Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей 350000 г. Краснодар,

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр
дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:[email protected]
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 8 класс
ответы и критерии оценки заданий к работе
№ 4, 2011-2012 уч. год
1. Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1-2-4-8-16=19 стало
верным.
Ответ: 1  2  4  8  16  19.
2. Является ли многочлен P(x) = 2x4 + 8x3 + 12x2 + 8x + 1 квадратом
некоторого другого многочлена?
Решение. Нет, так как P(–1) = 2 – 8 + 12 – 8 + 1 = –1.
3. Дан угол в 63. С помощью циркуля и линейки разделите его на три
равные части.
Решение. Пусть ABC = 63, построим равносторонний треугольник
DBC так, чтобы одна из вершин совпала с точкой B, а одна из сторон лежала
на стороне угла BC — получим ABD = 3. Восстановим из точки B
перпендикуляр BK и дважды в его сторону отложим от луча BС угол, равный
3, — получим BKM = 21. Отложив от каждой стороны угла ABC = 63
по углу в 21, разделим угол ABC = 63 на три равные части.
4. Каково наибольшее число окружностей данного радиуса r,
касающихся данной прямой и данной окружности радиуса R? Ответ
обоснуйте, рассмотрев всевозможные взаимные расположения прямой и
окружностей.
Решение. Геометрическое место центров окружностей данного радиуса
r, касающихся данной прямой, есть пара прямых, параллельных этой прямой,
проходящих на расстоянии r от нее. Пусть O — центр данной окружности, R
— ее радиус. Геометрическое место центров окружностей радиуса r,
касающихся данной окружности, представляет собой: 1) две окружности
радиусов R + r и R – r с тем же центром O, если R > r; 2) окружность радиуса
R + r с центром в точке O и саму точку O, если R = r; 3) окружность радиуса
R + r с центром в точке O, если R < r. Центр искомой окружности
принадлежит пересечению этих двух геометрических мест. Так как
пересечение двух параллельных прямых с двумя окружностями может
состоять не более чем из 8 точек, то задача может иметь от 0 до 8 решений.
5. В полдень «Запорожец» и «Москвич» выехали навстречу друг другу
с постоянными скоростями. Через полтора часа расстояние между ними
удвоилось. Незнайка утверждает, что в течение получаса после момента
встречи ни один из автомобилей не достиг места старта другого. Докажите,
что он не прав.
Решение. Пусть V1 и V2 - скорости автомобилей, S - расстояние между
ними в момент старта, t - время до момента встречи. По условию задачи
справедливы равенства (V1  V2 )t  S и (V1  V2 )(1,5  t )  2S , откуда 2t  1,5  t , то
есть встреча произошла через полчаса после старта. Еще через полчаса
расстояние между автомобилями составит S и, значит, хотя бы один из
автомобилей достигнет места старта другого.
6. Известно, что значения квадратного трехчлена ax 2  bx  c при всех
действительных значениях x отрицательны. Докажите, что значения
трехчлена a 2 x 2  b 2 x  4c 2 при всех действительных значениях x
положительны. Покажите, что при этом трехчлен a 2 x 2  b 2 x  c 2 не
обязательно положителен при всех действительных значениях x.
Решение. По условию задачи выполнены неравенства a  0 , b 2  4ac  0
и c  0 (это видно при x=0). Отсюда следует, что дискриминант второго
трехчлена b 4  4a 2 4c 2  b 2  4ac b 2  4ac   0 . В качестве примера к последнему
предложению из условия задачи можно предложить трехчлен  x 2  4 x  5 .