ТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ П

132
Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике
Кузьменко А.Г.
БЕЗРАЗМЕРНАЯ ФОРМА РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПРИВЕДЕННОГО РАДИУСА В ТРИБОТЕХНИКЕ
Хмельницкий национальный университет,
Украина
1. Представление решения герцевской задачи для шара на плоскости в безразмерном виде
1.1. Формулы в размерном виде
Для определение радиуса площадки контакта a , максимального контактного давления
площадке контакта, и сближения шара и плоскости
когда материалы шара и плоскости одинаковы, в
d 0 по
U 0 , в соответствии с решением Герца для случая,
[ 2] приведены следующие формулы:
QR 1 / 3
QR 1 / 3
) = Ca (
) ,
E
E
QE 2
QE 2
d 0 = 0,388( 2 )1/ 3 C d 0( 2 )1 / 3 ,
R
R
2
Q
Q2
U 0 = 1,231( 2 )1/ 3 = C u ( 2 )1 / 3 .
E R
E R
a = 1,109(
(1)
(2)
(3)
1.2. Процедура обезразмеривания
В соответствии с основными положениями теории подобия и размерностей любая зависимость
определяемой величины (в данном случае a (QRE ) , d 0 (QRΕ ) , U 0 (QRΕ ) может быть представлена в
виде критериального уравнения или зависимости безразмерной определяемой величины
(a, d 0U 0 ) от
безразмерных комплексов из определяющих величин Q, R, E .
В случае если известно решение задачи в размерном виде типа (1), (2), (3) безразмерные
комплексы или критерии получают интуитивно путем деления левых и правых частей в формулах на размерные величины так, чтобы получить безразмерные. В соответствии с этим положением:
1) в формуле (1) для радиуса площадки контакта разделив левую и правую части на радиус R
(мм), имеющий размерность длины, мм, имеем:
a C a QR 1 / 3
QR
Q
=
(
) = C a ( 3 ) = C a ( 2 )1 / 3 .
R
R E
ER
ER
В результате слева имеем безразмерный комплекс
Пa :
П a = a / R , мм/мм .
Справа имеем безразмерный комплекс
(4)
(4, а)
П1 :
П1 = Q / Ε R 2
кгс ⋅ мм 2
.
кгс ⋅ мм 2
(5)
Подставляя (4), (5) в (1), получаем безразмерное критериальное уравнение или выражение в виде:
Π a = C a Π11 / 3 ;
2) В формуле (2) левую и правую части разделим на модуль упругости
(6)
E , в результате имеем
2
σ 0 C σ QΕ 1/ 3
Q
=
( 2 ) = Cσ (
),
Ε
Ε
R
ΕR 2
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4
(7)
133
Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике
где слева безразмерный комплекс
d0
кгс мм 2 ,
[1]
=
⋅
E
мм 2 кгс
Справа в скобках в (7) имеем безразмерный комплекс Π1 ,
Q
кгс ⋅ мм 2
П1 =
=
[1] ,
ER 2 кгс ⋅ мм 2
П d0 =
(8)
(9)
Подставляя (8) и (9) в (2), получаем его безразмерное выражение в виде:
Π σ = Cσ 0 Π1/3
1 ,
3) в формуле (3) левую и правую части разделяем на радиус R
U 0 C u0 Q 2 1 / 3
Q2
=
( 2 ) = C u0 ( 2 4 )1 / 3 ,
R
R E R
E R
(10)
(11)
где слева безразмерный комплекс
П u0 =
U 0 мм ;
[1]
⋅
R мм
(12)
справа в скобках имеем безразмерный комплекс
П2 =
Q2
кгс 2 мм 4
=
⋅
[1] ;
2
4
4
E R кгс мм
(13)
подставляем (12) и (13) в (3) получаем безразразмерное выражение для сближения
П u0 = C u П 21 / 3 .
(14)
Таким образом, все зависимости основных параметров контактных давлений σ 0 , радиуса площадки контакта
a , сближение U 0 получены в безразмерной форме:
П a = C a П11 / 3
(15)
П d 0 = C d 0 П11 / 3
(16)
П u0 = C u0 П 21 / 3
(17)
2. Преимущества безразмерной формы представления зависимостей
2.1. Компактность и простота аналитического представления
1) Зависимости облегчают анализ влияния разных факторов на определения параметров;
2) В частности интересно, что отношение критериев подобия давлений и радиуса площадки контакта - величина постоянная:
Па
C
= a
П d0 Cd0
(18)
C R
a
= a ⋅
d 0 C d0 E
(19)
или по (1), (2)
Что указывает на обобщенную линейность зависимости от радиуса площадки контактных осей
давления.
