1)!  6, 2 1022  2 . Следовательно,
0,12
0,1
e  1  0,1 
 1,105 .
2!
Пример 16. Вычислить
630 с точностью   0,0001 .
Решение. В данном случае мы воспользуемся рядом Тейлора для
функции (1  x) при   1/ 2 . Предварительно выполним следующие
преобразования:
1
5
1 12
630  625  5  625(1 
)  25(1 
)  25(1  0,008) 2 .
625
125
Так как
21
1
2
x x 2 x 3 5x 4
(1  x)  1    

2 8 16 128
,
то
 0,008 (0,008) 2 (0,008)3
1 12
25(1 
)  25 1 



125
2
8
16




= 25 + 0,1 – 0,002 + 0,0000008 – 
Полученный
ряд
является
знакочередующимся.
Поэтому,
ограничившись первыми тремя членами последнего ряда, мы достигнем
погрешности, по абсолютной величине не превышающей четвёртого
члена прогрессии, что обеспечивает требуемую точность. Итак,
630  25  0,1  0,0002  25,0998 .
Пример 17. Вычислить значение cos100 с точностью   0,0001.
Решение.
Переведём
градусную
меру
в
радианную
10 
 :
воспользуемся рядом Тейлора для cosx при x 0  0 и x 
180 18
и

 1  1
cos10  cos  1   
 

18
18
2!
18
4!
 
 
2
4
0
Полученный числовой ряд является знакочередующимся и
удовлетворяет условиям Лейбница. Поэтому для достижения нужной
точности можно остановиться на том члене, который по абсолютной
величине меньше . В данном случае это третий член:
1
   1 1 1
 0,0001 .
      
18
4!
5
4!
15000
 
 
4
4
Таким образом,
1
 1
cos10  1   
 1  (0,1745) 2  0,9848 .
2
 18  2!
2
0
22
0,1
Пример 18. Вычислить приближённо интеграл 
0
ln(1  x)
dx ,
x
используя известные разложения элементарных функций, с точностью
до 0,001.
Решение. Имеем
1
1
x 2 x3 x 4
ln(1  x)   x    
x
x
2
3
4
1
x x 2 x3
ln(1  x)  1  
 
x
2 3
4

,

x  1;
x  1.
,
Ряд сходится в интервале интегрирования (0; 0,1)  (1;1) . Поэтому
0,1 
ln(1  x)
x x2 x3
dx   1  
 

x
2 3
4
0
0 


x 2 x3 x 4
 dx   x    
4
9 16


0,1
0,1

 
0
0,12 0,13 0,14
 0,1 



4
9
16
Получим знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям
теоремы Лейбница. Поэтому заданную точность   103 можно
обеспечить, взяв три члена полученного ряда. Следовательно,
ln(1  x)
0,12 0,13
dx  0,1 

 0,098 .

x
4
16
0
0,1
Пример 19. Найти первые четыре ненулевые члена разложения
решения дифференциального уравнения в степенной ряд
y  2xy  4y  0,
y(0)  0 , y(0)  1.
Решение. Будем предполагать, что неизвестная функция,
являющаяся решением дифференциального уравнения, представима
степенным рядом
y(0)
y(0) 2 y(0) 3
y(x)  y(0) 
x
x 
x 
1!
2!
3!
23
y (n) (0) n

x 
n!
, (11)
коэффициенты которого определяются путём последовательного
дифференцирования
исходного
уравнения
и
y  2xy  4y
подстановкой в него x  0, y(0), y(0) и найденных позже значений
y(0), y(0), . Итак, имеем: y(0)  0, y(0)  1,
y(x)  2xy  4y ,
y(0)  2  0(1)  4  0  0 ;
y(x)  (2xy  4y)  2y  2xy  4y  2xy  6y ,
y(0)  6 ;
yIV (x)  (2xy  6y)  2y  2xy  6y  2xy  8y ,
yV (x)  (2xy  8y)  2xyIV  10y ,
yIV (0)  0 ;
yV (0)  60 ;
yVI (x)  (2xyIV  10y)  2xyV  12yIV ,
yVI (0)  0 ;
yVII (x)  (2xyV  12yIV )  2xyVI  14yV ,
yVII (0)  840 .
Осталось подставить найденные значения в ряд (11):
6
60
840 7
y(x)   x  x 3  x 5 
x  ,
3!
5!
7!
5
7
x
x
y(x)   x  x 3    .
2
6
7. Ряды Фурье
Система непрерывных на отрезке [a; b] функций 1 (x), 2 (x),
3 (x),
, n (x), называется ортонормированной, если
b
0 ï ðè m  n,
1 ï ðè m  n.
 m (x) n (x)dx  
a
Примером ортонормированных систем являются:
1
cos x sin x cos 2x sin 2x
cos nx sin nx
1)
,
,
,
,
, . . .,
,
,...
2






на отрезке [– ;  ];
cos nx sin nx
1 cos x sin x cos 2x sin 2x
2)
,
,
,
,
, ... ,
,
, ...
T/2
T/2
T/2
T/2
T/2
T/2
T
на отрезке [a; b ]; здесь T = b – a,   2 / T ;
3) система полиномов Лежандра
24
(1)n 2n  1 d n
P0 (x)  1 , Pn (x)  n 
 n (1  x 2 ) n , n = 1, 2, 3, ...
2
2
dx
на отрезке [–1; 1 ].
Имеется множество других примеров ортонормированных систем
функций. Ортонормированные системы функций играют роль
ортонормированного базиса в некотором пространстве Гильберта
функций, определённых на промежутке [a, b ]. Любой функции f(x) из
этого пространства ставится в соответствие ряд

f (x) ~  Ck k (x) ,
(12)
k 1
где Ck находится по формуле
b
Ck   f (x)k (x) dx , k = 0, 1, 2, ....
(13)
a
При этом коэффициенты Ck, вычисляемые по формулам (13),
называются коэффициентами Фурье функции f(x), а ряд (12) – рядом
Фурье функции f(x). Важную роль играют полные ортонормированные
системы функций. Говорят, что функция f(x), определённая на
промежутке [a; b], является функцией с интегрируемым квадратом, если
2
f(x) и  f (x)  интегрируемы на [a; b] (интеграл может быть и
несобственным).

