ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП МАТЕМАТИКА

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
9 КЛАСС
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
Написать один ответ мало! Все ответы должны быть объяснены
с помощью рассуждений или вычислений!
1. Найдите целое число х, если известно, что x 
3
‒ положительное число,
x
а x 2  3x ‒ отрицательное число.
2. Продавец на рынке хочет разложить кучку из 25 орехов на 25 кучек по
одному ореху. Ему разрешается разделить любую кучку на 2, но, если
при этом получились две неодинаковые кучки, он должен заплатить
хозяину рынка 1 рубль. Как ему выполнить свою задачу, заплатив всего
2 рубля?
3. Трехметровый и шестиметровый шесты (см.
рис. 1) стоят вертикально на ровной площадке.
Между ними натянуты две веревки — от
вершины каждого столба до основания другого.
На какой высоте находится точка, в которой эти
веревки касаются друг друга?
?
Рис. 1
4. Юный брокер купил пакет акций и разделил его на три неравные части.
Первую часть, содержащую половину всех акций, он продал, потеряв
10% уплаченных за них денег. Вторую часть, содержащую треть всех
акций, он продал, получив прибыль в размере 20% уплаченных за эту
часть денег. А когда он продал остальные акции, оказалось, что он
вернул все свои деньги, не получив ни убытка, ни прибыли. С прибылью
или убытком и во сколько процентов юный брокер продал последнюю
часть пакета акций?
5. На доске выписаны числа 1, 2, ..., 10000. На каждом этапе одновременно
стираются все числа, не имеющие среди нестёртых ранее чисел
делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается
только число 1. На каком этапе будет стёрто число 2015?
6. Докажите, что квадрат со стороной 1 можно разрезать на пять
треугольников, площадь каждого из которых строго меньше 1/4. Не
забудьте подтвердить вычислениями пригодность Вашего примера.
Время работы 3 часа
1
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
9 КЛАСС
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ
1. Ответ: 2.
Решение. Из второго неравенства х лежит между 0 и 3; 1 – не годится по
первому неравенству, а 2 – годится.
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Верный ответ с
проверкой – 3 балла. Иначе – 0 баллов.
2. Решение.
Например,
так:
25=1+24=1+8+16=1+4+4+16=1+2+2+2+2+16=1+1+1+1+1+1+1+1+1+16 и
т.д. Ясно, что придётся заплатить всего два рубля за два первых шага.
Критерии проверки. Любой правильный алгоритм – 7 баллов. В
противном случае – 0 баллов.
3. Ответ: 2.
Решение.
Получится
прямоугольная
трапеция АВСД с основаниями АВ=3 и
СД=6 с прямыми углами А и Д, которая
разбивается диагоналями на подобные
треугольники АВО и СДО с коэффициентом
подобия 2, АО – треть от АС, поэтому О
находится на высоте 2 от АД.
С
В
А
О
Д
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Подобие не доказано,
но используется и приводит к правильному ответу – 5 баллов. Доказано
подобие треугольников, но дальнейших продвижений нет либо в
дальнейших рассуждениях допущена ошибка – 1 балл. В остальных
случаях: 0 баллов.
4. Ответ: С убытком 10%.
Решение. Обозначим стоимость всего пакета за x. Тогда за первую часть
пакета юный брокер выручил 0,9x/2=0,45x, за вторую часть пакета –
1,2x/3=0,4x, и за третью часть x–0,45x–0,4x=0,15x. А стоила третья часть
пакета x/6. Равенство 0,15x:(x/6) = 0,9 показывает, что последняя часть
ракета принесла 10-процентный убыток.
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Все вычисления
проделаны правильно, но в силу неверного понимания термина
2
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
9 КЛАСС
«прибыль» дан неверный ответ (например, 90%) – 4 балла. Только ответ
или его отсутствие – 0 баллов.
5. Ответ: На четвертом.
Решение. Число 2015 так раскладывается на простые множители:
2015=5·13·31. Поэтому оно имеет только такие делители кроме себя: 1,
5, 13, 31, 5·13, 5·31, 13·31. На втором шаге сотрутся все простые числа (в
частности 5, 13,31) а все составные останутся. В частности, останутся
числа 5·13, 5·31, 13·31. Но у них уже не будет делителей, поэтому они
сотрутся на третьем этапе, а само число 2015 останется. Но у него
делителей уже не будет, поэтому на четвертом этапе оно будет стёрто.
Критерии проверки. Решение с верным ответом, в котором процесс
стирания чисел описан верно – 7 баллов. Присутствует разложение на
множители и дан верный ответ, но процедура стирания не описана или
описана неверно – 3 балла. Только ответ без комментариев или
отсутствие ответа – 0 баллов.
6. Решение. Пусть сторона квадрата ABCD равна 1.
Выберем на сторонах BC и CD соответственно
точки K и M так, что BK=1/3, DM=1/3. Тогда
SABK=SADM=1/6, SMCK=2/9 и SAKM=1–1/3–2/9=4/9.
Осталось разделить равнобедренный треугольник
AMK медианой на два треугольника площади 2/9.
B
К
С
М
А
D
Критерии проверки. Любой верный ответ,
подтверждённый вычислениями, – 7 баллов. В остальных случаях – 0
баллов.
3