ЗАНЯТИЕ №11. НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Пример 1.

ЗАНЯТИЕ №11. НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ
Пример 1.
При каких значениях параметра р квадратное уравнение
х2-5х+р2=0 а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет корней?
Решение.
Число корней уравнения зависит от знака его дискриминанта Д.
В данном случае находим Д=25-4р2.
а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если Д> 0, значит,
задача сводится к решению неравенства 25-4p2>0. Умножим обе части
неравенства на -1(не забыв поменять знак неравенства). Получим
равносильное неравенство 4p2-25<0. Далее имеем 4(р-2,5)(р+2,5)<0. Знаки
данного выражения указаны на рисунке
Именно при данных значениях р€(-2,5; 2,5) квадратное уравнение имеет два
различных корня.
б) Квадратное уравнение имеет один корень, если Д=0,а, как мы установили
раньше, Д=0 при р=2,5 или р=-2,5. Именно при этих значениях р данное
квадратное уравнение имеет только один корень.
в) Квадратное уравнение не имеет корней, если Д<0. Решим неравенство
25-4p2<0. Получаем 4(p-2,5)(p+2.5)>0, откуда p<-2,5; p>2,5. Именно при
этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.
Пример 2.
Найдите такое целое значение параметра р, при котором множество решений
неравенства х2(х+2)(р-х)≥0 содержит:
а) два целых числа;
б) три целых числа;
в) четыре целых числа;
г) пять целых чисел.
Решение.
Возможны случаи:
а) если р=-2, тогда имеем х2(х+2)(х-р)≤0 и х=-2; х=0—решение неравенства.
б) если р=0, тогда имеем: х3(х+2)2≤0 и -2≤х≤0
в) если р <-2,тогда
р≤х≤-2; х=0.
г) если -2<p<0, тогда
-2≤х≤р; х=0.
д) если p>0, тогда
-2≤х≤р.