Теорема 13. Пусть k (x)k 0 – ортонормированная система
функций на промежутке [a; b]. Следующие утверждения равносильны:
1) для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом справедливо
равенство
b
  f (x) 
2

dx   C 2k ,
k 0
a
где Ck – коэффициенты Фурье по системе k (x)k 0 ;
2) для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом

b


2
lim  f (x)    C k k (x)  dx  0
n  a
n
k 0
(при выполнении этого равенства говорят, что ряд Фурье функции f(x)
сходится к f(x) в среднем);
3) если f(x) – функция с интегрируемым квадратом и для любого k
b
 f (x)k (x)dx  0 , то f (x)  0 .
a
Ортонормированная система функций, обладающая любым из условий
1), 2), 3) (а следовательно, и двумя другими), называется полной.
25
Приведённые выше примеры ортонормированных систем функций
обладают свойством полноты.

Если k (x)k 0 – полная ортонормированная система функций, то
для любой функции с интегрируемым квадратом на [a, b] знак «~» в
формуле (12) можно в некотором смысле заменить на «=» (фразу «в
некотором смысле» проясняет пункт 2) в формулировке теоремы 13).
Будем говорить, что функции f(x) и g(x) с интегрируемым квадратом на
[a, b] равны в смысле среднеквадратичного отклонения, если
b
2
 (f (x)  g(x)) dx  0 ,
a
и будем при этом писать f(x) =c.o. g(x).

Теорема 14. Пусть k (x)k 0 – ортонормированная система
функций на [a; b] и пусть f(x) и g(x) – функции с интегрируемым
квадратом на [a;b]. Тогда f(x) = c.o. g(x) на [a; b] в том и только в том
случае, если коэффициенты Фурье функций f(x) и g(x) совпадают.
Чаще других применяют тригонометрическую ортонормированную
систему
cos nx sin nx
1 cos x sin x cos 2x sin 2x
,
,
,
,
, ... ,
,
, ...
T/2
T/2
T/2
T/2
T/2
T/2
T
на [a; b], T = b – a,   2 / T . Ряд Фурье по системе этих функций
обычно называют тригонометрическим рядом Фурье:

a
f (x) ~ 0   (a n cos nx  b n sin nx) ,
2 n 1
2b
a n   f (x)cos nxdx , n = 0, 1, 2, ... ,
Ta
2b
n = 1, 2, 3, ...
bn   f (x)sin nxdx ,
Ta
Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a; b],
если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов
(a; b1 ), (b1 ; b 2 ), (b 2 ; b3 ), ,(b n ; b) , в каждом из которых f(x) монотонна.
Аналогично определяется понятие кусочно-непрерывной функции при
этом слово «монотонность» заменяется на «непрерывность».
Теорема 15 (Дирихле). Если функция f(x), определённая на
отрезке [a;b], является на нём кусочно-непрерывной, кусочномонотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд сходится во
всех точках отрезка [a;b] к некоторой функции S(x). Кроме того:
1) если x – точка непрерывности функции f(x), то S(x) = f(x);
26
2) если x – точка разрыва (устранимая или первого рода) функции
f(x), то
f (x  0)  f (x  0)
S(x) 
;
2
1
3) S(a)  S(b)  (f (a  0)  f (b  0) .
2
Пример 20. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию
 x  2,  2  x  0,
f (x)  
0  x  2.
 3,
Решение. Заданная функция кусочно-непрерывна, кусочномонотонна и ограничена на [–2, 2], следовательно, её можно разложить
в тригонометрический ряд Фурье. Найдём коэффициенты Фурье.
Имеем
T = 4,   2 / T   / 2 ,
2
12
1 0

a 0   f (x)dx    (x  2)dx   3dx   4 ,
2 2
2  2
0

2
12
n
1 0
n
n

a n   f (x)cos xdx    (x  2)cos xdx   3cos xdx  
2 2
2
2  2
2
2
0

2

(1  (1) n ) , n = 1, 2, 3, ... ,
2
(n)
2
12
n
10
n
n

bn   f (x)sin xdx    (x  2)sin xdx   3sin xdx  
2 2
2
2  2
2
2
0

1

(1  (1) n ) .
n
Таким образом,
 
2
n
1
n 
n
n
f (x) ~ 2   
(1

(

1)
)cos
x

(1

(

1)
)sin
x .
2
n 1  (n)
2
n
2 
Причём
f (x), åñëè x {2; 0; 2},

S(x)  5/ 2, åñëè x  0,
3/ 2, åñëè x  2 èëè x  2.

Пример 21. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию
f (x)  x , –1 < x < 2.
27
Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы
Дирихле. Ввиду непрерывности f(x) на (–1; 2)

a
f (x)~ 0   (a n cos nx  b n sin nx) .
2 n 1
2 2

Имеем T = 3,  
. Найдём коэффициенты an и bn:
T
3
2
2 0
2
22
20
x2
2 5 5
 2 x 
a 0   f (x)dx    (  x)dx   xdx      
   .
3 1
3  1
0
 3  2  1 2 0 3 2 3
2
22
20

a n   f (x)cos nxdx    ( x)cos nxdx   x cos nxdx  
3 1
3  1
0

1  2
4
3
2
3
4
3
,

sin
n

2sin
n

cos
n

cos
n

n 
3
3
2n
3
2n
3
n 
n = 1, 2, 3, ... ,
2
22
20

b n   f (x)sin xdx    ( x)sin nxdx   x sin nxdx  
3 1
3  1
0

1 
4n
2n
3 
2n
4n  


2cos

cos


sin

sin

 .
n 
3
3
2n 
3
43  
Таким образом,
5 
2n
2n 
–1 < x < 2,
f  x  ~    a n cos
 bn sin
,
6 n 1 
3
3 
где an, bn, n  1 найдены выше.
Если функция f(x), определённая на интервале ( ; ) и
удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, является чётной, то в её
разложении в ряд Фурье будут участвовать лишь косинусы:

a
n
f (x) ~ 0   a n cos x ,
2 n 1
т.е. все b k окажутся равными нулю. Если же f(x) является нечётной
функцией на ( ; ) , то её ряд Фурье будет содержать лишь синусы:

n
f (x) ~  b n sin
x.
n 1
28
y


0
x
Если ставится задача разложить функцию f(x), определённую на
интервале (0; ) в ряд по косинусам, то её доопределяют на интервале
( ; 0) чётным
образом и разлагают новую функцию f1(x) в тригонометрический ряд
Фурье на интервале ( ; ) ; этот ряд Фурье будет содержать лишь
косинусы. Ввиду того, что f(x) и f1(x) совпадают на (0; ) , при этом
получается разложение функции f(x) в ряд по косинусам

a
n
f (x) ~ 0   a n cos x ,
2 n 1
где
2
n
a n   f (x)cos xdx .
0
Аналогично, если требуется разложить функцию f(x), определённую на
(0; ) в ряд по синусам, то f(x)
y
продолжают на ( ; 0) нечётным образом
и разлагают новую (нечётную) функцию
f2(x) в тригонометрический ряд Фурье на
интервале ( ; ) ; этот ряд будет
содержать лишь синусы. В результате
x


