Системы счисления МОУ «Павловская средняя общеобразовательная школа» Автор работы учитель математики:

Реклама
МОУ «Павловская средняя
общеобразовательная школа»
Системы счисления
Автор работы учитель математики:
Беляева Наталия Адольфовна
С. Павловка
2010 г.
Системы счисления
Позиционная
система
счисления
Непозиционная
система
счисления
Системы счисления - это
способы записи чисел в виде,
удобном для прочтения и
выполнения арифметических
операций.
Непозиционная система счисления
Рассматривая археологические находки эпохи палеолита
(камни, кости животных), можно заметить, что люди
стремились группировать точки, полосы и насечки по 3,
4, 5 или 7. Такая группировка облегчала счёт. В
древности чаще всего считали на пальцах, о поэтому
предметы стали группировать по 5 или по 10. В
дальнейшем десяток десятков получил особое название
(в русском языке – сотня), десяток сотен – своё
название и т.д. Для удобства записи такие узловые
числа стали обозначать особыми знаками. Если при
пересчёте оказывалось 2 сотни 7 десятков и ещё 4
предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз
– знак для десятка и четыре раза – знак для единицы.
Знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи
друг на друга. При такой записи числа знаки можно
было располагать в любом порядке, и значение
записанного числа при этом не менялось.
Непозиционная система счисления
Поскольку в такой записи положение знака не играет
роли, подобные системы счисления стали называть
непозиционными. Непозиционными были системы
счисления у древних египтян, греков и римлян.
Непозиционные системы счисления были более или менее
пригодны для выполнения операций сложения и
вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления.
Чтобы облегчить работу, применялись счётные доски –
абаки. Современные счёты являются видоизменённым
абаком.
Русский абак – счёты появились в XVI – XVII вв., ими
пользуются в наши дни. Русские счёты стоят на особом
месте среди разновидностей абака, так как они используют
десятичную, а не пятеричную систему счисления, как все
остальные абаки.
Позиционная система счисления
У древних вавилонян система счисления вначале была
непозиционной, но впоследствии они научились использовать
информацию, заключённую в порядке записи знаков, и перешли к
позиционной системе счисления. При этом в отличие от
используемой нами системы счисления, в которой значение цифры
меняется в 10 раз при перемещении на одно место (такую систему
называют десятичной), у вавилонян при перемещении знака
происходило изменение значения числа в 60 раз (такую систему
счисления называют шестидесятеричной).
Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших
дней в порядке счёта единиц времени: 1ч = 60 мин, 1 мин = 60с.
В VI в. индейцы создали запись чисел, использующих лишь 9
цифр.
За основание системы счисления можно принять не только числа
10 и 60, но и любое натуральное число р, большее 1.
Для записи чисел в р – ичной системе счисления нужно р цифр.
Число, записанное цифрами a, a , …, a в р-ичной системе, равно
a p + a p + … + a . Например: 326 =3  7  2  7  6 (индекс 7 означает,
что число записано в семеричной системе).
k
k
k 1
k
k 1
k 1
0
2
0
7
Позиционная система счисления
Если число записано в десятичной системе счисления, а его
надо перевести в р-ичную систему, то делят это число на р с
остатком. Потом делят на р с остатком неполное частное и т.д.
до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю.
Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая
первым, получаем искомую р-ичную запись нашего числа.
Например, из того, что 29 = 4·6 + 5, а 4=0·6 + 4, вытекает,
что 29= .
Операции над натуральными числами в р-ичной системе
45
счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь
разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои
таблицы сложения и умножения.
Ещё в XVII в. немецкий математик Г.В. Лейбниц предложил
перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала
не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления
запись чисел слишком длинна. Например: 106 = 1101010
.
Однако для выполнения арифметических операций на ЭВМ
самой удобной является двоичная система счисления.
6
2
Особый интерес представляет двоичная система счисления. В ней
используются только два знака для записи чисел, а именно: цифры 0
и 1.
Таблица чисел натурального ряда в двоичной системе счисления.
Числа,
записанные
в
десятерично
й системе
1
2
3
4
5
6
Числа,
записанные
в двоичной
системе
1
10
11
100
101
110
Числа,
записанные
в
десятерично
й системе
7
8
9
10
11
12
Числа,
записанные
в двоичной
системе
111
1000
1001
1010
1011
1100
В двоичной системе счисления совсем просто
выполняются действия. Рассмотрим, например,
сложение следующих чисел:
100101
10011
+ 11101
101001
110011
10110001
При выполнении сложения следует учесть, что две единицы
любого разряда составляют одну единицу следующего
разряда.
Таблица умножения
Таблица сложения
0+0=0
0*0=0
0+1=1
0*1=0
1+0=1
1*0=0
1 + 1 = 10
1*1=1
примеры
Сложение
Умножение
1011101
1011
+ 110111
10010100
* 101
1011
+
1011
110111
Деление
101111001 11101
11101
1101
-
-
100100
11101
-
11101
11101
0
Скачать