Тройной интеграл

{ тройной интеграл – вычисление - пример – замена переменной в тройном интеграле – якобиан преобразования
– вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат – примеры }
Определение и вычисление тройного интеграла
Интегральная сумма Римана
z
 F ( x , y , z )dv 
D
lim
n
F ( x
max vk 0
k 1
n 
*
k
, y *k , z *k ) v k
z = f2 (x,y)
F ( x* k , y* k , z* k )
vk  xk yk zk
D
a
x
b
z = f1 (x,y)
0
S
y
Тройной интеграл
 F ( x , y , z )dxdydz
D
Вычисление
b y  g2 ( x ) z f2 ( x , y )
 F ( x , y , z )dxdydz   
D

a y  g1 ( x ) z f1 ( x , y )
F ( x , y , z )dxdydz
Тройной интеграл
Масса фигуры ограниченного объема с заданной функцией плотности
 ( x , y , z )dv
D
Объем ограниченной трехмерной фигуры
 dv
D
Свойства
 aF ( x , y , z )  bG ( x , y , z ) dv
D
 a  F ( x , y , z )dv  b  G ( x , y , z )dv
D
D
 F ( x , y , z )dv   F ( x , y , z )dv   F ( x , y , z )dv
D
D  D1  D2
D1
D2
Пример
@
Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями: 1 : z  x
2
 3 y 2 2 : z  8  x 2  y 2
Решение
2
2
8  x2  y2  x2 3y2  x  2 y  4
z
z  8  x2  y2
(-2,0,4)

(-2,0,0)
S
y  (4  x2 ) / 2
y
 dxdydz  
D
2


2

( 4 x 2 ) / 2 8 x 2  y 2


( 4 x 2 ) / 2

z
( 4 x 2 ) / 2

8 x 2  y 2
x 2 3 y 2
dxdy
( 8  2 x 2  4 y 2 )dxdy
2  ( 4  x 2 ) / 2
2


4
  ( 8  2 x 2 ) y  y 3 
3

2 

dxdydz
2  ( 4  x 2 ) / 2 x 2 3 y 2
2  ( 4  x 2 ) / 2
z  x2 3y2
1
y   (4  x2 ) / 2
x
2
D
(2,0,4)
(2,0,0)
VD 
2
2
16
3 2
3
 
2
4  x2
 dx
3
( 4 x 2 ) / 2
 ( 4 x 2 ) / 2
 8 2
dx
Замена переменных в тройном интеграле
Замена переменных в тройном интеграле определяется отражением T
области R в плоскости uvw в область D плоскости xyz.
Якобиан преобразования:
R
w
(u,v,w)
(x,y,z)
z
0
u
v
x
D
0
y
J 
( x , y , z )
( u ,v ,w )
( x , y , z )
( u ,v ,w )

( u ,v ,w )
( x , y , z )
 F ( x , y , z )dxdydz   F ( x ( u ,v ,w ), y ( u ,v ,w ), z( u ,v , w )
D
R
x
u
y
J
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w
1
( x , y , z )
dudvdw
( u ,v ,w )
Тройной интеграл в цилиндрической системе координат
z
Преобразование T : отражение области D : ,j,z на C : x,y,z.

0
x
M(x,y,z)
M(,j,z)
y
j
x   cos j

T :  y   sin j
 z z

Якобиан преобразования:
cos j   sin j 0
( x , y , z )
J 
 sin j  cos j 0
(  , j , z )
0
0
J 

1
 F ( x , y , z )dxdydz   F (  cos j ,  sin j , z ) d d jdz
C
D
 g2 ( j )  f2 (  ,j )


F (  , j , z ) d d j dz       F (  , j , z )dz  d  d j





D
  g1 ( j )  f1 (  ,j )



Пример
@
Найти пределы интегрирования в тройном интеграле для фигуры, ограниченной поверхностями:
2
2
плоскостью z  0 , цилиндрической поверхностью x 2  ( y  1 ) 2  1 и параболоидом z  x  y .
Решение
В декартовой системе координат уравнение цилиндра: x 2  ( y  1 ) 2  1 2
z
x 2  y 2  2 y  0   2  2  sin j    2 sin j
В цилиндрической системе координат:   2 sin j
В декартовой системе координат уравнение параболоида: z  x 2  y 2
0
x
j
D

В цилиндрической системе координат: z   2
y
 2 sin j  2
 F (  , j , z ) d d jdz     F (  , j , z )dz d d j
D
0
0
0
Пример
@
Найти объем фигуры ограниченной полусферой z 
z
a 2  x 2  y 2 и конусом z  x 2  y 2
Решение
2
 a 
2
2
2
2
2
z  a 
x

y


z  a x y  x y


2 

 2 a a 2  2

2


2


D
VD   d dzd j       dz  d  d j 
 

z 
D
0  0



y
0


3
 2

 2a

2
2
2
2

3
2

a
a





 
2
2
2
2

a




d

d
j

2





  0
3
3
0


S


y




0
 3
a3
a3 

a 

2 2
2 2 2 2 
3

2
 a
x
3
3
2
2
2





2

0
2
a
2

Тройной интеграл в сферической системе координат
Преобразование T : отражение области D : ,y,j на C : x,y,z.
z
M(r, ,j)
M(x,y,z)
r

0
y
x  r cos  cos j

T :  y  r cos  sin j
 z  r sin 

z
J 

 sin 
r
x
J  r 2 cos 
r  x2  y2  z2
j
x
Якобиан преобразования:
M(r, ,j)
y
j
( x , y , z )
( r ,  , j )
r sin  cos j
r sin  sin j

cos j
sin j
cos  cos j
 cos  sin j
sin 
r sin  cos j
r sin  sin j
r cos 
r cos  sin j
r cos  cos j
0
r cos  sin j
cos  cos j
 r cos 
r cos  cos j
cos  sin j
 sin j
r 2 sin 2  cos   r 2 cos 3 
cos j


r cos  sin j
r cos  cos j
 r 2 cos 
Тройной интеграл в сферической системе координат
Преобразование T : отражение области D : ,y,j на C : x,y,z.
z
M(r, ,j)
M(x,y,z)
r
0
x

y
j
x  r cos  cos j

T :  y  r cos  sin j
 z  r sin 

0  j  2


2
J  r 2 cos 
 
 F ( x , y , z )dxdydz 
C
Якобиан преобразования:

2
r 0
2
F
(
r
,

,
j
)
r
cos  drd  d j

D
 max  f2 ( j , )


2
2
F ( r ,  , j ) r cos  drd  d j       F ( r ,  , j ) r dr  cos  d  d j


 

D
  min  f1 ( j , )



Пример
@
Найти объем фигуры ограниченной полусферой z 
z
a 2  x 2  y 2 и конусом z  x 2  y 2
Решение
ra
2
 a 

2
2
2
2
2
x

y


z  a x y  x y

   
4
 2 


2 2 a




VD   r 2 cos  drd  d j       r 2 dr  cos  d  d j 


D
0   0


4


x
2
D
0
3 2
a
3

0
 2


 2 a3
d j   cos  d   
sin 
3


4


2

4
2 a3

3
2

2 2

2 
3
1 
  a


3
2