0
получим разложение f(x) в ряд по
синусам:

n
f (x) ~  b n sin
x,
n 1
где
2
n
bn   f (x)sin xdx .
0
 x
 , определённую на
4 2
интервале (0; ) , в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.
Пример 22. Разложить функцию f (x) 
29
2   x 
Решение. а) a 0      dx  0 ,
 0 4 2 
2   x 
1  (1) n
.
a n      cos nxdx 
2
 0 4 2 
n
Запишем разложение f(x) в ряд по косинусам:
 1  ( 1) n
 cos(2n  1)x
f (x) ~ 
cos
nx

2
,
0 < x < .

2
n 1
n 0 (2n  1)
n 2
2   x 
(1) n  1
б) b n      sin nxdx 
.
 0 4 2 
2n
Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье по синусам:
 ( 1) n  1
 sin 2nx
,
0 < x < .
f (x) ~ 
sin nx  
n 1
n

1
2n
2n
y
2
1
0
1 2 3
x
Пример 23. Разложить на интервале (0; 3) в
тригонометрический ряд Фурье только по
косинусам и только по синусам функцию f(x),
заданную графиком.
Решение. Найдём аналитическое выражение
заданной функции, а затем поступим так же, как в
предыдущем примере.
0  x  1,
0,

f (x)  2(x  1), 1  x  2,
2,
2  x  3.

Находим коэффициенты an и bn:
3
23
22

a 0   f (x)dx    2  x  1 dx   2dx   2 ,
30
31
2

3
23
n
2 2
n
n

a n   f (x)cos xdx    2  x  1 cos xdx   2cos xdx  
30
3
3 1
3
3
2

6 
2n
n 
n = 1, 2, 3, ... ,
 2 2  cos
 cos  ,
n 
3
3 
3
23
n
2 2
n
n

bn   f (x)sin xdx    2  x  1 sin xdx   2sin xdx  
30
3
3 1
3
3
2

2
4  3  
2n
n 
( 1) n 1 
    sin
 sin   3
.
3  n  
3
3 
n 
30
Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье только по косинусам

6 
2n
n 
n
f (x)  1   2 2  cos
 cos  cos x , 0 < x < 3
n 1  n 
3
3 
3
и разложение f(x) в ряд Фурье только по синусам
2
 4  3  

2n
n 
n
n 1
f (x)      sin
 sin   ( 1)  sin
x,
0 < x < 3.
n 1 3  n  
3
3
3



Ещё одним важным примером ортонормированной системы функций
является
e2ix eix 1 eix e2ix
,
,
,
,
,
,
T
T
T T
T
на отрезке [a;b]; здесь, как и прежде T = b – a,   2 / T . Любую
функцию, удовлетворяющую условиям теореме Дирихле, можно
разложить в ряд Фурье по этой системе (при этом справедлива теорема
Дирихле):

f (x) ~  Cn einx .
n 
(14)
Коэффициенты Фурье находятся по формуле
1b
Cn   f (x)einx dx .
Ta
Ряд (14) называется рядом Фурье в комплексной форме. При этом
между Cn и коэффициентами Фурье an, bn функции f(x)

ортонормированной
системы
cos nx, sin nxn0 существует
следующая связь:
a
a  ib n
a  ib n
C0  0 , Cn  n
, C n  n
.
2
2
2
Пример 24. Разложить функцию f(x) = x на интервале (0; ) в ряд
Фурье в комплексной форме.
Решение. В нашем случае T = ,  = 2. Имеем
C0 
1
1
f
(x)dx


 xdx   / 2 ,
0
0

1
1  i2nx
1 1
 i2nx
Cn   f (x)e
dx   xe
dx  
  xd(e  i2nx ) 
0
0
 2ni 0
31
i  i2nx   2inx 
i  i2n
1 2inx  

x
e

e
dx


e

0

e




0
0
2n 
2n


2in
0




i 
i 2in 0 
i 
i
i

.


e

e



(1

1)




 2n 

2n 
2n
2n
2n
Таким образом,
  i 2inx
f (x) ~  
e .
n

2
2n
n 0
Задание 1
Для заданного ряда: а) найдите сумму первых 4-x членов ряда;
б) докажите сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением
сходимости; в) найдите сумму ряда.

1
1) 
,
n 1 n(n  1)

1
2) 
,
n 1 (n  1)(n  3)

1
3) 
,
n 2 (n  1)n

1
4) 
,
n 1 (n  2)(n  4)

1
5) 
,
n 3 (n  2)(n  1)

1
6) 
,
n 3 (n  2)(n  1)

1
7) 
,
n 1 (2n  1)(2n  1)

1
8) 
,
n 4 n(n  3)

1
9) 
,
n 2 (n  1)(n  2)

1
10) 
,
n 1 (2n  21)(2n  3)

1
,
n 1 (n  1)(n  2)

1
,

n 1 (n  2)(n  3)

1
,

n 1 n(n  2)

1
,

n 1 (n  2)(n  5)

1
,

n 3 (n  2)n

1
,

n 2 (n  1)(n  1)

1
,

n 1 n(n  4)

1
,

n 4 (n  2)(n  3)

1
,

n 2 (n  1)(n  3)

1
,

n 1 (2n  1)(2n  1)
13) 
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
32
1  2n
 n ,
n 0 3
 2 n  3n
,

n 0
4n

3 n
,

n 1 n(n  1)(n  3)

2n  1
,
 2
2
n 2 n (n  1)