3) Из безразмерных соотношений (15), (16) следует всеобщий кубический характер зависимостей параметров контакта от безразмерных компонентов П1 и П 2 .
2.2. Облегчение процедуры определения размерных параметров через безразмерные
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4
134
Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике
1) при определении радиуса площадки контакта сначала строится кубическая зависимость (15) в
виде одной кубической кривой;
2) для конкретной задачи определяетса безразмерный параметр П1 ;
3) по (15) определяется параметр
4) по зависимости
Пa ;
(4a) определяетса радиус площадки контакта:
a = RП a
(20)
2.3. Аналогичным образом определяются
величины максимального контактного давления
и величины сближения
σ 0 = RП σ 0
(21)
U 0 = RП u0
(22)
3. Размерные и безразмерные выражения для определения приведенного радиуса
3.1 Схема контакта тел двоякой кривизны
В соответствии с методом приведенного радиуса [3] контакт двух тел двоякой кривизны (рис.1).
Рис. 1 – схема двух тел двоякой кривизны:
1 – первое тело; 2 – второе тело; I – первая главная плоскость симметрии
II – вторая главная плоскость симметрии
По схеме рис. 1 индексируются радиусы
тела;
Ri j , в которых первый индекс соответствует номеру
j − второй индекс соответствует номеру главной плоскости симметрии.
3.2. Размерные формулы для приведенного радиуса
R∗ определяются из выражений
R∗ = (R1∗ ⋅ R2∗ )1 / 2 ,
(23)
1
1
1
= (±
±
),
∗
R11 R12
R1
(24)
1
1
1
= (±
±
).
∗
R12 R22
R2
Знак «+» ставится для выпуклых поверхностей, знак «–» соответствует вогнутым поверхностям .
3.3. Безразмерное представление приведенного радиуса
1) в качестве базового возьмем радиус R11 ;
2) слева и справа в (24) умножив на
R11 , имеем
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4
(25)
135
Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике
R11
R
= ( ± 1 ± 11 )
∗
R12
R1
R1∗ в первой плоскости
R
1
= ( ± 1 ± 11 ) ;
∗
R12
R1
(26)
или вводя обозначение безразмерного радиуса
(26, а)
3) аналогично получаем выражение для второго безразмерного радиуса
R11
R
R
= ( ± 11 ± 11 )
∗
R12 R22
R2
R
R
1
= ( ± 11 ± 11 ) ;
∗
R12 R22
R2
4) умножив в (23) справа и слева на R11 , получаем
R11
R R
= ( 11∗ ⋅ 11∗ )1 / 2 ;
R∗
R1 R2
(27)
(27, а)
(28)
5) в итоге имеем выражение для безразмерного приведенного радиуса
1
1 1
= ( ∗ ⋅ ∗ )1 / 2
R∗
R1 R2
(29)
R ∗ = ( R1∗ ⋅ R2∗ )1 / 2
(30)
или
3.4 Главный вывод из приведенных рассуждений о безразмерном радиусе заключается в следующем:
Метод приведенного радиуса соответствует основным положениям теории подобия и размерностей чем подтверждается его научная обоснованность.
Выводы
1. В работе предложена безразмерная критериальная форма решения задачи о контакте шара и
плоскости.
2 Предложена безразмерная форма решения задач о контакте тел двоякой кривизны методом
обобщенного приведенного радиуса
3. Показано, что метод приведенного радиуса соответствует основным положениям теории подобия и размерностей, что является его научным обоснованием
Литература
1. Расчеты на прочность в машиностроении / под.ред. Пономарьова С.Д. том II.–M.:Машгиз,
1958.– 974 с.
2. Писаренко Г.С., Яковлев В.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов –
Киев: Наукова думка, 1988. – 734 с.
3. Кузьменко А.Г. Развитие методов контактной трибомеханике. – Хмельницкий: ХНУ, 2010. –
270 с.
Надійшла 21.11.2011
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4