ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП МАТЕМАТИКА

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
9 КЛАСС
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ
1. Ответ: 2.
Решение. Из второго неравенства х лежит между 0 и 3; 1 – не годится по
первому неравенству, а 2 – годится.
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Верный ответ с
проверкой – 3 балла. Иначе – 0 баллов.
2. Решение.
Например,
так:
25=1+24=1+8+16=1+4+4+16=1+2+2+2+2+16=1+1+1+1+1+1+1+1+1+16 и
т.д. Ясно, что придётся заплатить всего два рубля за два первых шага.
Критерии проверки. Любой правильный алгоритм – 7 баллов. В
противном случае – 0 баллов.
3. Ответ: 2.
Решение.
Получится
прямоугольная
трапеция АВСД с основаниями АВ=3 и
СД=6 с прямыми углами А и Д, которая
разбивается диагоналями на подобные
треугольники АВО и СДО с коэффициентом
подобия 2, АО – треть от АС, поэтому О
находится на высоте 2 от АД.
С
В
А
О
Д
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Подобие не доказано,
но используется и приводит к правильному ответу – 5 баллов. Доказано
подобие треугольников, но дальнейших продвижений нет либо в
дальнейших рассуждениях допущена ошибка – 1 балл. В остальных
случаях: 0 баллов.
4. Ответ: С убытком 10%.
Решение. Обозначим стоимость всего пакета за x. Тогда за первую часть
пакета юный брокер выручил 0,9x/2=0,45x, за вторую часть пакета –
1,2x/3=0,4x, и за третью часть x–0,45x–0,4x=0,15x. А стоила третья часть
пакета x/6. Равенство 0,15x:(x/6) = 0,9 показывает, что последняя часть
ракета принесла 10-процентный убыток.
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Все вычисления
проделаны правильно, но в силу неверного понимания термина
«прибыль» дан неверный ответ (например, 90%) – 4 балла. Только ответ
или его отсутствие – 0 баллов.
5. Ответ: На четвертом.
1
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
9 КЛАСС
Решение. Число 2015 так раскладывается на простые множители:
2015=5·13·31. Поэтому оно имеет только такие делители кроме себя: 1,
5, 13, 31, 5·13, 5·31, 13·31. На втором шаге сотрутся все простые числа (в
частности 5, 13,31) а все составные останутся. В частности, останутся
числа 5·13, 5·31, 13·31. Но у них уже не будет делителей, поэтому они
сотрутся на третьем этапе, а само число 2015 останется. Но у него
делителей уже не будет, поэтому на четвертом этапе оно будет стёрто.
Критерии проверки. Решение с верным ответом, в котором процесс
стирания чисел описан верно – 7 баллов. Присутствует разложение на
множители и дан верный ответ, но процедура стирания не описана или
описана неверно – 3 балла. Только ответ без комментариев или
отсутствие ответа – 0 баллов.
6. Решение. Пусть сторона квадрата ABCD равна 1.
Выберем на сторонах BC и CD соответственно
точки K и M так, что BK=1/3, DM=1/3. Тогда
SABK=SADM=1/6, SMCK=2/9 и SAKM=1–1/3–2/9=4/9.
Осталось разделить равнобедренный треугольник
AMK медианой на два треугольника площади 2/9.
B
К
С
М
А
D
Критерии проверки. Любой верный ответ,
подтверждённый вычислениями, – 7 баллов. В остальных случаях – 0
баллов.
2