3
,

n 1 (3n  1)(3n  2)

11)
12)
25)
26)
27)

1
,
n 3 n(n  1)(n  2)

2
24) 
,
n 4 (n  1)(n  2)(n  3)

2
28) 
,
n 2 (n  1)n(n  1)
 1  3n
29)  n ,
n 0 5

8n
30) 
.
2
2
n 1 (2n  1) (2n  2)
23) 
Задание 2
Установите расходимость ряда, используя критерий Коши или
необходимый признак сходимости ряда.


n
1
1) 
,
12)  2
,
n 1 n  3
n 1 n(n  2)
n
2)  cos
,
n 0
3

1
3) 
,
n 3
(n  1)(n  2)

3n
13)  ,
n 0 n

n
14)  sin
,
n 0
7

n2
15)  3
,
n 1 n  n  1

n
16) 
,
n 1 n(n  1)

2n
17) 
,
n 1 3n  1
n
4) 
,
n 1 n(n  1)(n  2)

n!
5)  2
,
n 1 n  1
n
6) 
,
n 1 3n  1

n
7) 
,
n 1 (n  1)(n  2)
n2
8) 
,
2
n 1 (2n  1)


n
9) 
,
n 1 100n  1




18)  (1  (1)n ) ,
n 0
(n  1)!
,
n 1
n 1 3

19) 
 n 1 
20)  
 ,
n 1  n  1 

33
2

n
10) 
,
n 1 n  1

11)  n cos ,
n 12
n
 n 1
23)  2
,
n 0 n  2

2
4n
21) 
,
2
n 0 (n  1)

22)
27)

ln n
,
n 1 n
24) 
28)
2
 n! 
25)   n  ,
n 1  3 

n
26) 
,
n 3 (n  12)(n  2)

 2n  1 

 ,
n 0  2n  1 

n
,

n 1 2n 
n
n
  n 1 

 ,
n 1  n  2 

n2  1
,
 2
n 0 n  5n  2
 n  100
.

n 1 n(n  10)
n

29)
30)
Задание 3a
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения.
 arctgn
 sin(  / 3n )
1) 
,
11)  3
,
n 1 n  5
n 1
4n 2
 arctg 2n  1

 n2 
2)  ln  2
12) 
,
,
3
2
n 1
n

1
n

9
n



3) 
,
n4  2
 ln((n  1) / n)
,

n 1
n2  4

3sin n
,
3
n 1 n  1

3 n
 3 2 5 4,
n 1 2 n 
n
 1
1
sin ,

n 1 n
n

2
,

n 2
n(n  1)(n  2)
n 1
4)
5)
6)
7)
8)
sin(n / 3)

13) 
,
n15  2
   cos n
 7 5 ,
n 1
n
 n 2 cos 2 (n  1)
,

n 1
n4  7
 2  sin 2 n
,
 5 6
n 1
n 1
 3cos( n / 4)
,

n 1 5 n  1

3
 tg 3 2 ,
n 1
n 1
n 1
14)
15)
16)
17)
18)
4  3 2n  1
34
8

9) 
1 

n 4 ln 1  3

 n 2
 1  2n
10)  n
,
n 1 3  2
n 1

21) 
n 1
n 3  3 3n  1
5
2
8cos n
19) 
,
n 1 3n  2

1
8
,

5
,
7
n 1 sin(3/ n )
20) 

,
4 n
 2


22)  2 sin (3  (1) n )  ,
n 1 n
4


n
23) 
,
n 1 3 3  n 7
ln((n  1) /(n  3))
,
n 1
arctgn
 cos( n / 4)
25)  3
,
n 1
n n
26) 
27)
28)
29)
30)
,
2n  3

n2
,
 4
n 1 n (2  cos( n / 3))

2
,
 2
n 1 n arctg 3 n 2
3

n n
,
7 2
n 1 n  3n  5

1
.
 3
n 1 n arctg n
3
n 1

24) 
arctg(n 3 / 3)
Задание 3б
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения.


n 1
2n  1
1) 
,
10)  3
,
n 1 n  2
n 1 n 
n 2
n n 4
,
 3
n 1 n  2n  5
 3 n 8
,

n 1 4n  5
 n3 n  2
,
 2
n 1 n  n  1

n2
,
 2
3
n 1 n
n  n 1
 n 2  3n  1
,
 3
n 1 n
n 4

2)
3)
4)
5)
6)

11) 
n 1

12) 
n 4
,
n2  7
3
n2
,
n n 6
 n2 n 1
13)  4
,
n 1 n  5n  1

4n  1
14)  3
,
n 1 n n  5n  2
 n2  n n  2
15)  3
,
n 1 n  3n  4
n 1
35
n 3
7)  2
,
n 1 n  2n  3

n2  n  5
8)  4
,
2
n 1 2n  n
n 2
2

n n9
9)  2 3
,
n 1 n
n n 5
 n n n4
19)  3
,
2
n 1 n  n  7
 3 n 3
20) 
,
n 1 2n  7

2n  3
21) 
,
n 1 n 3 n 2 
n 1
 n 
n 4
22)  2
,
n 1 2n  3n  1

2n  1
23)  3
,
n 1 n  n n  1

5n 2  n  2
24)  3
,
n 1 6n
n  n2 1

3n  2
,
n 1 n n  5n  1
 n 4 n  n 1
,
 2
n 1 n  3n  7
 n 3 n
,
 2
n 1 n  6

n2  n 1
,
 3
2
n 1 n  3n  4n  2
 n 4 n  3n  1
,
 2
n 1
n n 5
 5n 2  n  1
,
 3
n 1 3n
n 2
3

n 2
,
 4
n 1 n n  n  1
 4n n  1
,
 3
n 1 n  n  3
 n2 n  n  2
.

n 1 n 3 3 n 2  n  1

16) 
17)
18)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 4
Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера.
 2 n  n!
 (n!) 2
1)  2 ,
9) 
,
n 1 (n  1)!
n 1 3n
(n  2)!
2)  n
,
2
n 1 2  (n!)

5
n3
3) 
,
n 1 (2n  1)!

(n  1)!
4)  n
,
2
n 1 (2  1)(n!)
 2 n  n!
5)  n 2 ,
n 2 n

5n  n!
10)  n ,
n 1 n

(n  2)!
,
n 1
n n 1
 (2n)!
12) 
,
2
n 1 (n!)

(2n)!
13)  n
,
2
n 1 (5  1)(n!)

11) 
36
32n
6) 
,
n 1 (2n)!
 6 2n
7) 
,
n
n 1 n! 3
 (n 2  1)  32n
8) 
,
2
n 1 ((n  1)!)
 7 2n (n  1)!
17) 
,
n 1
(2n) n
 3n (n!) 2
18) 
,
n 1 (3n)!
 (n!) 2
19)  2
,
n 1 3n  n n

n 2n
20) 
,
n 1 (2n  1)!
 2 n 1  n n
21)  2
,
n 1 n  n!
 (n  2)!
22)  n
,
n 1 4 (2n)!
 n2  nn
23) 
,
n  2 (n  1)!

nn
,

n  2 (n  1)!
 (2n  1)!
,

2
n
n 1 (n!)  2

nn
,
 n
n 1 5 (n  1)!
 (3n  4)  n n
,

n 1
(n  2)!
 (3n) n
,

n 1 (n  1)!
 3n 1  (n 2  1)
,

n 1
(n  2)!

5n  n!
,

n 1 (2n  1)!

nn
,
 n
n 1 2  n!

53n
,

2
n 1 ((2n)!)

n!
.

n
n 1 (n  1) (2n  1)!

14)
15)
16)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 5
Исследуйте сходимость ряда с помощью радикального признака
Коши (в некоторых случаях следует воспользоваться тем, что
lim n n  1).
n 
 n2
 2n 
1)  
 ,
n 1  n  3 
2n 1
 
1 
2)  
 ,
n 1  2n  1 

n3
 n 
3)  
,

n 1  2n  5 

n4
1 1

7)  1  3  n ,
n 1 
n  2
n
 
1  3n  1 
8)  1  
 ,
n 1 
n  2n  1 


9)  n sin n
n 1
37

,
2n
3n 1
4) 
,
n
n 1 (2n)
n2
10) 
,
n
n 1 (log 2)
3
n

3 1
11) 
,
n
n 1 (3n  1)


5)  n 2 (arctg
n 1

 n
) ,
3n
n 2 1
 n2 
6)  
 ,
n 1  3n  1 
 (sin(  / 2n)) n
13) 
,
n 1
n
 4n  1  n
12)  
,

n 1 
n  2n
n

2


22)  n 2   2  ,
n 1
n

3n 2
14)  2n ,
n 1 n
 5n 
23)  

n 1  3n  2 



 n 1 
15)  3  2

n 1
 n 5

2
n 2  2n
n
 n  2  2n
16)  
,

n 1 
n  3n

 n2 
26)   2

n 1  n  1 

3n 2
 1  n  2 
18)   

n 1  e 
n 
n

 2n 
19)  n 
 ,
n 1  3n  1 

n2
n2
20)  en 
 ,
n 2
 n 1 


21)  n(log5 2)n ,
n 1
n
 n2 
25)  

n 1  2n  1 
3
,
n 2
n 1 n
17) 
,
2

n 1
n 2
 n 1 
24)  (n  1) 
 ,
n 1
2n

3



,
n2

n

2n 2 1
,
n 3 1
,

,
27)  en 1  2 n ,
n 1


28)  n  arctg  ,
n 1 
3n 
n

n2
 n 
29)  5n 2 
 ,
n 1
 n 1

 n3
30)  

n 3  n  2 

n 2 1
.
Задание 6
Исследуйте сходимость ряда с помощью интегрального признака
Коши.
 3n  2

1
1) 
,
4) 
,
2
n 1 4n
n 1 (n  2)ln(n  2)
38

1
,
n 1 n ln 2n  ln(ln 2n)

1
3) 
,
2
n 1 (n  2)  1
2) 

7) 
n 1

n
e
n2
,
arctgn
,
2
n 1 1  n

1
9) 
,
n  2 n ln n

1
10)  2
,
n 1 n  4n  13

1
11)  2
,
n 1 n  2n  3

2n 3
12) 
,
8
n 1 9  n

2n  5
13)  2
,
2
n 1 (n  5n  2)
 1
14)  2 e 1/ n ,
n 1 n

n2  1
15)  3
,
n 1 n  3n  3

3n
16) 
,
2
n 1 4  n

2
17)  2
,
n 1 n  8n  7

1
18) 
,
n 1 (n  3)ln(n  3)
8) 

1
,
2
n 1 (n  1)ln (n  1)

1
6) 
,
n 1 2
2 1
n sin
n

1
19) 
,
n 1 3
2 1
n cos 2
n
 e n
20) 
,
n 1
n

1
21)  2
,
n 1 n  6n  10

1
22) 
,
n  2 n ln n

2n
23) 
,
4
n 1 5  n

3n
24) 
,
n 1 n 2  2

1
25)  2
,
n 1 n  2n  5

1
26)  2
,
n 1 n  6n  7

1
27) 
,
3
n  2 n ln n

3n 2  4
28) 
,
2
3
n 1 cos (n  4n  3)

4
29)  2
,
n 1 n  4n  8

1
30) 
.
2
n  2 n  ln n
5) 
39
Задание 7
Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость.


3n
2
n 1
n
(

1)
1)  (1)
,
4)
,

n 1
n 1
3n  2
(5n  2) n
(1) n 1
2)  n
,
n 1 5  2
 ( 1) n
3) 
,
n 1 n 2  1
n
2

n  n  n 1 
7)  (1)  2
 ,
n 1
2n

n

1



(1) n 1 n
8) 
,
n 1
3n  1

2n  1
9)  (1) n 2
,
n 1
n 1
n

n 1 2  1
10)  (1)
,
n 1
3n  1

ln n
11)  (1) n 1
,
3
n 1
n
n

(1)
12) 
,
n 1 n 2n  1

2

13)  (1)n ln 1  2  ,
n 1
 n 
 ( 1) n 1 2 n 1
14) 
,
n 1
nn

n3
15) 
,
n
n 1 ( 3)

(n)n
16) 
,
n
n 1 (n  1)
2n  1
 ( 2) n 1
17) 
,
n 1
n 1 (n  1)
n 1
,
n 1
n2  1
 ( 1) n n 3
6) 
,
n 1
8n

5)  ( 1) n
(1)n 1 (n  2)
19) 
,
n 1
4n

( 2) n 1
18) 
,
n 1 (n  1)!

(1) n (n 2  1)
,

n 1
n3

n 1 (n  1)!
,
 (1)
n 1
3n  n!


n 1
 (1) sin 3 ,
n 1
n
n

1
 ( 1)
,

n
n 1 (2n  1)
 ( 1) n 1
,

n
n 1 n  3

3n  1
n 1
,
 (1)
n 1
n 2 (n  1)2
 ( 1) n
,

n 1 n  2
 ( 1) n 1
,

n 1 3n  2

(1) n
,

2
n 1 (2n  1)


20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)

29)  (1) n 1
n 1
2n  1
,
3n  2
2
n
n 1 3
30)  (1)
.
n 1
n!

40
Задание 8
Найдите область сходимости степенного ряда


(x  1) n
(3x  2) n
1) 
,
3) 
,
2
n
n
n 1 (3n  1)  3
n 1 (2n  1)  4
(x  3) n
2) 
,
2
n 1 2n  1
 (2x  1) n
5) 
,
n 1
5n
 (3n  1)(x  3) n
6) 
,
2
n 3
n 1 (n  1)  2
 n 2 (x  3) n
7) 
,
n 1
n3  1
 n(2x  5) n
8)  2
,
n
n 1 (n  2)  3
 (x  2) 2n
9) 
,
n
n 1 (n  3)  2

(x  2) n
10) 
,
n
n 1 (2n  1)  3
 4 n (x  1) 2n
11) 
,
n 1
n

n(x  5) n
12) 
,
n
n 1 (3n  2)  2
 (3n  2)(x  3) n
13) 
,
2
n 1
n 1 (n  1)  2

n xn
 n,
14) 
n 1 n  1 3
 xn
15)  ,
n 1 n!
 (x  3) n
16)  2 n ,
n 1 3n  2
 ( 1) n 1  x n
17)  n 1
,
n 1 3
 (n  2)

(x  3) n 3
4) 
,
2
n 1 n  3
2n

n 1 (x  2)
18)  (1)
,
n 1
9n
 (x  5) 2n 1
19)  n 2
,
n 1 2 (n  1)

(3x  1) n
20)  2
,
n
n 1 (n  1)  2

x 2n
21)  n
,
n 1 5  n  4

x 2n 1
22) 
,
n 1 (2n  1)!
 (x  5) 2n 1
23) 
,
n 1
3n  8
 (3x  1) n
24)  n
,
n 1 2  n

(x  2) n
25) 
,
n
n 1 (3n  1)  2

(x  1) n
26)  2
,
n
n 1 (n  3n  2)  3
 (x  8)3n
27) 
,
n 1
n2
 ( 1) n 1 x n
28)  n 1
,
n 1 3
n

(x  1) n
29) 
,
2
n
n 1 (2n  1)  5
 (x  2) n
30) 
.
n
n 1 n  6

41
Задание 9
Запишите три первых ненулевых члена разложения функции f(x) в
окрестности указанной точки x0 в ряд Тейлора.
1) f (x)  sin x 2 , x 0   / 2 ;
2) f (x)  xesin x , x 0   ;
3) f (x)  ln(2  2x  x 2 ) , x 0  1 ;
4) f (x)  tgx , x 0   / 4 ;
5) f (x)  cos2 x , x 0   / 2 ;
6) f (x)  (ln(1  x  x 2 ) , x 0  1 ;
7) f (x)  1/ sin x , x 0   / 2 ;
1 x
8) f (x)  ln
, x 0  1;
2x
9) f (x)  1/ cos x , x 0  0 ;
10) f (x)  x ln(2  x 2 ) , x 0  1 ;
11)
12)
13)
14)
2
f (x)  e x x , x 0  1 ;
f (x)  arcsin x , x 0  1/ 2 ;
f (x)  xe , x 0   / 2 ;
f (x)  arccos x , x 0  1/ 2 ;
15) f (x)  3  x 2 , x 0  1 ;
16) f (x)  x ln x , x 0  1 ;
17) f (x)  3 7  x , x 0  1 ;
18) f (x)  sin 2x cos3x , x 0  0 ;
19) f (x)  (1  x 2 )ex1 , x 0  1 ;
20) f (x)  1/ 10  x , x 0  1 ;
21) f (x)  x sin x , x 0   / 6 ;
22) f (x)  sin x / x , x 0   / 2 ;
23) f (x)  ln(4  x  2x 2 ) , x 0  1 ;
24) f (x)  sin x  cos2x , x 0  0 ;
25) f (x)  (x  1) / cos x , x 0  0 ;
26) f (x)  3 3  2x , x 0  1 ;
27) f (x)  1/ 12  3x , x 0  1 ;
42
28) f (x)  lg(14  x 2 ) , x 0  2 ;
29) f (x)  (1  x )sin 2x , x 0  0 ;
30) f (x)  (1  x 2 ) / x , x 0  1 ;
Задание 10
Разложите функцию f(x) в окрестности указанной точки x0 в ряд
Тейлора, пользуясь разложениями основных элементарных функций.
1) f (x)  x ln x , x 0  2 ;
x
2) f (x) 
, x0  0 ;
2
9x
3) f (x)  9  x , x 0  0 ;
x
4) f (x) 
, x0  3;
4x
x cos x  sin x
5) f (x) 
, x0  0 ;
x2
3
6) f (x) 
, x0  0 ;
1  x  2x 2
x
7) f (x) 
, x 0  1 ;
4  8x
arcsin x
 1, x 0  0 ;
8) f (x) 
x
9) f (x)  x ln(10  x) , x 0  9 ;
x
10) f (x) 
, x 0  1;
2x
1
11) f (x) 
, x0  0 ;
5  2x
12) f (x)  3 8  x 3 , x 0  0 ;
13) f (x)  sin(5  x) , x 0  0 ;
14) f (x)  xsin 2 x 2 , x 0  0 ;
15) f (x)  (1  x 2 )arctgx , x 0  0 ;
16) f (x)  sin x , x 0   / 6 ;
17) f (x)  cos x , x 0   / 3 ;
18) f (x)  ln(2  2x  x 2 ) , x 0  1 ;
43
19) f (x)  xarctgx  ln 1  x 2 , x 0  0 ;
20) f (x)  (x  1)sin x , x 0  1 ;
21) f (x)  ln(3  2x  x 2 ) , x 0  1 ;
22) f (x)  ln(1  x  6x 2 ) , x 0  0 ;
x 3
23) f (x) 
, x0  2 ;
(x  1) 2
x2
24) f (x) 
, x0  0 ;
2
1 x
25) f (x)  ln(1  x  2x 2 ) , x 0  0 ;
26) f (x)  (1  x)ln(2  x) , x 0  1 ;
27) f (x)  (x  2)cos x , x 0  2 ;
x
28) f (x)  2x cos  x , x 0  2 ;
2
1  2x
29) f (x)  ln
, x 0  1;
1  2x
30) f (x)  (e3x  e3x  1) / x 2 , x 0  0 .
Задание 11
Используя соответствующие разложения в степенной
вычислите указанные интегралы с точностью до 0,0001.
sin x
1) 
dx ,
x
0
1
0,5
2)  3 1  x 3 dx ,
0
0,5
dx
,
2
0 1 x
3) 
1
4)  x ln(1  x)dx ,
0
0,5
5)  ln(1  x )dx ,
0
0,5
6) 
0
3
x 2 cos xdx ,
1
10)  cos x dx ,
0
1,5
11) 
0
0,2
1
x
arctg dx ,
x
4
12)  3 1  x 2 dx ,
0
0,5
2
13)  e x dx ,
0
1
14)  sin x 2 dx ,
0
1
1
15)  (cos x  1)dx ,
0 x
44
ряд,
0,5
7)  x arctgxdx ,
2
0
1
dx
,
4
01 x
8) 
1
3
9)  xe x dx ,
0
0,5
19) 
x e  x dx ,
0
0,5
20)  x 2 ln(1  x 2 )dx ,
0,5
16)  cos x 2 dx ,
0
0,5
17) 
3
4  3x 2 dx ,
0
0,5
18)  ln(1  x 3 )dx ,
0
2
25)  e1/ x dx ,
1
0,5
26) 
x ln(1  x )dx ,
0
1
21)  (e x  1) dx ,
1 x
2
0,5
22)  arctgx 2 dx ,
1
2
27)  e  x dx ,
0
1
28)  x sin x dx ,
0
0,5
0
0,5
23) 
0,5
x cos x dx ,
0
0,4
24)  ln(1  x 3 )dx ,
0
29)  x 2 cos x dx ,
0
0,5
30)  sin x 2 dx .
0
Задание 12
Найдите первые четыре ненулевых члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения с начальными условиями.
1) y  (1  x 2 )y  0,
y(0)  2, y(0)  2;
8) y  cos y  2x,
y(0)  0, y(0)  1;
2) y  xyy,
y(0)  1, y(0)  1;
9) y  xy  y 2  0,
y(0)  1, y(0)  0;
3) xy  y  0,
y(0)  0, y(0)  1;
10) y  x 2 y  y,
y(0)  0, y(0)  1;
4) y  xy  y,
y(0)  0, y(0)  1;
11) y  xy   y  e x ,
y(0)  1, y(0)  1;
5) y  xy  0,
y(0)  0, y(0)  1;
12) y  ycos y  x,
y(0)  1, y(0)  1;
45
6) y  (y) 2  y,
y(0)  0, y(0)  1;
13) y  xy  y  0,
y(0)  1, y(0)  0;
7) y  y 2  xy,
y(0)  1, y(0)  0;
14) y  yy  x 2 ,
y(0)  1, y(0)  1;
15) y  y 
x
 0,
y
y(0)  1, y(0)  0;
23) y  (y) 2  xy,
y(0)  4, y(0)  2;
16) y  xy  y3  0,
y(0)  1, y(0)  1;
24) y  (2x  1) y  1,
y(0)  0, y(0)  1;
17) y  y  xe y ,
y(0)  0, y(0)  1;
25) y  (x 2  1) y  0,
y(0)  2, y(0)  2;
18) y  x 2 y  y  0,
y(0)  1, y(0)  0;
26) y  xy  y  0,
y(0)  0, y(0)  1;
19) y  yx 2  y 2 ,
y(0)  0, y(0)  1;
27) y  (y) 2  2,
y(0)  1, y(0)  1;
20) y  ye y  xy,
y(0)  0, y(0)  1;
28) y  xy  x 2e x ,
y(0)  0, y(0)  1;
21) y  2xy  4y,
y(0)  0, y(0)  1;
29) y  2xy 2  2x 2 yy,
y(0)  1, y(0)  1;
22) 4xy  2xy  y  0,
y(0)  2, y(0)  0;
30) y  2x  2yy,
y(0)  0, y(0)  1.
Задание 13
Выполните следующие действия:
а) разложите заданную функцию f(x) на указанном промежутке в
тригонометрический ряд Фурье; б) постройте графики функций f(x),
S(x).
3x  2,  2  x  0,
3,  3  x  0,
1)f (x)  
3) f (x)  
2, 0  x  1;
2  3, 0  x  1;
46
2,  1  x  0,

2)f (x)   1
2  3 x, 0  x  2;
 1
1  x,  4  x  0,
4)f (x)   4
1, 0  x  2;
5
 x  1,  1  x  0,
17)f (x)   2
4, 0  x  2;
4  x,  2  x  0,
18)f (x)  
3, 0  x  1;
1

2x  ,  3  x  0,
19)f (x)  
2
4, 0  x  3;
4x  1,  1  x  0,
20)f (x)  
2, 0  x  4;
1
 x  1,  1  x  0,
21)f (x)   2
3, 0  x  5;
9,  5  x  0,
5)f (x)  
 x  6, 0  x  1;
2x  2,  3  x  0,
6)f (x)  
5, 0  x  1;
3
 x  1,  1  x  0,
7)f (x)   2
2, 0  x  3;
8,  4  x  0,
8)f (x)  
3x  2, 0  x  1;
3x  2,  2  x  0,
9)f (x)  
5, 0  x  1;
 1
1  x,  2  x  0,
10)f (x)   3
7, 0  x  4;
2,  3  x  0,

11)f (x)   x
 2  1, 0  x  1;
3x  2,  4  x  0,
12)f (x)  
1, 0  x  2;
2,  1  x  0,
13)f (x)  
3x  5, 0  x  2;
1
 x  2,  3  x  0,
14)f (x)   3
4, 0  x  1;
2,  1  x  0,
15)f (x)  
3x  4, 0  x  2;
2x  3,  1  x  0,
22)f (x)  
3, 0  x  5;
4,  2  x  0,

23)f (x)   2
 3 x  1, 0  x  2;
1,  2  x  0,
24)f (x)  
2x  3, 0  x  1;
2x  1,  4  x  0,
25)f (x)  
3, 0  x  1;
5,  2  x  0,
26)f (x)  
4x  1, 0  x  3;
6x  1,  2  x  0,
27)f (x)  
1, 0  x  2;
47
4,  1  x  0,

,
28)f (x)   1
x

2,
0

x

2;
 2
2,  2  x  0,
30)f (x)  
3x  1, 0  x  1.
3,  3  x  0,
16)f (x)  
2x  4, 0  x  1;
3,  4  x  0,
29)f (x)  
2x  3, 0  x  2;
Задание 14
Разложите заданную функцию f(x) на указанном интервале в
тригонометрический ряд Фурье.
x2
1) f (x)  , (1;1) ;
2
 
2) f (x)  sin 2x, (  ; ) ;
4 4
3) f (x)  x  1, (1;1) ;
 
4) f (x)  sin x , (  ; ) ;
2 4
x
 
5) f (x)  cos , (  ; ) ;
2
2 2
2
6) f (x)  x / 3, (1;1) ;
x 2 2
 
7) f (x) 
 , ( ; ) ;
4 12
2 2
3x
8) f (x)  sin , ( ; ) ;
4
 
9) f (x)  x sin x, (  ; ) ;
2 2
2
10) f (x)  1  x / 4, (4; 4) ;
11) f (x)  2  x , (2; 2) ;
12) f (x)  1  x 2 / 2, (2; 2) ;
x
 
13) f (x)  2sin , (  ; ) ;
2
2 2
cos x
 
 1, (  ; ) ;
14) f (x) 
2
4 4
2
15) f (x)  3x , (2; 2) ;
48
4 2
x , ( 3; 3) ;
3
x
f (x)  2sin , ( ; ) ;
3
 
f (x)  2  3x 2 , (  ; ) ;
2 2
x
 
f (x)  3cos , (  ; ) ;
2
3 3
2
x
f (x) 
 1, (6; 6) ;
2
x
f (x)   1, (2; 2) ;
2
 
f (x)  2cos 2x, (  ; ) ;
8 8
2
f (x)  x  x , ( 1;1) ;
1 1
f (x)  1  2 x , (  ; ) ;
2 2
 
f (x)  sin x , (  ; ) ;
4 4
 
f (x)  cos3x, (  ; ) ;
12 12
f (x)  x x  x, (1;1) ;
 
f (x)  x sin x, (  ; ) ;
4 4
 
f (x)  x cos x, (  ; ) ;
4 4
 
f (x)  cos x , (  ; ) .
2 2
16) f (x) 
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 15
Разложите заданную функцию f(x) на указанном интервале в
тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по
синусам.
4
1) f (x)  x  2, (0;1) ;
4) f  x   x 2 ,  3;3 ;
3
49
2) f (x)  3  x, (0;3) ;


 x, (0; ) ;
2
2

7) f (x)  2x, (0; ) ;
4
x
8) f (x)  1  , (0; 2) ;
2
1
9) f (x)  2x  1, (0; ) ;
2
3) f (x) 
10) f (x)  (x  1) / 2, (0;1) ;
1
 x, (0;1) ;
4
x
12) f (x)   1, (0; 2) ;
4
11) f (x) 
13) f (x)    x / 2, (0; ) ;
x
, (0; 3) ;
3

6) f (x)  cos 2x, (0; ) ;
8
5) f (x)  2 
19) f (x)  2x  3, (0;1) ;
20) f (x) 
x
 1, (0; 3) ;
3
21) f (x)  3  x, (0; 3) ;
x
22) f (x)  2  , (0;1) ;
3

23) f (x)  sin 3x, (0; ) ;
6
x

24) f (x)  cos , (0; ) ;
4
2
x
25) f (x)   2, (0; 4) ;
4
3
14) f (x)  2x  3, (0; ) ;
2
1
15) f (x)  2x, (0; ) ;
2
16) f (x)  3x  1, (0;1) ;
x
17) f (x)   3, (0; 2) ;
2
26) f (x)  4  x, (0; 4) ;
18) f (x)  2  3x, (0; 2) ;
x
30) f (x)  2  , (0; 4) .
2
3
x, (0;1) ;
2
28) f (x)  3  x, (0; 3) ;
27) f (x) 
29) f (x)  2x  1, (0; 6) ;
50
Задание 16
Разложите функцию f(x), заданную на интервале (0; 3) графически,
в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам; б) только по
синусам.
1
4
7
y
y
y
2
2
2
1
1
1
0
x
1 2 3
0
2
x
x
0
1 2 3
5
8
y
y
2
1
y
2
1
0
2
1
x
1 2 3
0
3
x
1 2 3
6
0
0
y
y
2
1
2
1
1 2 3
x
1 2 3
9
y
2
1
1 2 3
x
0
1 2 3
51
x
0
1 2 3
x
10
14
18
y
y
y
2
1
2
1
2
1
0
x
1 2 3
0
11
1 2 3
x
0
15
y
y
2
1
x
1 2 3
2
2
1
1
0
12
1 2 3
x
16
x
1 2 3
13
0
x
1 2 3
0
x
1 2 3
21
y
y
y
2
1
2
1
1 2 3
x
2
1
17
2
1
1 2 3
y
y
2
1
0
0
0
20
y
2
1
x
19
y
0
1 2 3
x
0
1 2 3
52
x
0
1 2 3
x
22
25
28
y
y
2
1
2
1
0
y
x
1 2 3
0
2
1 2 3
1
x
0
23
26
y
y
2
2
2
1
1
1
0
0
1 2 3
24
1 2 3
x
27
0
y
2
2
1
1
1
1
3
x
x
y
2
2
1 2 3
30
y
0
x
29
y
x
1 2 3
0
1 2 3
53
x
0
1 2 3
x